岳宗敏

常微分方程是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，內(nèi)容包括：微分方程建模、初等積分法、線性系統(tǒng)、常系數(shù)線性系統(tǒng)、若干振動問題、一般理論、定性理論初步。自微積分創(chuàng)立以來，人們就開始研究微分方程。從最初的初等求解技巧到今天日益發(fā)達的數(shù)值模擬技術(shù)，從早期對方向場的理解到今天關(guān)于微分方程定性理論、分岔理論的成熟知識體系，三百多年的歷史使這門數(shù)學(xué)分支不僅成為了數(shù)學(xué)學(xué)科中隊伍最大、綜合性最強的領(lǐng)域之一，而且成為數(shù)學(xué)以外學(xué)科最為關(guān)注的領(lǐng)域之一。也正是因為科技發(fā)展對于微分方程的要求越來越強烈，所以各個學(xué)校都在結(jié)合自身的特點，開展一些教學(xué)上的改革，在課堂上展開多種形式的教學(xué)，力圖使學(xué)生能夠深刻理解微分方程所要傳達的信息。

常微分方程課堂教學(xué)建設(shè)的主要內(nèi)容

數(shù)學(xué)類各專業(yè)培養(yǎng)具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維能力，受到數(shù)學(xué)建模、計算機和數(shù)學(xué)軟件方面的基本訓(xùn)練，在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用方面受到良好的教育，具有較高的科學(xué)素養(yǎng)和較強的創(chuàng)新意識，具備科學(xué)研究、解決實際問題及軟件開發(fā)等方面的基本能力和較強的更新知識能力的綜合人才。常微分方程課程是繼數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)之后的一門重要基礎(chǔ)課程，為學(xué)習(xí)泛函分析、偏微分方程等后繼課程提供強有力支撐，也是應(yīng)用性很強的一門課程，在實現(xiàn)數(shù)學(xué)、力學(xué)等專業(yè)培養(yǎng)目標中具有不可替代的重要作用。綜合考慮該課程的特點，以及與其他相關(guān)課程的銜接問題，明確課程定位，確立本課程的具體目標為：（1）強化理論基礎(chǔ)，服務(wù)后續(xù)課程；（2）強化建模思想和方法，鼓勵學(xué)生思考，提高動手能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。為此，加強課堂建設(shè)，需要從以下幾方面入手：

1.把課堂知識模塊化，突出重點加強難點

知識模塊分為概念篇、計算篇、理論篇、應(yīng)用篇，其中概念篇主要包含微分方程基本概念定義等；計算篇主要包含微分方程初等積分法，高階微分方程解法，微分方程組的解法等；理論篇主要包含解的存在唯一性，解的定性理論等；應(yīng)用篇包含常微分方程模型介紹，使用數(shù)學(xué)軟件Matlab、Mathematic以及Maple求解有關(guān)的常微分方程。學(xué)時上安排為：概念篇2課時，計算篇35課時，理論篇8課時，應(yīng)用篇8課時，習(xí)題及討論課3課時。

重點為一階微分方程解的存在唯一性定理證明，各類一階微分方程的求解，線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，高階線性齊次和非齊次方程的求解，常系數(shù)齊次線性微分方程組基解矩陣的概念及求法。難點為一階微分方程解的存在唯一性定理證明，多重特征根情形下線性微分方程組的基本解組的求法，對實際問題進行建模與分析。

重點內(nèi)容的解決主要通過習(xí)題課、討論、答疑等多種方法，理論性強的內(nèi)容通過了解學(xué)生基礎(chǔ)，采取啟發(fā)、精講、補充相關(guān)知識等多種方法相結(jié)合，循序漸進。難點內(nèi)容分別采取以下方法解決：（1）對解的存在唯一性定理的證明：通過代數(shù)方程和具體的一階微分方程作為引例，給出證明思路，然后將它分解成相對獨立的四個子命題來證明；（2）對多重特征根情形下線性微分方程組的基本解組的求法：詳細講解相關(guān)理論，總結(jié)推導(dǎo)結(jié)果，再通過一些典型的例子說明基本解組的具體求法；（3）實際問題進行建模與分析：通過分析實際問題的背景，補充相關(guān)理論知識，建立相關(guān)的微分方程模型。

通過以上的方式，既保障了基本教學(xué)內(nèi)容，同時通過把教學(xué)的內(nèi)容作了新的梳理，余出一定的時間給學(xué)生去思考與討論，訓(xùn)練學(xué)生分析問題解決問題的能力。

2.采取靈活的教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)質(zhì)量

為了充分發(fā)揮教師在教學(xué)活動中的主導(dǎo)作用和學(xué)生在教學(xué)活動中的主體地位，改變過去單純重視知識傳授和模仿繼承前人知識的教學(xué)模式，實現(xiàn)知識傳授與能力培養(yǎng)相結(jié)合、模仿繼承與創(chuàng)新發(fā)展相結(jié)合的教學(xué)模式，我們對教學(xué)法進行了改革，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

例如我們將教學(xué)分為三個階段[1]：第一階段，以經(jīng)典的微分方程模型為導(dǎo)入點,進而引入相關(guān)的微分方程理論知識,課堂“講、練、問、答”四位一體，以板書與多媒體相結(jié)合的方式，使學(xué)生掌握基本理論和方法；第二階段，轉(zhuǎn)被動為主動，以學(xué)生自學(xué)為主，教師為輔。選取適當(dāng)?shù)膬?nèi)容讓學(xué)生來講解，教師合理引導(dǎo)；第三階段，深層討論與拓展，把對微分方程興趣濃厚的學(xué)生組成討論班，討論班在每次章節(jié)結(jié)束的時候會給全班同學(xué)帶來本章節(jié)內(nèi)容在實際中應(yīng)用的有關(guān)報告以及多媒體的演示（獨立報告三十分鐘）。

其次可以在教師講解的基礎(chǔ)上，開展案例或者討論教學(xué)。將學(xué)生進行分組，針對不同組的實際情況，安排不同的自學(xué)內(nèi)容，包括實際模型的建立，某個知識點的鞏固，知識點的深入討論，課堂內(nèi)容總結(jié)，軟件應(yīng)用等，教師引導(dǎo)學(xué)生自己認識問題，消化問題，解決問題，使學(xué)生逐步了解解決問題的基本思想。

總之，教學(xué)無定法而有良法，教師在課堂教學(xué)中始終堅持學(xué)生主體地位，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ{(diào)動學(xué)生更多的主動性，不但教會學(xué)生學(xué)什么，更能體現(xiàn)出怎么學(xué)，這是我們教學(xué)的重要內(nèi)容。大數(shù)學(xué)家歐拉之所以被稱為是一位好的教師，除了他本身有較高的數(shù)學(xué)功底外，更重要的是他愿意把自己解決問題的想法和思路與大家分享，而不是一味地強調(diào)結(jié)果。

3.教學(xué)形式與手段的多樣化，促進課堂教學(xué)

首先，傳統(tǒng)課堂教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合。將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中不能直觀表示的抽象的概念、定理等通過圖表、圖像、動畫等多媒體課件生動地表現(xiàn)出來，例如，在講向量場時，可用多媒體演示微分方程的向量場，從而加深學(xué)生的印象，使學(xué)生易于理解和掌握，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，解決了課堂信息量不大的問題，使教學(xué)過程靈活多樣，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成了教學(xué)的良性循環(huán)。

其次，課堂教學(xué)和學(xué)生報告相結(jié)合。教師在教學(xué)中不應(yīng)該全盤講滿，要留有適當(dāng)?shù)臅r間給學(xué)生思考和學(xué)習(xí)，不但要注重學(xué)生的學(xué)會，更應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的會學(xué)，這樣的學(xué)生才具備創(chuàng)新能力。所以合理安排課堂內(nèi)容與學(xué)生報告的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)亓粢欢ǖ臅r間給學(xué)生，將他們所學(xué)習(xí)到的東西和全班來分享，最后教師將學(xué)生的內(nèi)容作以總結(jié)，以此方式替代教師全盤講授的過程，報告內(nèi)容與課堂內(nèi)容有關(guān)，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時又鍛煉了學(xué)生的表達、總結(jié)以及分析解決問題的能力。

最后，多種形式的考核相結(jié)合?？己藢W(xué)生不僅僅看期末的成績，把課堂的參與以及作業(yè)等結(jié)合起來，以適當(dāng)?shù)谋壤o予分數(shù)的認可，能夠一定程度地提高學(xué)生參與課堂的積極性。

注重多種形式的第二課堂的開辟

由于常微分方程的總課時只有56課時，所以在做好第一課堂建設(shè)的同時，不能松懈第二課堂的開辟。這不但是規(guī)定的課堂教學(xué)的有益補充，更加能夠豐富課堂教學(xué)內(nèi)容。第二課堂的形式包括討論班，課后答疑，精品課程網(wǎng)站的互動，網(wǎng)上開放課堂等。特別是隨著網(wǎng)路的發(fā)展，網(wǎng)路對于人們的生活工作學(xué)習(xí)都在產(chǎn)生著重要的影響，課程上網(wǎng)是現(xiàn)代化教育發(fā)展的一個大的方向，也是新時期教育的新特征，所以利用網(wǎng)絡(luò)加強第二課堂的建設(shè)任重而道遠。

總之，提高教學(xué)質(zhì)量，課堂是首要陣地，加強課堂建設(shè)是加強教學(xué)的重要內(nèi)容，作為教師既要有主動探索的精神，也要有逐步實施的決心和耐心，在教學(xué)的這條道路上才能越走越遠，收獲也更多。

[1]岳宗敏.“常微分方程”課程的三段分層教學(xué)模式探析[J].中國電力教育，2009（2）：48-49.