黃海洋

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已開(kāi)展了22年。在教育部的悉心指導(dǎo)下，在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組織委員會(huì)的精心組織下，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的規(guī)模不斷擴(kuò)大，參賽人數(shù)逐年增加，目前已經(jīng)發(fā)展成為一項(xiàng)規(guī)模最大的大學(xué)生課外科技活動(dòng)。這項(xiàng)學(xué)科競(jìng)賽活動(dòng)給學(xué)生提供了全過(guò)程親身體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的機(jī)會(huì)，激勵(lì)學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造力，通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作參與競(jìng)爭(zhēng)，同時(shí)也促進(jìn)教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和方法的思考與研究，對(duì)推動(dòng)高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革有著非常重要的意義。我參加數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)已有10年，我想通過(guò)我的經(jīng)歷與大家分享數(shù)學(xué)建模帶來(lái)的快樂(lè)。

一、我的學(xué)習(xí)經(jīng)歷

自1961年到1967年，我在福州實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)習(xí)，實(shí)際上只學(xué)到1965年，“文化大革命”開(kāi)始，小學(xué)五年級(jí)就停課了，六年級(jí)根本就沒(méi)有上課。媽媽問(wèn)我，“你長(zhǎng)大后想干什么啊？你現(xiàn)在小學(xué)都沒(méi)讀完，你自己接著讀吧”，所以我就自學(xué)小學(xué)六年級(jí)的課本。上小學(xué)時(shí)，我的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文成績(jī)都在平常水平。我很粗心大意，經(jīng)常會(huì)被老師叫去改正數(shù)學(xué)作業(yè)，如2+2等于5，老師會(huì)說(shuō)這算錯(cuò)了，再寫(xiě)一下。但當(dāng)我自學(xué)時(shí)，就沒(méi)有人來(lái)批評(píng)我做得對(duì)還是錯(cuò)。每隔一段時(shí)間，我告訴媽媽我看完了什么內(nèi)容就行了。我自己讀完了小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)，讀完了初中一年級(jí)的數(shù)學(xué)，這時(shí)開(kāi)始復(fù)課鬧革命。1968年9月，我們到實(shí)驗(yàn)小學(xué)去拿證明，證明我在這里讀過(guò)小學(xué)，按照街區(qū)劃片我就上了福州一中。現(xiàn)在的福州一中可不好進(jìn)，但那時(shí)沒(méi)有考試，進(jìn)去后也不會(huì)正式上課，教師不敢講課。工宣隊(duì)說(shuō)，按毛主席的教導(dǎo)，“兵教兵”，于是我就開(kāi)始上臺(tái)講數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)給我一種自信，就是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再頭痛。

1969年，我隨父母下放，從福州到了上杭縣。我們家下放的舊縣公社在才溪鄉(xiāng)邊上，就是毛主席寫(xiě)才溪鄉(xiāng)調(diào)查報(bào)告的地方。1970年1月，我到縣城一中讀書(shū)，讀到1973年1月就算畢業(yè)了，所以初中、高中共六年，實(shí)際上我就讀了三年。好在下放時(shí)，人家都在賣(mài)家具、賣(mài)書(shū)，我媽媽就讓我們?nèi)炝藥妆境踔?、高中?shù)理化方面的教材，包括高考復(fù)習(xí)教材帶在身邊。那時(shí)真找不到其他的書(shū)，手中這些書(shū)就是最好看的了。我對(duì)物理、化學(xué)也很喜歡，但是缺乏實(shí)驗(yàn)設(shè)施，唯有數(shù)學(xué)好讀，不需要做實(shí)驗(yàn)。在縣城一中讀書(shū)時(shí)，我們雖然也經(jīng)常下鄉(xiāng)學(xué)農(nóng)，但比在大城市好，教師還能正常上課，學(xué)校還組織過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。

到中學(xué)畢業(yè)時(shí)，知識(shí)青年“上山下鄉(xiāng)”，我到農(nóng)村插隊(duì)落戶(hù)。因?yàn)楫?dāng)時(shí)的大學(xué)已經(jīng)開(kāi)始招收工農(nóng)兵學(xué)員，我就有個(gè)愿望，要爭(zhēng)取讀書(shū)的機(jī)會(huì)。我在生產(chǎn)隊(duì)里當(dāng)倉(cāng)庫(kù)保管員，曬谷子時(shí)，150斤的擔(dān)子得挑起來(lái)。剛開(kāi)始揺風(fēng)車(chē)，我根本揺不動(dòng)，沒(méi)有力氣將二道谷，就是癟的谷子搖出去，于是揺一遍不夠我就揺兩遍，特別賣(mài)勁兒干。兩年的農(nóng)活干下來(lái)，我的體力上去了，身體也壯實(shí)了，1975年如愿以?xún)數(shù)氐饺鲙熢寒?dāng)了工農(nóng)兵學(xué)員。其實(shí)，當(dāng)時(shí)我特別想學(xué)計(jì)算機(jī)，因?yàn)樵谥袑W(xué)時(shí)，有位教師給我們介紹了計(jì)算機(jī)，在計(jì)算機(jī)剛剛起步的20世紀(jì)60年代，那位教師曾在福州大學(xué)研究計(jì)算機(jī)。可是，當(dāng)時(shí)由于家庭成分的原因，我沒(méi)有上成福州大學(xué)，結(jié)果就到了三明師專(zhuān)去讀數(shù)學(xué)。但到了三明師專(zhuān)，頭一年基本上就沒(méi)學(xué)什么，因?yàn)楣まr(nóng)兵學(xué)員是推薦上去的，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)太差，只好先補(bǔ)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)課程。好在第二年來(lái)了一位畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)、曾在蘭州大學(xué)任教的教師——彭仲慶老師，他帶來(lái)了復(fù)旦大學(xué)的教材——《數(shù)學(xué)分析》、《解析幾何》和《概率論》。他給我們講極限論，還讓我接著講實(shí)數(shù)理論，這給了我一個(gè)鍛煉的機(jī)會(huì)。之前，數(shù)學(xué)在我的腦海中就是做題，看完前面的章節(jié)后我就會(huì)看習(xí)題，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是做習(xí)題，這是一個(gè)很大的失誤，這時(shí)我才開(kāi)始了解數(shù)學(xué)的邏輯架構(gòu)和理論體系。就像每一位數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)一年級(jí)學(xué)生一樣，都要經(jīng)歷邁進(jìn)高等數(shù)學(xué)門(mén)坎的磨煉，當(dāng)時(shí)的困難是只有一本復(fù)旦大學(xué)的《數(shù)學(xué)分析》，那時(shí)又沒(méi)有復(fù)印機(jī)，于是我們晚上就到餐廳去，兩三個(gè)同學(xué)圍著那本書(shū)學(xué)習(xí)。幸好有那本書(shū)給我打下的一些基礎(chǔ)，后來(lái)恢復(fù)高考，1978年2月，我就開(kāi)始給新入學(xué)的77屆學(xué)生講課，用的教材是吉林大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》的教材，到了該年10月，我考上北京師范大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)北師大）進(jìn)修班，第二年又考上北師大的碩士研究生。

二、轉(zhuǎn)向應(yīng)用數(shù)學(xué)

1981年，碩士研究生畢業(yè)后，我留校任教，就這樣走上與數(shù)學(xué)相伴的道路。數(shù)學(xué)研究和教學(xué)是需要功底的，我確實(shí)花了很多的時(shí)間和做出很大的努力來(lái)充實(shí)自己。1993年，我完成博士論文，獲得博士學(xué)位，特別是出國(guó)進(jìn)修訪問(wèn)的經(jīng)歷使我開(kāi)闊了眼界，看到我們國(guó)家和國(guó)外的一些差別，產(chǎn)生了一種想追想趕的欲望，希望中華民族在我們這一代的努力下會(huì)有一個(gè)翻天覆地的變化，這也影響了我的研究興趣。需要指出的是，我在荷蘭進(jìn)修時(shí)，我的指導(dǎo)教師——Odo Diekmann是生物數(shù)學(xué)界的著名學(xué)者，在微分積分方程方面做得非常好，在生物方面也是專(zhuān)家，曾同時(shí)在阿姆斯特丹大學(xué)數(shù)學(xué)系和萊頓大學(xué)生物系任教授。他教我在做微分方程分析推導(dǎo)時(shí)，要想想這些數(shù)學(xué)公式的生物背景，這可能會(huì)有助于我做數(shù)學(xué)演繹推理。在他的影響下，我對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)越來(lái)越感興趣。

從碩士研究生開(kāi)始，我的第一個(gè)研究方向是奇異積分方程與解析函數(shù)邊值問(wèn)題，屬于復(fù)分析方向。我的博士論文是關(guān)于帶非線(xiàn)性時(shí)滯算子的偏微分方程及其應(yīng)用，屬于偏微分方程方向，還是偏向理論研究。后來(lái)，我參加了應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)所郭伯靈老師主持的偏微分方程討論班，從無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)角度研究偏微分方程解的漸近性質(zhì)。從荷蘭回來(lái)后，我繼續(xù)研究生物種群動(dòng)力系統(tǒng)。最近幾年，了象處理中的偏微分方程方法研究成為我的重點(diǎn)研究項(xiàng)目?；叵肫饋?lái)，我的研究興趣是從純數(shù)學(xué)方面慢慢地走，并逐步轉(zhuǎn)向應(yīng)用數(shù)學(xué)方向。

我的教學(xué)工作也是這樣子的。我教了20多年的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，如數(shù)學(xué)分析、線(xiàn)性代數(shù)、常微分方程、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、泛函分析等非常抽象的數(shù)學(xué)理論課程，但在2002年，我第一次接觸到數(shù)學(xué)模型與建模課，使我對(duì)這個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程一下子產(chǎn)生了很大的興趣。當(dāng)時(shí)，頭兩節(jié)課我給學(xué)生講泛函分析，后兩節(jié)課我會(huì)奔到另一個(gè)教室，跟學(xué)生坐在一起，聽(tīng)劉來(lái)福老師講數(shù)學(xué)建模，一下子我的眼界就開(kāi)闊了，覺(jué)得真好。因?yàn)閯⒗蠋熢鴰易鲞^(guò)生物數(shù)學(xué)，在課上，他把應(yīng)用數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)和研究的不同地方講得非常清楚，而且也使我了解到有那么多的數(shù)學(xué)應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)了教學(xué)需要改進(jìn)的地方。這門(mén)課與數(shù)學(xué)分析不一樣，數(shù)學(xué)分析一堂課不聽(tīng)，下一堂課就可能聽(tīng)不懂，期末考試就可能很難通過(guò)，而這門(mén)課是案例教學(xué)，聽(tīng)多聽(tīng)少是自己的積累，期末課程論文只是部分課程內(nèi)容的練習(xí)結(jié)果。實(shí)際上，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題是非常困難的，頭幾步該怎么做，劉老師講得很清楚，但由于學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)實(shí)際問(wèn)題，沒(méi)做過(guò)研究，所以沒(méi)有體會(huì)，感觸不深，有些同學(xué)甚至?xí)耦^干自己的事情。

在聽(tīng)課的過(guò)程中，我對(duì)這門(mén)課的教學(xué)產(chǎn)生了新的想法，覺(jué)得必須引入課堂討論。數(shù)學(xué)應(yīng)用必須親身經(jīng)歷，選擇適當(dāng)?shù)膯?wèn)題讓學(xué)生參與分析建模的過(guò)程，只聽(tīng)不做是學(xué)不到的。其次，必須采用多媒體教學(xué)，實(shí)際問(wèn)題信息量大，教師在黑板上抄寫(xiě)占用的時(shí)間太多，而且缺少圖表的直觀表達(dá)。最后，最重要的是必須運(yùn)用計(jì)算機(jī)，絕大部分的數(shù)學(xué)模型沒(méi)有顯式表達(dá)解，理論分析也很困難，而且沒(méi)有數(shù)值結(jié)果就不可能判定模型的適用性，也沒(méi)法解決問(wèn)題。所以，通過(guò)一學(xué)期的聽(tīng)課，我覺(jué)得自己的收獲非常大，特別想試一試我的關(guān)于教學(xué)改進(jìn)的想法。雖然我在基礎(chǔ)課教學(xué)中很少組織課堂討論，也沒(méi)有用過(guò)多媒體教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用涉及的有些數(shù)學(xué)分支一點(diǎn)兒也不懂，且不會(huì)計(jì)算機(jī)編程，但這個(gè)挑戰(zhàn)實(shí)在太吸引人了。過(guò)去我當(dāng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，不知道抽象數(shù)學(xué)怎么用，教師沒(méi)有教，但如果現(xiàn)在我也不教，我的學(xué)生也會(huì)不知道，一代代人就都會(huì)不知道，那我們的科學(xué)怎么能進(jìn)步，社會(huì)怎么能發(fā)展呢？特別是我面對(duì)的是北師大數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，我知道他們學(xué)那么多年數(shù)學(xué)，只有很少一部分人會(huì)去搞數(shù)學(xué)研究，大部分人是會(huì)去中學(xué)教數(shù)學(xué)的，還有一些人是會(huì)走進(jìn)其他學(xué)科領(lǐng)域去做應(yīng)用數(shù)學(xué)的。北師大畢業(yè)的學(xué)生將來(lái)在中學(xué)里大多都是骨干教師，是十幾年后中國(guó)最高的中學(xué)教學(xué)水平的代表，他們的水準(zhǔn)會(huì)反映我國(guó)未來(lái)的綜合實(shí)力。因此，我急切地想要改進(jìn)我的數(shù)學(xué)教學(xué)。于是我就對(duì)劉老師說(shuō)我想來(lái)上這門(mén)課，他對(duì)我說(shuō)這正是他所期望的，所以我這幾年就一直在做數(shù)學(xué)建模教學(xué)，它與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程教學(xué)不一樣的地方在于每當(dāng)我完成一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)后，我會(huì)明確地感到學(xué)生迸發(fā)出的潛能會(huì)超過(guò)我的期望。2009年，我開(kāi)始擔(dān)任北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用競(jìng)賽組委會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)，并將自己在應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)中探索的經(jīng)驗(yàn)用于推動(dòng)北京市高校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)的開(kāi)展。

三、什么是數(shù)學(xué)建模

首先，我舉幾個(gè)有關(guān)數(shù)學(xué)模型的例子。

中學(xué)生都知道牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，即當(dāng)一個(gè)物體受外力作用時(shí)，物體所獲加速度大小與合外力的大小成正比，并與物體質(zhì)量成反比，加速度方向與合外力方向相同。引入變量x表示在t時(shí)刻物體的位置，它的一階導(dǎo)數(shù)是速度，二階導(dǎo)數(shù)是加速度，合外力等于質(zhì)量乘以加速度。于是，我們會(huì)得到牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律的數(shù)學(xué)模型，即合外力等于質(zhì)量乘以變量x的二階導(dǎo)數(shù)。這個(gè)例子給大家的一個(gè)具體印象是數(shù)學(xué)模型可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)。

我們?cè)賮?lái)看一下經(jīng)濟(jì)學(xué)的市場(chǎng)均衡模型。市場(chǎng)均衡是指市場(chǎng)需求量等于市場(chǎng)供給量。假設(shè)市場(chǎng)是理想競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，即價(jià)格決定了市場(chǎng)需求量和市場(chǎng)供給量。按照經(jīng)濟(jì)學(xué)的觀點(diǎn)，使消費(fèi)者和生產(chǎn)者的愿望都得到滿(mǎn)足的價(jià)格就是使市場(chǎng)達(dá)到均衡的價(jià)格，引進(jìn)自變量p表示價(jià)格，引進(jìn)一個(gè)因變量D（p）表示市場(chǎng)需求量，另外一個(gè)因變量S（p）表示市場(chǎng)供給量，那么D（p）=S（p）就是市場(chǎng)均衡模型。這個(gè)式子相對(duì)抽象一些，沒(méi)有用大家熟悉的初等函數(shù)給出函數(shù)關(guān)系的明確表達(dá)，但它表明在理想競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中價(jià)格所起的關(guān)鍵作用。這也是一種數(shù)學(xué)模型。

我們?cè)賮?lái)看更抽象一點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，如哥尼斯堡七橋問(wèn)題：在一條河上有七座橋，連接兩岸與河心的兩個(gè)孤島，能否從某個(gè)岸邊或島上出發(fā)，經(jīng)過(guò)每座橋恰好一次，再回到原地？這個(gè)游戲問(wèn)題被數(shù)學(xué)家歐拉抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，四個(gè)點(diǎn)、七條邊的圖，用“點(diǎn)”表示岸邊和島嶼，用“邊”表示橋。歐拉用數(shù)學(xué)方法證明這個(gè)游戲不可能實(shí)現(xiàn)，稱(chēng)在這個(gè)圖中不存在歐拉回路。歐拉設(shè)計(jì)的僅由“點(diǎn)”和“邊”構(gòu)成的圖模型是現(xiàn)代龐大的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的雛形。有的網(wǎng)絡(luò)還在“點(diǎn)”或“邊”上賦予權(quán)重，用于刻畫(huà)復(fù)雜系統(tǒng)多因素之間的關(guān)系，在研究人際關(guān)系、社會(huì)群體關(guān)系等許多心理、人文、社科領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)方式表達(dá)實(shí)際現(xiàn)象或問(wèn)題的。當(dāng)我們面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，可能是心理問(wèn)題，也可能是生物問(wèn)題時(shí)，如果想利用數(shù)學(xué)方法與計(jì)算機(jī)來(lái)解決這些問(wèn)題的話(huà)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，采用數(shù)學(xué)方法必須引入數(shù)學(xué)符號(hào)，計(jì)算機(jī)只認(rèn)得數(shù)字。我們需要把與問(wèn)題相關(guān)的學(xué)科語(yǔ)言翻譯成這些東西，而且要采用適當(dāng)?shù)姆绞?，以便于下一步的?shù)學(xué)研究或編程計(jì)算，這就是在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)連接起來(lái)，使我們的問(wèn)題能夠利用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)來(lái)解決。具體地說(shuō)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式，采用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)途徑，這就是數(shù)學(xué)建模。

單靠一個(gè)人的力量完成數(shù)學(xué)建模常常是不可能的，一個(gè)人的知識(shí)和能力是有限的。實(shí)際上，當(dāng)我們遇到問(wèn)題時(shí)，不一定知道能否用到數(shù)學(xué)，也不一定知道如何用數(shù)學(xué)，所以我對(duì)參加數(shù)學(xué)建模全校公共選修課的同學(xué)說(shuō)，通過(guò)這個(gè)課程能夠提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而不可能將他們變成數(shù)學(xué)專(zhuān)家。他們需要了解數(shù)學(xué)有什么用，在將來(lái)的工作中碰到問(wèn)題時(shí)，知道這個(gè)問(wèn)題是否該找數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的人來(lái)幫忙，或者是找計(jì)算機(jī)專(zhuān)家編寫(xiě)程序來(lái)處理。對(duì)跨學(xué)科的領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，我們要對(duì)學(xué)科之間的關(guān)系有所了解，這很重要。在數(shù)學(xué)建模中有兩個(gè)重要的工作，特別需要數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科專(zhuān)業(yè)密切合作，一是把實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題，二是把數(shù)學(xué)模型的結(jié)果翻譯成實(shí)際問(wèn)題的解決方案。而數(shù)學(xué)建模的中間步驟——邏輯推導(dǎo)和計(jì)算，屬于數(shù)學(xué)，但也需要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際背景，或許還須借助計(jì)算機(jī)來(lái)幫忙完成。

21世紀(jì)，各個(gè)學(xué)科的數(shù)學(xué)化進(jìn)程加快，現(xiàn)在哪個(gè)學(xué)科都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。信息化時(shí)代，我們必須與數(shù)字打交道，特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)展推動(dòng)了數(shù)學(xué)的大眾化，大家都想借助計(jì)算機(jī)來(lái)處理數(shù)據(jù)，社會(huì)調(diào)查或教育學(xué)研究都希望借助于計(jì)算機(jī)，這就需要數(shù)學(xué)建模。所以數(shù)學(xué)不是離大家很遠(yuǎn)，而是就在大家身邊。數(shù)學(xué)科學(xué)從傳統(tǒng)的自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會(huì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各個(gè)領(lǐng)域，在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、商業(yè)貿(mào)易和日常生活中所起的作用愈來(lái)愈大，逐漸成為這些領(lǐng)域不可缺少的一個(gè)支柱。我們通過(guò)一些例子來(lái)具體了解。

2004年，美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)上，來(lái)自美國(guó)的兩位婚姻研究者和應(yīng)用數(shù)學(xué)家向大家介紹了他們的研究成果。他們創(chuàng)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，不僅可以用來(lái)推測(cè)婚姻的持續(xù)性，還有助于夫妻雙方早日發(fā)現(xiàn)婚姻中存在的問(wèn)題，改善婚姻質(zhì)量，幫助夫妻克服那些可能使他們走上離婚之路的行為。如果數(shù)學(xué)模型只能做預(yù)測(cè)的話(huà)，那這個(gè)模型跟算命先生也差不多，沒(méi)多大意思，關(guān)鍵在于這個(gè)模型能做的下一步事情，它能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)在婚姻中出現(xiàn)的問(wèn)題，如何改善，避免發(fā)生不希望發(fā)生的事情，賦予這個(gè)模型實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。

我們?cè)賮?lái)看2011年北京師范大學(xué)校內(nèi)數(shù)學(xué)建模的競(jìng)賽題，“現(xiàn)代漢字形聲字聲符在普通話(huà)中表音度的測(cè)查”，這是北師大文學(xué)院資深教授王寧老師出的一道題。90%左右的現(xiàn)代漢字屬于形聲字，形聲字是由“形符”和“聲符”兩部分組成的?！靶畏?，科學(xué)的稱(chēng)謂應(yīng)是“義符”，表示這個(gè)字意義的類(lèi)別；“聲符”在造字時(shí)標(biāo)示這個(gè)字的讀音，如“一唱一和”的“和”：“口”是義符，表示“和”的語(yǔ)義與口有關(guān)；“禾”是聲符，表示“和”的讀音與“禾”相同。漢字經(jīng)過(guò)幾千年的演變，語(yǔ)音系統(tǒng)發(fā)生了很大變化，而且，在不同的方言地域，變化的方向和程度是不一樣的。與此同時(shí)，漢字本身也發(fā)生了形體上的變遷，所以在現(xiàn)代漢字的形聲字中，“聲符”和它所造的字之間的聲音關(guān)系就出現(xiàn)了不同的情況。以普通話(huà)為例，和—禾，精、睛—青，撥—發(fā)，杯、胚—不，僅這四種情況，就可以看出在普通話(huà)里，形聲字的“聲符”對(duì)所構(gòu)字都有標(biāo)示讀音的作用，但二者相同、相似的程度是很不一樣的。本題目就是要測(cè)查出在普通話(huà)中“聲符”對(duì)現(xiàn)代形聲字的表音度。具體要求：第一，附錄中給出了從3 500個(gè)常用字中挑出的形聲字，請(qǐng)用拼音方案一一標(biāo)注形聲字與其“聲符”的普通話(huà)讀音；第二，將不同表音情況按表音程度的大小加以分級(jí)歸類(lèi)，聲韻調(diào)全同的為最高級(jí)，級(jí)數(shù)和分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)自定；第三，對(duì)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的制訂必須具有充分的理由，明確表述分級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)，提供組成各級(jí)的形聲字表。最后的注意事項(xiàng)也很細(xì)致地講解了專(zhuān)家對(duì)漢字發(fā)音特點(diǎn)的分析。這道題第一次提出運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法研究漢語(yǔ)發(fā)音的特點(diǎn)和規(guī)律，并用表音度分類(lèi)結(jié)果判定數(shù)學(xué)建模方法的有效性，為文字研究的科學(xué)化提供一個(gè)新的思路。學(xué)生需要把專(zhuān)家的意見(jiàn)量化，將文字變成數(shù)字，對(duì)數(shù)字進(jìn)行分級(jí)分類(lèi)，如果分類(lèi)結(jié)果與專(zhuān)家的判斷基本吻合，說(shuō)明量化在某種程度上是合理的。如果漢字發(fā)音能用數(shù)學(xué)描述，那么模擬人類(lèi)的發(fā)音確實(shí)是一個(gè)吸引人的課題。

這里順便介紹一下我們正在進(jìn)行的有關(guān)圖像處理中的偏微分方程模型和方法的研究。大家還記得十幾年前，我們用膠卷照相機(jī)，現(xiàn)在用數(shù)碼相機(jī)，存下來(lái)的是數(shù)值圖像，即數(shù)字矩陣。數(shù)字在傳遞過(guò)程中會(huì)被“噪聲”污染，“噪聲”也是數(shù)字。所謂加性“噪聲”，就是“噪聲圖像”為兩個(gè)矩陣的和。但如果我們既不知道“噪聲”，也不知道原圖像，如何可以從我們所看到的“噪聲圖像”中還原出原圖像呢？數(shù)學(xué)對(duì)這類(lèi)問(wèn)題早有研究，可以將其歸結(jié)為泛函極值問(wèn)題，通過(guò)變分法得到圖像去噪的偏微分方程模型，運(yùn)用偏微分方程數(shù)值解，我們就會(huì)得到與原圖像接近的圖像。偏微分方程的應(yīng)用還有很多，涉及面也很廣。

以上的例子說(shuō)明，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)在自然科學(xué)領(lǐng)域、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域、人文科學(xué)領(lǐng)域以及所有人類(lèi)活動(dòng)的領(lǐng)域來(lái)幫助人們利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行無(wú)損害的科學(xué)研究。

四、走進(jìn)數(shù)學(xué)建模

現(xiàn)在常稱(chēng)中國(guó)是世界工廠，但我們不能總在做初級(jí)加工，那么提高科技含量要靠什么？要靠我們這一代人，不單單靠學(xué)數(shù)學(xué)的、學(xué)理科的人，需要各行各業(yè)的人。對(duì)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的其他學(xué)科的工作者來(lái)說(shuō)，只要在自身專(zhuān)業(yè)以外能夠懂一點(diǎn)數(shù)學(xué)，只要知道哪些跟數(shù)學(xué)能結(jié)合，學(xué)會(huì)跟別人合作，那么他們的科研就可以做得非常好，創(chuàng)造的價(jià)值也將會(huì)是巨大的。因?yàn)楦呖萍嫉谋举|(zhì)是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用不僅反映公民的綜合修養(yǎng)，還會(huì)影響國(guó)家的科技綜合實(shí)力。如何做到“懂一點(diǎn)數(shù)學(xué)”，除各專(zhuān)業(yè)必修的高等數(shù)學(xué)以外，選修數(shù)學(xué)建模課程或參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也是一種可取的選擇。

1941年，數(shù)學(xué)家?guī)炖试f(shuō)過(guò)，兩千多年來(lái)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)已被視為每個(gè)受教育者必須具備的智力，但今天數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位卻陷入了嚴(yán)重的危機(jī)之中。遺憾的是，數(shù)學(xué)工作者應(yīng)對(duì)此負(fù)責(zé)，數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練。雖然這種訓(xùn)練可以提高形式推導(dǎo)能力，但無(wú)助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的真正理解和提高他們獨(dú)立思考的能力。數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)，忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他學(xué)科的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是對(duì)原有數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充和改進(jìn)，它不只是教師站在臺(tái)上講，更多的時(shí)候是學(xué)生在一起討論，教師的主要責(zé)任是提出恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生直接奔向科學(xué)的前沿，既要有科學(xué)性又要引起學(xué)生的興趣，這也是我們?cè)诮M織北師大校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽自主命題時(shí)面臨的挑戰(zhàn)。

自2005到2014年，我們共舉辦了10屆北師大校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，每年2道題目，這10年來(lái)我們自主命題的題目有17道。下列是我們最初幾年的自主命題題目：

2005 A題：球門(mén)的危險(xiǎn)區(qū)域（數(shù)學(xué)學(xué)院）

2005 B題：校園網(wǎng)流量分析（數(shù)學(xué)學(xué)院）

2006 A題：評(píng)閱試卷（數(shù)學(xué)學(xué)院）

2006 B題：蔬菜病害分級(jí)（數(shù)學(xué)學(xué)院）

2007 A題：上海證券交易所股市走勢(shì)的分析（數(shù)學(xué)學(xué)院）

2007 B題：二維條碼的自動(dòng)識(shí)別（數(shù)學(xué)學(xué)院）

這些題目都是數(shù)學(xué)教師編的，或者是數(shù)學(xué)教師的科研問(wèn)題，如“蔬菜病害分級(jí)”是我們圖像處理小組與中國(guó)農(nóng)科院蔬菜花卉研究所的合作課題——“基于計(jì)算機(jī)視覺(jué)的設(shè)施園藝作物病害的自動(dòng)診斷識(shí)別技術(shù)”中的一個(gè)子問(wèn)題。但數(shù)學(xué)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)和研究興趣決定了選題范圍有限，要了解數(shù)學(xué)在各學(xué)科前沿的應(yīng)用必須走出去。在教務(wù)處的推薦下，我主動(dòng)與其他院系的教師聯(lián)系，這樣我就認(rèn)識(shí)了北師大全球變化與地球系統(tǒng)科學(xué)研究院的學(xué)科帶頭人戴永久老師，認(rèn)識(shí)了北師大減災(zāi)與應(yīng)急管理研究院陳晉老師、水科學(xué)院的王紅瑞老師等，他們都為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽出過(guò)題目，如：

2008 A題：水資源效率的評(píng)價(jià)（水科學(xué)院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2008 B題：人員位置固定的場(chǎng)所分區(qū)疏散問(wèn)題（減災(zāi)與應(yīng)急管理研究院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2009 A題：中國(guó)水壩對(duì)區(qū)域降水的貢獻(xiàn)（全球變化與地球系統(tǒng)科學(xué)研究院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2009 B題：在粗糙表面上的納米顆粒體積的估算（化學(xué)院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2010 A題：現(xiàn)代漢字形聲字聲符在普通話(huà)中表音度的測(cè)查（文學(xué)院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2011 B題：水資源短缺風(fēng)險(xiǎn)綜合評(píng)價(jià)（水科學(xué)院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2012 A題：臺(tái)風(fēng)陸地強(qiáng)度衰減分析（減災(zāi)與應(yīng)急管理研究院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2013 A題：投籃問(wèn)題（體育與運(yùn)動(dòng)學(xué)院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2013 B題：臺(tái)風(fēng)降水空間結(jié)構(gòu)特征參數(shù)提?。p災(zāi)與應(yīng)急管理研究院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

2014 A題：計(jì)劃生育政策調(diào)整對(duì)北京市小學(xué)招生規(guī)模的影響（數(shù)學(xué)學(xué)院、中國(guó)教科院）

2014 B題：復(fù)雜天氣系統(tǒng)模型最優(yōu)參數(shù)化方案組合的試驗(yàn)設(shè)計(jì)（全球變化與地球系統(tǒng)研究院、數(shù)學(xué)學(xué)院）

通過(guò)自主命題，我們了解到隨著科技的飛速發(fā)展，其他學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用和需求超出高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的新內(nèi)容和新趨勢(shì)，不僅對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改進(jìn)有很大的促進(jìn)，而且也促進(jìn)了學(xué)科的交叉研究。在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽結(jié)束后，我們會(huì)與其他學(xué)科的教師共同指導(dǎo)本科生的科研項(xiàng)目、文章發(fā)表、科研課題申報(bào)。

現(xiàn)在北師大校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽每年有近500名學(xué)生參賽，已經(jīng)成為北師大校園內(nèi)規(guī)模最大的學(xué)生課外科技活動(dòng)，從教師設(shè)計(jì)賽題和學(xué)生賽前準(zhǔn)備，到賽后論文評(píng)閱和賽題繼續(xù)研究，3天的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)延展成了一個(gè)開(kāi)放式的教學(xué)過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。因此，在組織北京市數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)，我們每年都會(huì)召開(kāi)賽題研究討論會(huì)，交流各校校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)健康發(fā)展。我們的目標(biāo)是讓每一位大學(xué)生在校期間都有過(guò)一次參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的經(jīng)歷，親身經(jīng)歷了解數(shù)學(xué)在其他科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。我真心地歡迎大家一起走進(jìn)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，通過(guò)參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽開(kāi)拓知識(shí)面，提高應(yīng)用能力，培養(yǎng)創(chuàng)造精神，增強(qiáng)合作意識(shí)。祝大家取得更大的成功！

（責(zé)任編輯：孫建輝）