燕啟清，劉世忠，朱占龍，李登科

基于頻率法的短吊桿索力測試

燕啟清1，劉世忠1，朱占龍2，李登科2

(1. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070；2. 中鐵西北科學研究院有限公司，甘肅 蘭州 730000)

為提高基于頻率法的短吊桿索力測試精度，結合現有文獻中吊桿索力與其自振頻率之間的顯式關系式，通過對影響吊桿索力測試精度的因素進行分析，引入邊界條件修正系數修正吊桿兩端復雜邊界條件；在頻率法測試吊桿拉力計算公式的基礎上，引入吊桿索力偏差系數用于短吊桿的界定；提出一種考慮短吊桿抗彎剛度、復雜邊界條件的索力比例系數標定方法及索力計算公式。將其運用在某64 m下承式鋼管混凝土系桿拱橋施工監(jiān)控中，算例表明：相對于傳統(tǒng)索力測試計算方法，使用該方法使短吊桿索力測試精度提高了13.4%，且吊桿有效長度越短，精度提高得越多。

頻率法；短吊桿索力測試；邊界條件；抗彎剛度；吊桿索力比例系數標定

吊桿索力測試的方法主要有壓力表法、壓力傳感器法、頻率法、振動波法、三彎點法、磁通量法及其他方法等。頻率法作為一種操作簡單、經濟便利的間接測試方法仍具有一定的實用價值。關于基于頻率法的拉索索力測試方法及計算公式，國內許多專家學者做了大量的研究。史杰等[1]提出了吊桿有效長度的標定方法；薛剛等[2]進行了基于頻率法測試吊桿索力的室內實驗；于孟生等[3]分析了吊桿有效長度對索力測試的影響；何雄君等[4]研究了拉索有效長度、HDPE套管對拉索索力測試的影響；李曉章[5]對多階頻率法、2種附加質量法、基于頻率法的吊桿索力測試方法進行了比較；劉承斌等[6]就拉索垂度對其索力測試計算的影響進行了室內實驗。此外，Kangas等[7?9]對吊桿索力與其自振頻率之間的關系做了大量的研究并將其運用到工程實踐中，同時MA等[10?12]提出了基于頻率法的吊桿索力靈敏度修正識別系統(tǒng)，并通過與有限元分析結果相互驗證證明其可靠性。本文結合現有文獻中吊桿索力與其自振頻率之間關系的表述，提出一種考慮吊桿兩端邊界條件、橫向抗彎剛度的短吊桿索力測試方法，并對短吊桿做出界定，將此方法運用在某下承式鋼管混凝土系桿拱橋中取得了良好的測試效果。

1 普遍采用的吊桿索力監(jiān)測方法

在施工監(jiān)控過程中通常采集各吊桿的自振頻率，結合前期標定的吊桿索力比例系數計算各吊桿索力值，并與設計值做對比，以此作為是否進行調索的依據。不考慮吊桿橫向抗彎剛度對吊桿索力測試的影響時，吊桿索力比例系數標定公式及索力計算公式是以弦振動理論為基礎的。根據弦振動理論，吊桿索力與其自振頻率之間的顯式關系式 為[13]：

式中：為吊桿的線密度；為吊桿有效長度；f為吊桿第階自振頻率；為吊桿索力；為吊桿自振頻率階數。

令42，f=f/n，則有

假設某吊桿在張拉完成之后其他吊桿張拉之前的時間段內該吊桿的索力是不變的，則此時該吊桿的索力Q可通過吊桿錨固時千斤頂油表讀數帶入千斤頂標定方程換算得到。當采用吊桿1階自振頻率計算吊桿索力時，吊桿索力比例系數的標定公式為：

式中：Q為由千斤頂油表讀數得到的吊桿索力，即標定階段千斤頂張拉力；1為吊桿張拉完成后用索力動測儀采集到的吊桿1階自振頻率(為消除張拉設備對吊桿自振頻率采集的影響，應在吊桿張拉完成，張拉設備拆除后，其他吊桿張拉之前采集吊桿1階自振頻率)；K為標定的吊桿索力比例系數。不考慮吊桿橫向抗彎剛度對吊桿索力測試的影響時，吊桿索力計算公式為：

吊桿張拉完成后，采集各吊桿1階自振頻率并將其代入式(4)計算該階段各吊桿索力值，以此作為第1次調索的依據。在拆除系梁支架及橋面鋪裝完成后，利用索力動測儀采集各吊桿1階自振頻率，用同樣的方法可得到全橋吊桿索力，當實測索力與設計值之間的偏差超過規(guī)范要求時，須進行2次 調索。

2 影響短吊桿索力測試精度的因素

2.1 吊桿橫向抗彎剛度及邊界條件

當吊桿兩端邊界條件可以假定為鉸接時，吊桿索力與其1階自振頻率之間的顯示關系式為[14]：

令=42，=1則有

式中：為吊桿的拉壓彈性模量；為吊桿的橫向抗彎慣性矩，其余符號含義同上。

利用能量法，分別引入拉索橫向振動在一端固接一端鉸接、兩端固接邊界條件下的振型函數，得到的拉索索力與其1階自振頻率之間關系的表達 式為[15]：

令=42，則吊桿索力計算公式可表示為：

式中各符號的含義同上。

由式(2)和式(6)可以看出：吊桿橫向抗彎剛度對吊桿索力計算值的影響為π2/2，與吊桿有效長度的平方成反比。由式(6)和式(10)可以看出，若不考慮吊桿橫向抗彎剛度，邊界條件擬定為鉸接時計算得到的吊桿索力是擬定為一端鉸接一端固接、兩端固接時的1.376倍和2.205倍。吊桿的邊界條件并非單純的鉸接或固接，而是介于兩者之間，引入邊界條件修正系數λ，假設由吊桿索力的變化引起的吊桿有效長度、拉壓彈性模量、抗彎慣性矩、線密度的改變可忽略不計，根據式(6)和式(10)可以得到考慮吊桿復雜邊界條件和吊桿橫向抗彎剛度的索力計算公式：

式中：為吊桿邊界條件修正系數；為吊桿橫向抗彎剛度修正值，對于單根吊桿其表達式為：

式中：為吊桿編號。基于假定，C為常數，故在吊桿第1次張拉階段僅標定即可，的標定公式為：

式中：T為標定吊桿索力比例系數時的千斤頂張拉力，其余符號含義同上。工程實踐中，若吊桿分2個階段張拉至設計索力，一般在吊桿第1次張拉階段標定，在吊張第2次拉階段對進行復核。

比例系數標定階段(吊桿第1次張拉階段)吊桿張拉力設計值b與張拉吊桿時的千斤頂張拉力Q相近(兩者相近程度與千斤頂油表讀數精度相關)，則：

2.2 吊桿有效長度

關于吊桿有效長度的確定，工程實踐中最常用的幾種方法均是在吊桿與拱肋、系梁的連接方式為墩頭錨的情況下提出來的?，F有文獻中提出的2種吊桿有效長度計算公式分別為[16]：

式中：1和2為吊桿有效長度；0為吊桿總長，即吊桿上、下錨固端之間的距離；d為吊桿錨固區(qū) 總長。

目前系桿拱橋吊桿與系梁、拱肋的連接大多采用錨箱和冷鑄錨，采用此種連接方式時，吊桿錨固區(qū)長相對于吊桿總長是很小的。在吊桿索力與其自振頻率關系的表達式中，吊桿有效長度均是以平方的形式出現的。顯然，當吊桿與拱肋、系梁的連接方式采用錨箱和冷鑄錨時，吊桿有效長度的確定對吊桿索力監(jiān)測精度的影響要比采用墩頭錨時小 得多。

3 算例

3.1 工程概況

某下承式鋼管混凝土簡支系桿拱橋平面位于=800 m的圓曲線上，系梁全長66.5 m，計算跨徑64.0 m。系梁采用單箱雙室預應力混凝土箱形截面，梁高1.9 m。拱肋橫斷面采用啞鈴形鋼管混凝土等截面，拱軸線采用二次拋物線，拱肋之間設2道一字撐和2道k撐，鋼管橫撐內均不內填混凝土。吊桿采用PES(FD)7-85平行鍍鋅高強鋼絲，布置形式為平行布置，布置間距為5 m，全橋共設9對吊桿，共計18根。該橋采用先梁后拱的施工方法，先在支架上澆筑系梁、張拉預應力束，然后在系梁上搭設拱肋支架、拼裝焊接拱肋、壓注拱肋混凝土。待拱肋混凝土強度達到設計要求之后安裝吊桿，按設計張拉順序、張拉力分階段張拉吊桿。吊桿張拉完成之后，測試、計算全橋吊桿索力，當計算值與該施工階段吊桿索力設計值之間的差值在±5%以內時，拆除拱肋、系梁支架，進行二期施工。

單位：cm

3.2 吊桿張拉順序及張拉力

吊桿分2個階段張拉至設計索力，4根相互對稱的吊桿同時張拉且張拉力一致，2個張拉階段吊桿設計張拉力設計值(張拉目標值)及張拉順序如表1所示，表中1i表示吊桿第2次張拉階段各吊桿張拉力設計值，表中2i表示吊桿第2次張拉階段各吊桿張拉力設計值。吊桿張拉完成后各階段吊桿索力設計值如表2所示。

表1 吊桿張拉力設計值及張拉順序

吊桿第2次張拉階段是指在吊桿第1次張拉完成的基礎上，按吊桿第2次張拉階段的張拉設計值進一步張拉吊桿，2個張拉階段的區(qū)別僅在于吊桿第2次張拉階段吊桿索力發(fā)生了改變，但橋梁其他狀態(tài)未發(fā)生變化，故可采用吊桿第2次張拉階段吊桿實際張拉力和吊桿實測1階自振頻率對吊桿第1次張拉階段標定的吊桿索力比例系數、吊桿索力計算公式進行復核。

表2 各關鍵施工階段吊桿索力設計值

3.3 吊桿有效長度計算

該橋吊桿與拱肋、系梁的連接方式為冷鑄錨和錨箱。吊桿上錨固端構造如圖2所示，下錨固端構造與上錨固端類似，吊桿上下錨固端錨固區(qū)長度分別為0.32 m和0.38 cm，張拉時在下端張拉。吊桿總長及有效長度如表3所示，表中各符號含義同式(17)，d取0.7 m。

表3 吊桿有效長度計算

單位：cm

3.4 吊桿索力偏差系數η

吊桿拉壓彈性模量=1.95×105MPa，線密度為=257 N/m，直徑=0.087 m。該吊桿為PES(FD) 7-85平行鍍鋅高強鋼絲，慣性矩計算采用移軸定理，將每根鋼絲對其形心的慣性矩換算到吊桿截面形心，吊桿抗彎慣性矩為=2.049×10?6m4。將吊桿拉壓彈性模量，抗彎慣性矩，有效長度代入式(12)可得到吊桿橫向抗彎剛度修正值C，將C的值代入式(16)可求得吊桿索力偏差系數。各吊桿索力偏差系數的計算結果如表4所示，表中各符號下標為1表示計算時采用的吊桿有效長度為1，下標為2表示計算時采用的吊桿有效長度為2，為吊桿編號，bi表示吊桿索力比例系數標定階段(吊桿第1次張拉階段)各吊桿張拉力設計值，si表示二期鋪裝完成后各吊桿索力設計值，其余符號含義同上。

表4 吊桿索力偏差系數計算

由表4可知，均大于5%，為短吊桿，須用式(13)標定吊桿索力比例系數，用式(11)計算吊桿張拉完成后各施工階段吊桿索力。

3.5 2種比例系數標定及吊桿索力計算公式的比較

在吊桿第1次張拉階段(吊桿索力比例系數標定階段)采集吊桿1階自振頻率，結合千斤頂油表讀數，用式(3)標定吊桿索力比例系數K。吊桿第1次張拉階段各吊桿的千斤頂張拉力T及吊桿1階自振頻率如表5所示。

在吊桿第1次張拉階段用式(3)標定的吊桿索力比例系數K如表6所示，式中K為按弦振動理論計算的各吊桿索力比例系數，K表示基于弦振動理論標定的各吊桿索力比例系數，取1時表示計算時采用的吊桿有效長度為1，取2時表示計算時采用的吊桿有效長度為2，下標表示吊桿編號。從表6中可以看出，K與K之間的最大偏差為93%，即用2組比例系數計算得到的吊桿索力最大偏差為93%，在吊桿索力監(jiān)測中如此大的偏差是不允許出現的，故在短吊桿索力測試計算中必須對吊桿索力比例系數進行標定。

表5 千斤頂張拉力及吊桿基頻

表6 吊桿索力比例系數KiB的標定

將K代入式(4)可得在吊桿第1次張拉階段基于弦振動理論標定的吊桿索力計算公式為：

式中：T為編號為的吊桿的索力計算值；K為編號為的吊桿的吊桿索力比例系數標定值；f1為編號為的吊桿的1階自振頻率。

用式(13)在吊桿第1次張拉階段標定的吊桿索力比例系數λK如表7所示，將各吊桿的λK及吊桿橫向抗彎剛度修正值C代入式(11)可求得采用本文提出的吊桿索力比例系數標定、吊桿索力計算方法在吊桿第1次張拉階段標定的各吊桿索力計算公式為：

式中：T為編號的吊桿采用本文方法計算得到的各吊桿索力值；λ為編號的吊桿的邊界條件修正系數；C為編號的吊桿抗彎剛度修正值；f1為編號的吊桿的1階自振頻率。上式中各符號的下標表示吊桿編號，下標取1時表示計算時采用的吊桿有效長度為1，取2時表示計算時采用的吊桿有效長度為2。

表7 吊桿比例系數λiK標定

吊桿第2次張拉階段各吊桿實際張拉力T2i和實測1階自振頻率f1如表8所示。

表8 吊桿第2次張拉階段各吊桿千斤頂張拉力及吊桿基頻

表9 式(18)的復核結果

由式(18)的復核結果表9可知：T小于T2i，兩者之間最大偏差為?18%，最小偏差為?6.7%，偏差的絕對值大于吊桿索力計算控制誤差Δ，證明基于弦振動理論的吊桿索力比例系數標定、吊桿索力計算方法在短吊桿索力監(jiān)測中不可行。

由式(19)的復核結果表10可知：1)T2i與T1之間的最大偏差為?4.4%，T2與T2之間的最大偏差為?3.0%，偏差的絕對值均小于吊桿索力計算控制誤差Δ，證明本文提出的吊桿索力比例系數標定、吊桿索力計算方法的合理性；2) 對比Δ1與Δ2，可以看出理論計算值T2與吊桿實際張拉力T2i更接近，說明本橋采用吊桿有效長度2較為合理。 3) Δ1與Δ2之間的最大偏差為1.5%，說明當吊桿與拱肋、系梁的連接方式為冷鑄錨和錨箱時，吊桿有效長度的確定對吊桿索力比例系數標定、吊桿索力計算的影響很小。從表9和表10可以看出，本文提出的吊索力比例系數標定、吊桿索計算方法較基于弦振理論的吊桿索力比例系數標定、吊桿索力計算方法精度提高了13.4%，且吊桿總長越小，計算精度提高得越多，對于D5吊桿，精度僅提高了4.5%。

表10 式(19)的復核結果

第2次吊桿張拉完成后，采集各吊桿1階自振頻率，將其代入吊桿第1次張拉階段標定好的吊桿索力計算公式式(19)計算各吊桿索力，以此作為第1次調索的依據。調索結果顯示，吊桿索力計算值與該階段吊桿索力設計值之間的偏差均在5%以內，再次說明本文提出的吊桿索力監(jiān)測方法的合理性，具體調索計算在此不再贅述。

3.6 吊桿比例系數λK的2次復核

拆除系梁支架、橋面鋪裝完成后，采集各吊桿1階自振頻率代入吊桿第1次張拉階段標定的各吊桿索力計算公式式(19)得到本階段各吊桿索力，以此作為第2次調索的依據。第2次調索時，根據該階段采集的吊桿1階自振頻率f1和吊桿實際張拉力T2i?2對吊桿第1次張拉階段標定的各吊桿索力計算公式式(19)進行第2次復核。

表11 2次調索千斤頂張拉力及吊桿基頻

表12 式(19)的2次復核

表13 吊桿第2次張拉階段各吊桿索力計算值

3.7 短吊桿索力計算公式精度驗證

采用文獻[17]中的短吊桿索力計算公式及吊桿第2次張拉階段各吊桿1階自振頻率計算該階段各吊桿索力，并與表8中的T2i和表10的T2做比較，驗證本文提出的吊桿索力比例系數標定、吊桿索力計算公式的可靠性。文獻[17]中的短吊桿索力計算公式為：

表14 計算精度對比

4 結論

1) 影響短吊桿索力測試精度的主要因素為吊桿兩端邊界條件的確定及吊桿橫向抗彎剛度；在吊桿張拉過程中必須對吊桿索力比例系數進行標定和復核。

2) 引入吊桿索力偏差系數對短桿進行界定，對于短吊桿，本文提出的吊桿索力比例系數標定方法、吊桿索力計算公式相對于基于弦振理論的標定方法使短吊桿索力的計算精度提高了13.4%。

3) 采用本文提出的吊桿索力測試方法，吊桿有效長度的確定對吊桿索力測試的影響可忽略不計。

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Determing short suspender tension based on frequency method

YAN Qiqing1, LIU Shizhong1, ZHU Zhanlong2, LI Dengke2

(1. Civil Engineering College, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. China Railway Northwest Research Institute Co., Ltd., Lanzhou 730070, China)

To improve the accuracy of the short suspender tension determined based on the frequency method, in combination with the relationship between suspender tension and its natural vibration frequency in the existing literature and through comprehensive analysis of the factors affecting the monitoring accuracy of the cable force of the boom, the boundary condition correction coefficient “” was introduced to correct the boundary conditions at both ends of the suspender. Based on the commonly used formula for calculating the tension of the suspender based on the frequency method，the stiffness parameter “” of the suspender was used to define the short suspender. A method for calibrating the suspender tension proportional coefficient considering the bending stiffness and boundary conditions of short boom and the suspender tension calculation formula were proposed. It was used for monitoring and controlling suspender tension of a 64 m through CFST tied arch bridge, which shows that compared with the traditional suspender tension calculation method, the use of this method improves the accuracy of the short suspender tension by 13.4%, and that the shorter the effective length of the boom, the greater improvement of the accuracy.

frequency method; determined short suspender tension; boundary conditions; flexural stiffenss; calibration of short suspender tension proportional coefficient

U445.7

A

1672 ? 7029(2020)10 ? 2577 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20191121

2019?12?12

國家自然科學基金資助項目(51868040)

劉世忠(1962?)，男，甘肅甘谷人，教授，博士，從事橋梁工程、結構工程有限元分析、檢測評估研究；E?mail：645819394@qq.com

(編輯 涂鵬)