鄧林峰，趙榮珍

(1. 蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；2. 蘭州理工大學(xué) 數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730050)

由于機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)信號(hào)往往包含豐富的故障特征信息且易于工程采集，所以在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷研究及應(yīng)用中，利用振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析是目前最主要的一種故障診斷方法[1-2]。然而，當(dāng)機(jī)械設(shè)備發(fā)生質(zhì)量不平衡、動(dòng)靜碰摩等故障時(shí)，其轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)(Rotor-Bearing System, RBS)的剛度、阻尼和彈性力等都發(fā)生變化，RBS實(shí)際上成為一個(gè)時(shí)變的非線性系統(tǒng)，從而使振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)特性[1]。因此，如何從非平穩(wěn)的振動(dòng)信號(hào)當(dāng)中提取故障特征，就成為機(jī)械故障診斷研究需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題[3]。

為了提取故障特征，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用各種信號(hào)分析方法處理振動(dòng)信號(hào)，使故障特征提取技術(shù)有了很大的進(jìn)步[4-7]。由于非平穩(wěn)信號(hào)具有時(shí)變特性，所以必須對(duì)其進(jìn)行時(shí)頻聯(lián)合分析才可能獲得準(zhǔn)確全面的特征信息，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)信號(hào)的瞬時(shí)變化特征[8]。因此，針對(duì)非平穩(wěn)過(guò)程的時(shí)頻分析方法受到故障診斷研究特別多的關(guān)注[9]。其中，局部均值分解(Local Mean Decomposition, LMD)近年來(lái)格外引人矚目，尤其是國(guó)內(nèi)學(xué)者，已經(jīng)開展了大量關(guān)于將LMD方法應(yīng)用到機(jī)械故障診斷中的研究工作，并取得了一些創(chuàng)新性的研究成果[10-13]。LMD與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)相比，二者十分相似，都是一種自適應(yīng)的信號(hào)分解方法，可以將一個(gè)多成分的復(fù)雜信號(hào)分解為若干個(gè)單分量的具有物理意義的簡(jiǎn)單信號(hào)，再經(jīng)過(guò)一系列的計(jì)算得到原始信號(hào)的時(shí)頻分布。但是，LMD無(wú)過(guò)包絡(luò)、欠包絡(luò)和Hilbert變換的負(fù)頻率等問(wèn)題，端點(diǎn)效應(yīng)也不如EMD明顯，因此基于LMD方法的故障診斷迅速成為一個(gè)研究熱點(diǎn)[14]。然而，LMD在計(jì)算局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)時(shí)，需要利用滑動(dòng)平均算法對(duì)局部均值和局部幅值進(jìn)行平滑。研究[15-17]發(fā)現(xiàn)，平滑步長(zhǎng)對(duì)于平滑過(guò)程和平滑結(jié)果有較大影響，若選擇不當(dāng)，將形成比較明顯的計(jì)算誤差。

圖1 LMD算法流程圖

針對(duì)LMD方法在計(jì)算局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)時(shí)的缺陷，文獻(xiàn)[15]提出了用三次樣條插值方法替換滑動(dòng)平均過(guò)程的LMD改進(jìn)算法，使LMD的計(jì)算效率和精度有了明顯提升，但與此同時(shí)，三次樣條插值的過(guò)包絡(luò)和欠包絡(luò)問(wèn)題也被隨之引入，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果仍然存在一定的誤差。為減小三次樣條插值LMD算法的計(jì)算誤差，本研究利用分段三次Hermite插值方法計(jì)算信號(hào)的上/下包絡(luò)線，并將正交性準(zhǔn)則作為乘積函數(shù)迭代運(yùn)算過(guò)程是否結(jié)束的判斷依據(jù)，以進(jìn)一步提高LMD算法的計(jì)算效率，最后通過(guò)仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。

1 基于樣條插值的LMD方法

給定一個(gè)復(fù)雜信號(hào)x(t)，則LMD對(duì)其進(jìn)行分解的整個(gè)過(guò)程可以通過(guò)圖1所示的流程圖進(jìn)行表示。信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)圖1所示算法的處理，將得到一組PF分量PFk(t)及其瞬時(shí)頻率fk(t)和瞬時(shí)幅值ak(t)，從而可構(gòu)成x(t)的完整時(shí)頻分布。而分解后的x(t)則可表示為：

(1)

從圖1可見，LMD算法是一個(gè)具有三層循環(huán)結(jié)構(gòu)的迭代過(guò)程。其中，最內(nèi)層循環(huán)即為計(jì)算局部均值函數(shù)m(t)和局部包絡(luò)函數(shù)a(t)的迭代過(guò)程，這個(gè)循環(huán)實(shí)際上是通過(guò)滑動(dòng)平均過(guò)程對(duì)所有相鄰極值點(diǎn)之間的局部均值和局部幅值進(jìn)行反復(fù)平滑，而滑動(dòng)平均算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更新處理的計(jì)算公式為：

w(i+h)]

(2)

式中，w(i)為原數(shù)據(jù)，ws(i)為更新后的數(shù)據(jù)，2h+1表示滑動(dòng)步長(zhǎng)?，F(xiàn)以五點(diǎn)法(2h+1=5)為例，則滑動(dòng)平均算法的數(shù)據(jù)處理過(guò)程可描述如下：

(3)

式中:N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。按式(3)對(duì)數(shù)據(jù)列進(jìn)行一次滑動(dòng)平均之后，如果新的數(shù)據(jù)列{ws(i);i=1, 2,…,N}中還存在相鄰點(diǎn)相等的狀況，則將其作為原序列繼續(xù)循環(huán)實(shí)施滑動(dòng)平均過(guò)程，直到任何相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都不再相等為止[17]。

步長(zhǎng)是滑動(dòng)平均算法的一個(gè)重要參數(shù)，它直接影響平滑計(jì)算的結(jié)果。通常情況下，以最長(zhǎng)局部均值的三分之一長(zhǎng)度作為滑動(dòng)步長(zhǎng)[18]，但由于非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)變特性，分解結(jié)果并不理想。

由于LMD中的滑動(dòng)平均算法在分解非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)存在分解精度和效率偏低的缺陷，文獻(xiàn)[15]將三次樣條插值法引入到LMD中，即利用數(shù)值插值方法替換滑動(dòng)平均算法來(lái)計(jì)算局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)，從而提高LMD算法的性能。通過(guò)這種替換，改進(jìn)后的基于樣條插值的LMD算法為：

(1) 搜索到信號(hào)x(t)的所有局部極值點(diǎn)后，用極大值進(jìn)行三次樣條插值，形成上包絡(luò)函數(shù)Eu(t)；用極小值進(jìn)行三次樣條插值，形成下包絡(luò)函數(shù)El(t)。

(2) 局部均值函數(shù)m(t)和局部包絡(luò)函數(shù)a(t)則用如下兩式分別進(jìn)行計(jì)算：

(4)

(5)

(3) 接下來(lái)的步驟按照LMD算法的原過(guò)程步驟進(jìn)行即可。

經(jīng)過(guò)上述方式改進(jìn)的LMD算法稱之為基于三次樣條插值(Cubic Spline Interpolation)的LMD(CSI-LMD)方法。由于CSI-LMD算法比圖1所示的LMD算法少了最內(nèi)層的一個(gè)迭代過(guò)程，所以CSI-LMD的分解步驟變得相對(duì)簡(jiǎn)單。盡管CSI-LMD算法在分解精度與計(jì)算效率上相比LMD算法都有所提高，但是利用三次樣條插值形成上/下包絡(luò)線，就不可避免地存在過(guò)包絡(luò)和欠包絡(luò)的問(wèn)題，這將使得由式(4)和式(5)計(jì)算的局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)也產(chǎn)生偏差而對(duì)最終分解結(jié)果的準(zhǔn)確性造成影響。

由于三次樣條插值要保持連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，插值函數(shù)的極值可能不出現(xiàn)在插值節(jié)點(diǎn)上，使得插值曲線的極值點(diǎn)偏移，反映到包絡(luò)線上，就形成了過(guò)包絡(luò)和欠包絡(luò)現(xiàn)象。與三次樣條插值相比，分段三次Hermite插值(Cubic Hermite Interpolation, CHI)也是采用三次多項(xiàng)式進(jìn)行逼近，具有足夠的光滑性，但是它不需要保證二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，能夠保證兩個(gè)插值點(diǎn)間的擬合曲線是單調(diào)的，從而可以避免過(guò)包絡(luò)和欠包絡(luò)問(wèn)題的產(chǎn)生。因此，本研究擬采用CHI對(duì)CSI-LMD算法進(jìn)行二次改進(jìn)以進(jìn)一步提高其分解信號(hào)的性能。

2 分段Hermite插值方法

給定區(qū)間[a,b]上的一個(gè)劃分Δ，

Δ∶a=x0

(6)

i=0,1,…,n

(7)

則稱

H(x)=Hi(x),x∈[xi-1,xi]

i=1, 2,…,n

(8)

是關(guān)于劃分Δ的分段三次Hermite插值函數(shù)，式(7)稱為插值條件。而由Lagrange法構(gòu)造的分段三次Hermite插值多項(xiàng)式函數(shù)可表示為：

x∈[xi-1,xi]

(9)

式中:αk(x)和βk(x)稱為分段三次Hermite插值多項(xiàng)式的基函數(shù)，hi=xi-xi-1。

分段三次Hermite插值多項(xiàng)式具有公式簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、穩(wěn)定性好、一致收斂等優(yōu)點(diǎn)，與三次樣條插值方法一樣，每一個(gè)子區(qū)間上的三次Hermite插值多項(xiàng)式是整個(gè)插值函數(shù)不可缺少的一部分；而這些分段多項(xiàng)式的幾何表示是一些光滑的三次曲線，將它們拼接起來(lái)，便形成一條完整光滑的插值曲線。

3 CHI-LMD改進(jìn)方法

三次樣條插值使CSI-LMD方法存在過(guò)包絡(luò)和欠包絡(luò)的問(wèn)題，最終將導(dǎo)致信號(hào)分解的結(jié)果產(chǎn)生偏差。而利用分段三次Hermite插值計(jì)算信號(hào)的局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)，能夠盡量減弱包絡(luò)線的過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象，從而可以提高算法的分解精度?；诖?，本研究提出一種分段三次Hermite插值的LMD(CHI-LMD)方法，其具體的算法步驟為：

(1) 找到任意信號(hào)x(t)的所有局部極值，用極大值進(jìn)行分段三次Hermite插值，形成上包絡(luò)線Eu(t)；用極小值進(jìn)行分段三次Hermite插值，形成下包絡(luò)線El(t)。

(2) 局部均值函數(shù)mi(t)和局部包絡(luò)函數(shù)ai(t)可以通過(guò)式(4)和式(5)計(jì)算得到。

(3) 接下來(lái)的步驟按照LMD算法的原過(guò)程步驟進(jìn)行即可。

與CSI-LMD方法相比，以上算法步驟只是采用不同的插值方法，雖然克服了過(guò)/欠包絡(luò)問(wèn)題，但是在實(shí)際的信號(hào)分解過(guò)程中，PF分量的迭代終止條件采用的仍然是局部包絡(luò)函數(shù)的幅值要小于給定的閾值，而這種判別方式也會(huì)使得分解結(jié)果產(chǎn)生誤差。由文獻(xiàn)[19]可知，LMD方法中的PF分量之間滿足正交性，即：

i=1,2,…,k

(10)

式中，k為PF分量的個(gè)數(shù)。式(10)說(shuō)明每個(gè)PF分量都與將其從原始信號(hào)x(t)中分離出來(lái)的剩余部分正交。

理論上，每個(gè)PF分量都應(yīng)該滿足式(10)，但實(shí)際應(yīng)用中，由于LMD方法的分解過(guò)程存在一定誤差，每個(gè)PF分量并不是嚴(yán)格的正交關(guān)系，所以，式(10)中的等號(hào)只能是在近似意義下成立；當(dāng)然，等號(hào)左邊的值越接近0，說(shuō)明PF分量的正交性越好，LMD的分解結(jié)果就越準(zhǔn)確。

基于PF分量的以上性質(zhì)，將正交性準(zhǔn)則(Orthogo-nality criterion, OC)引入到CHI-LMD方法中，以進(jìn)一步提高該方法的性能，從而能夠更準(zhǔn)確有效地分析處理非平穩(wěn)信號(hào)[19]。其中，正交性準(zhǔn)則OC的定義如下：

(11)

式中，x(t)為原始信號(hào)，mij(t)為L(zhǎng)MD在求解第i個(gè)PF分量時(shí)計(jì)算的第j次局部均值函數(shù)。

由于式(11)是基于式(10)而建立起來(lái)的，因此它能夠很好地反映LMD分解過(guò)程的正交性。此外，由LMD的分解步驟可知，隨著迭代次數(shù)j不斷增加，mij(t)將趨向于0，從而式(11)中等號(hào)右邊的分子和分母將同時(shí)趨向于0，并且二者的收斂速度一致，即分子和分母是等價(jià)無(wú)窮小，所以O(shè)C的值將趨向于1，這與LMD方法理論上的迭代終止條件也是相一致的。因此，利用OC作為迭代終止條件不僅可以保證分解的正交性，而且能夠減少分解過(guò)程的迭代次數(shù)和時(shí)間，具有較快的收斂速度，從而提高了算法效率。但是，OC的值也只是趨近于1，而且，并不是隨著迭代次數(shù)的增加呈單調(diào)遞減的趨勢(shì)，即OC的值在到達(dá)最小的某一個(gè)值后，當(dāng)分解過(guò)程繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，它反而開始增大或出現(xiàn)振蕩變化的情形。因此，OC極小值所對(duì)應(yīng)的分解次數(shù)即為PF分量迭代過(guò)程的最佳迭代次數(shù)?；诖耍郧昂髢纱蜗噜彽^(guò)程中OC的差值是否小于零作為PF分量的迭代過(guò)程結(jié)束的判別條件。

對(duì)CSI-LMD方法進(jìn)行以上兩方面的改進(jìn)后，就形成基于OC判據(jù)的CHI-LMD方法，該方法的算法流程圖如圖2所示。為便于描述，下文中均以CHI-LMD方法指代基于OC判據(jù)的CHI-LMD方法。

圖2與圖1相比，很明顯，CHI-LMD方法是一個(gè)僅有兩層循環(huán)結(jié)構(gòu)的分解過(guò)程，而LMD方法則是一個(gè)具有三層循環(huán)結(jié)構(gòu)的迭代過(guò)程，即CHI-LMD方法的算法結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，能夠減少算法的運(yùn)行時(shí)間，提高算法的運(yùn)行效率。此外，CHI-LMD算法以O(shè)C差值判斷法代替閾值判斷法決定產(chǎn)生PF分量的循環(huán)迭代過(guò)程是否應(yīng)該結(jié)束，從而使分解得到的PF分量之間保持較好的正交性，以提高CHI-LMD方法的分解精度，并最終形成一種性能提升的CHI-LMD方法。

圖2 CHI-LMD算法流程圖

4 仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的有效性，通過(guò)仿真信號(hào)和轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)信號(hào)對(duì)CSI-LMD和CHI-LMD方法的性能進(jìn)行了分析比較。

4.1 仿真分析

構(gòu)造一個(gè)仿真信號(hào)x(t)：

x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)=

[1+0.4cos(10πt)]cos[160πt+2cos(16πt)]+

2sin(πt)sin(30πt)+n(t)

t∈[0,1]

(12)

式(12)是由兩個(gè)不同的調(diào)頻-調(diào)幅分量x1(t)、x2(t)以及一個(gè)均值為0、方差為0.1的高斯白噪聲n(t)組成的非平穩(wěn)信號(hào)，x(t)的時(shí)域波形如圖3所示。

圖3 仿真信號(hào)波形

分別采用CSI-LMD和CHI-LMD方法對(duì)x(t)進(jìn)行處理，對(duì)于CSI-LMD方法，純調(diào)頻信號(hào)的迭代終止條件設(shè)定為，max[|1-ai(t)|]=0.01。x(t)經(jīng)兩種方法分解后的結(jié)果如圖4所示。

圖4 信號(hào)x(t)的分解結(jié)果

從圖4可見，CSI-LMD和CHI-LMD方法都可以將x(t)分解為3個(gè)PF分量和1個(gè)剩余分量R。其中，PF1包含著主要的噪聲成分；PF2、PF3則分別對(duì)應(yīng)有效分量x1(t)、x2(t)。此外，兩種方法的分解結(jié)果也存在明顯的差別，由CSI-LMD方法分解得到的PF2、PF3都出現(xiàn)了較為明顯的扭曲和失真，而由CHI-LMD方法分解出的PF2、PF3的誤差則相對(duì)較小。由此可見，CHI-LMD方法的分解精度比CSI-LMD方法的分解精度要高。

為驗(yàn)證CHI-LMD方法采用OC判據(jù)的有效性，引入正交性指標(biāo)(Index of orthogonality，IO)對(duì)分解結(jié)果的正交性進(jìn)行評(píng)價(jià)，其定義如下[20]：

i≠j

(13)

式中，T為信號(hào)長(zhǎng)度，k+1為PF分量的個(gè)數(shù)，第k+1個(gè)PF分量指剩余分量R。由式(13)可知，PF分量之間的正交性越好，則IO指標(biāo)越接近于0。經(jīng)計(jì)算，圖4所示兩個(gè)分解結(jié)果的IO指標(biāo)分別為IOa=0.1329、IOb=0.031 0，由此可見，CHI-LMD方法的正交性更好。同時(shí)，計(jì)算了x(t)中有效分量x1(t)、x2(t)以及用兩種LMD方法分解得到的PF2、PF3的能量，結(jié)果如表1所示。從表1中的數(shù)據(jù)可見，由兩種方法分解出的有效分量PF2、PF3的能量都與原始信號(hào)的有效分量x1(t)、x2(t)的能量之間存在一定誤差，但是，利用CHI-LMD方法分解得到的PF分量的能量誤差較小，更接近實(shí)際信號(hào)的能量值，這些結(jié)果也說(shuō)明CHI-LMD方法具有更高的分解精度。

表1 有效分量的能量對(duì)比

4.2 轉(zhuǎn)子碰摩故障振動(dòng)分析

從圖5所示設(shè)置有輕微碰摩故障的轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)上采集振動(dòng)位移信號(hào)，采樣頻率為5 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為3 000。圖6是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為3 000 r/min時(shí)，原始振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)[21]中的消噪方法處理后的時(shí)域波形。

圖5 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)照片

分別采用CSI-LMD和CHI-LMD方法對(duì)圖6所示的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，兩種方法都得到了4個(gè)PF分量和1個(gè)余量R，分解結(jié)果如圖7所示。從圖中可見，兩種分解方法產(chǎn)生的PF分量存在一些差別，這是因?yàn)樗鼈儾捎貌煌姆绞接?jì)算局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)，并使用不同的循環(huán)迭代條件。而在分解過(guò)程中，兩種方法產(chǎn)生每個(gè)PF分量所需要的迭代次數(shù)，以及整個(gè)分解過(guò)程所消耗的時(shí)間，如表2所示。

圖6 3 000 r/min時(shí)的碰摩振動(dòng)信號(hào)

表2 分解過(guò)程的迭代次數(shù)和耗時(shí)

圖7 3 000 r/min碰摩振動(dòng)信號(hào)的分解結(jié)果

表2中的數(shù)據(jù)顯示，CSI-LMD方法產(chǎn)生每個(gè)PF分量所需要的迭代次數(shù)都不少于CHI-LMD方法所對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)，尤其對(duì)于分量PF1而言，前者是后者的4.5倍；而兩種分解過(guò)程所消耗的時(shí)間也存在明顯差距，接近于10 s。由此可見，CHI-LMD方法的效率更高。

盡管圖7中的PF分量表征了從高頻到低頻的幾個(gè)自然振動(dòng)模式，但是無(wú)法給出明顯的故障特征，因此對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖8、圖9所示。

從頻譜圖可見，由兩種LMD方法得到的4個(gè)PF分量都包含了頻率由高到低的主要振動(dòng)成分。但是，兩種LMD方法分解出的PF分量的頻譜分布圖也存在一些明顯的差別。相比之下，由CHI-LMD方法分解得到的PF分量的頻譜分布圖，更準(zhǔn)確地提取出了碰摩故障所引起的1/2、1及2倍頻等幾種特征成分[14]。

圖8 CSI-LMD的4個(gè)PF分量的頻譜

圖9 CHI-LMD的4個(gè)PF分量的頻譜

與仿真信號(hào)一樣，計(jì)算了兩種LMD方法的正交性指標(biāo)IOa=0.076 5、IOb=0.036 7，而各PF分量的能量及能量和見表3。IO值的不同、表3中PF分量的能量和與原始信號(hào)能量之間的誤差大小則表明，CHI-LMD方法能夠更加準(zhǔn)確地分解故障振動(dòng)信號(hào)。

表3 信號(hào)分解后的能量對(duì)比

從以上結(jié)果可見，無(wú)論是分解過(guò)程的迭代次數(shù)與時(shí)間消耗，還是PF分量之間的正交性、PF分量的能量和與原始信號(hào)能量之間的誤差大小，以及提取故障轉(zhuǎn)子的特征振動(dòng)成分等性能指標(biāo)，CHI-LMD方法都具有一定的優(yōu)勢(shì)，即CHI-LMD方法在計(jì)算效率和分解精度兩方面都優(yōu)于CSI-LMD方法。

5 結(jié) 論

LMD是一種自適應(yīng)的信號(hào)分解方法，特別適合于非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析。本研究經(jīng)過(guò)對(duì)CSI-LMD方法的插值方式和迭代判別條件進(jìn)行改進(jìn)，得到了一種基于OC判據(jù)的CHI-LMD方法，通過(guò)仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)的驗(yàn)證，得出以下主要結(jié)論：

(1) 相對(duì)于CSI-LMD方法，CHI-LMD方法在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，分解過(guò)程的迭代次數(shù)和時(shí)間消耗都較少，而且最終分解結(jié)果的誤差也較小。

(2) CSI-LMD與CHI-LMD方法相比，由后者分解得到的PF分量之間的正交性更好。

(3) CHI-LMD比CSI-LMD方法能夠更加準(zhǔn)確地從故障信號(hào)當(dāng)中分離出代表故障特征的振動(dòng)成分。

[1]何正嘉, 訾艷陽(yáng), 孟慶豐, 等. 機(jī)械設(shè)備非平穩(wěn)信號(hào)的故障診斷原理及應(yīng)用[M]. 北京: 高等敎育出版社, 2001: 1-7.

[2]De Moura E P, Souto C R, Silva A A, et al. Evaluation of principal component analysis and neural network performance for bearing fault diagnosis from vibration signal processed by RS and DF analyses[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(5): 1765-1772.

[3]Muralidharan V, Sugumaran V. Feature extraction using wavelets and classification through decision tree algorithm for fault diagnosis of mono-block centrifugal pump[J]. Measurement, 2013, 46(1): 353-359.

[4]Widodo A, Yang B S. Support vector machine in machine condition monitoring and fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(6): 2560-2574.

[5]Cheng Jun-sheng, Yu De-jie, Yang Yu. The application of energy operator demodulation approach based on EMD in machinery fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(2): 668-677.

[6]Lei Y G, Zuo M J, He Z J, et al. A multidimensional hybrid intelligent method for gear fault diagnosis[J]. Expert Systems with Applications, 2010, 37(2): 1419-1430.

[7]Wang Y X, Liang M. Identification of multiple transient faults based on the adaptive spectral kurtosis method[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(2): 470-486.

[8]Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1998, 454(1971): 903-995.

[9]Feng Z P, Liang M, Chu F L. Recent advances in time frequency analysis methods for machinery fault diagnosis: A review with application examples [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2013, 38(1): 165-205.

[10]Yang Yu, Cheng Jun-sheng, Zhang Kang. An ensemble local means decomposition method and its application to local rub-impact fault diagnosis of the rotor systems[J]. Measurement, 2012, 45(3): 561-570.

[11]Wang Yan-xue, He Zheng-jia, Xiang Jia-wei, et al. Application of local mean decomposition to the surveillance and diagnostics of low-speed helical gearbox[J]. Mechanism and machine theory, 2012, 47: 62-73.

[12]Zhang Yuan, Qin Yong, Xing Zong-yi, et al. Roller bearing safety region estimation and state identification based on LMD-PCA-LSSVM[J]. Measurement, 2013, 46(3): 1315-1324.

[13]孫偉, 熊邦書, 黃建萍, 等. 小波包降噪與LMD相結(jié)合的滾動(dòng)軸承故障診斷方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(18): 153-156.

SUN Wei, XIONG Bang-shu, HUANG Jian-ping, et al. Fault diagnosis of a rolling bearing using Wavelet packet de-noising and LMD[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(18): 153-156.

[14]Wang Yan-xue, He Zheng-jia, Zi Yan-yang. A comparative study on the local mean decomposition and empirical mode decomposition and their applications to rotating machinery health diagnosis[J]. Journal of vibration and acoustics, 2010, 132(2): 0210101-02101010.

[15]胡勁松, 楊世錫, 任達(dá)千. 基于樣條的振動(dòng)信號(hào)局域均值分解方法[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2009, 24(1): 78-83.

HU Jin-song, YANG Shi-xi, REN Da-qian. Spline-based local mean decomposition method for vibration signal[J]. Journal of Data Acquisition & Processing, 2009, 24(1): 78-83.

[16]程軍圣, 張亢, 楊宇, 等. 局部均值分解與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾膶?duì)比研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2009, 28(5): 13-16.

CHENG Jun-sheng, ZHANG Kang, YANG Yu, et al. Comparison between the methods of local mean decomposition and empirical mode decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(5): 13-16.

[17]任達(dá)千. 基于局域均值分解的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障特征提取方法及系統(tǒng)研究[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2008.

[18]Smith J S. The local mean decomposition and its application to EEG perception data[J]. Journal of the Royal Society Interface, 2005, 2(5): 443-454.

[19]張亢, 程軍圣, 楊宇. 局部均值分解方法中乘積函數(shù)判據(jù)問(wèn)題研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2011, 30(9): 84-88.

ZHANG Kang, CHENG Jun-sheng, YANG Yu. Product function criterion in local mean decomposition method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(9): 84-88.

[20]Loutridis S J. Damage detection in gear systems using empirical mode decomposition[J]. Engineering Structures, 2004, 26(12): 1833-1841.

[21]鄧林峰, 趙榮珍, 龔俊. 一種改進(jìn)的轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)消噪方法研究[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2011, 32(9): 1961-1966.

DENG Lin-feng, ZHAO Rong-zhen, GONG Jun. Research on an improved de-noising method for rotor vibration signals[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2011, 32(9): 1961-1966.