趙曉華, 阮永全

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

廣義Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范型理論是動力系統(tǒng)規(guī)范型理論的重要組成部分.規(guī)范型理論是研究動力系統(tǒng)在平衡點或周期解附近的動力學性質時最常用的方法之一，其核心思想就是在平衡點或周期解某一鄰域內，通過近似恒同變換將原系統(tǒng)變換為一定意義下的便于分析的簡化形式，簡化的過程稱為系統(tǒng)的規(guī)范化過程，簡化的結果就是原系統(tǒng)的規(guī)范型及相應的近似恒同變換.廣義Hamilton系統(tǒng)是經(jīng)典辛流形上定義的偶數(shù)維Hamilton系統(tǒng)的一種推廣系統(tǒng)，它的相空間是一個Poisson流形，可以是任意有限維甚至無窮維流形.廣義Hamilton系統(tǒng)廣泛存在于天體力學、生命科學、離子物理等領域中，在動力系統(tǒng)理論和應用研究中具有重要地位[1-2].

規(guī)范型(Normal Form)理論自19世紀末Poincaré和Dulac提出以來，一直受到非線性科學研究工作者的重視和青睞，被看作是定性和定量研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、尋找周期解和不變環(huán)面等不變流形、近似解計算等方面的有力工具.有關它的發(fā)展歷史可以參見文獻[3-6],關于它的最新研究進展可見文獻[7-9].

關于一般向量場和經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范型及其計算問題國內外已有很多研究成果，并在大量的實際問題或動力系統(tǒng)模型研究中得以應用[5-6,10-16].但是,針對廣義Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范型研究，國內外學術界的研究相當少[17]，應用的實際例子也未見報道.

對于廣義Hamilton系統(tǒng)

▽H(x),

它的右端由兩部分構成：結構矩陣J(x)；Hamilton函數(shù)H(x)的梯度向量.因此,在研究廣義Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范型時通常有如下3種思路:

1)對結構矩陣J(x)進行化簡，也就是對Poisson結構進行化簡，這也就是通常所說的Poisson結構線性化，達到對廣義Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范化；

2)保持結構矩陣J(x)不變，通過保結構變換對Hamilton函數(shù)H(x)進行化簡，從而達到化簡系統(tǒng)的目的；

3)同時對結構矩陣J(x)和Hamilton函數(shù)H(x)化簡,但對Poisson 結構有一些特殊的要求,如解析性、光滑性等.

本文采用文獻[13,16]中的方法，利用Lie變換和廣義Hamilton系統(tǒng)相流保持Poisson結構不變的性質，將廣義Hamilton系統(tǒng)的化簡問題轉化為用保結構變換化簡Hamilton函數(shù)的問題，獲得了相應的規(guī)范型定義和具體的計算方法.最后，為闡明本文所得理論結果的應用，研究了一類具有與Lie代數(shù)U(1,1)同構Lie-Poisson結構的三維廣義Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范型，得到了這個系統(tǒng)的二階規(guī)范型及相應的保結構變換生成函數(shù).

1 廣義Hamilton系統(tǒng)與Lie變換

廣義Hamilton系統(tǒng)是在Poisson流形上定義的動力系統(tǒng).

設Mn是一個n維C∞光滑流形,在光滑函數(shù)空間C∞(Mn,R)上定義了一個括號運算{·,·},使每2個函數(shù)F,G∈C∞(M)確定C∞(M)中的第3個函數(shù){F,G},并滿足以下條件：

1)反對稱性：{F,G}=-{G,F};

2)雙線性：{αF+βG,K}=α{F,K}+β{G,K},其中,α,β為常數(shù);

3)求導法則——Leibnitz法則：{F·G,K}=F·{G,K}+G·{F,K};

4)Jacobi恒等式：{F,{G,K}}+{G,{K,F}}+{K,{F,G}}=0.

則稱對子(M,{·,·})為Poisson流形，括號結構{·,·}為其Poisson結構.

若Poisson流形M的局部坐標為(x1,x2,…,xn),則Poisson結構可以由一個反對稱函數(shù)矩陣確定，這個矩陣叫作結構矩陣J(x).其元素由Jij(x)={xi,xj} 定義，常稱其為結構元素.

根據(jù)Poisson括號定義中滿足的4條性質,對C∞(M)中用局部坐標x表示的函數(shù)F,G,{F,G}的計算公式為

(1)

且n×n結構矩陣J(x)=(Jij(x))(x=(x1,x2,…,xn)T)的結構元素應該滿足如下2條性質：

(2)

(3)

將Poisson流形(M,{·,·})上的光滑函數(shù) H:M→R所確定的廣義Hamilton向量場記為ξH，定義為：對一切F∈C∞(M),

ξH(F)={F,H}.(4)

稱函數(shù)H為該向量場的Hamilton函數(shù).

在M的局部坐標x下，廣義Hamilton向量場ξH所對應的廣義Hamilton系統(tǒng)可表示為

(5)

也可以表示為緊湊的向量形式

▽H(x).(6)

若記χH(M)為Poisson流形M上全體廣義Hamilton向量場組成的集合，則下面的命題1表明:集合χH(M)在通常的向量場Lie括號[ξ,η]=ξη-ηξ下是封閉的，從而構成一個Lie代數(shù).

命題1 假設M是一個Poisson流形,F,G∈C∞(M)是流形上的2個光滑函數(shù)，ξF,ξG是它們所對應的廣義Hamilton向量場.那么Poisson括號確定的廣義Hamilton向量場ξ{F,G}滿足下面的關系:

ξ{F,G}=-[ξF,ξG]=[ξG,ξF].(7)

若Poisson流形M的Poisson結構具有常數(shù)秩，或者在M的某個具有常數(shù)秩的開子流形上，則結構矩陣在適當?shù)淖鴺讼戮哂蟹浅：啙嵉男问?這就是著名的達布(Darboux)定理的結論.

定理1(Darboux定理) 設(M,{,})是n維Poisson流形，若在x0∈M的一個鄰域上，Poisson結構矩陣J(x)的秩處處為常數(shù)2k≤n,則存在x0附近的典則局部坐標(p,q,z)=(p1,p2,…,pk,q1,q2,…,qk,z1,z2,…,zs),2k+s=n,使得Poisson括號在這組坐標下具有如下形式:

(8)

顯然,當定理1中的s=0時,括號結構就對應于經(jīng)典的標準Poisson結構,而相應定義的Hamilton系統(tǒng)就是辛流形上的經(jīng)典Hamilton系統(tǒng).

定義1 設函數(shù)C(x)∈C∞(M)不恒等于常數(shù)，且對任意函數(shù)F∈C∞(M)滿足

{C,F}=0,(9)

則稱函數(shù)C(x)為(廣義)Poisson括號的一個Casimir函數(shù).

關于Casimir函數(shù)存在性的詳細證明可參見文獻[2].顯然，對于經(jīng)典Poisson括號是不存在Casimir函數(shù)的，因為經(jīng)典Poisson 括號滿足非退化條件.對于取定的Poisson流形結構,根據(jù)定義立刻可以推出結論：Poisson流形如果存在非平凡的Casimir函數(shù),那么它必是這個Poisson流形上任何一個廣義Hamilton系統(tǒng)的運動不變量.

Poisson流形具有特殊的葉層結構,它的每一個葉層都是由Casimir函數(shù)的水平集來確定的.因為具有這種特殊的葉層結構，所以在研究廣義Hamilton系統(tǒng)的動力學性質時，可以將系統(tǒng)限制到每一個葉層上，使得系統(tǒng)的相空間維數(shù)降低，便于我們研究系統(tǒng)的動力學性質.

對于光滑微分同胚映射φ:M→M,若保持Poisson括號結構形式不變，即

{F°φ,G°φ}={F,G}°φ, ?F,G∈C∞(M),(10)

則稱變換φ為廣義典則變換(也稱保結構變換).

在局部坐標x=(x1,x2,…,xn)T下,不難驗證微分同胚映射φ:M→M是保結構變換的充要條件為

(11)

(12)

式(12)對t求導可得

(13)

(14)

(15)

式(15)中,括號{·,·}是式(1)中定義的廣義Poisson括號.

2 規(guī)范型及其計算

下面總假設式(1)中定義的Poisson括號是Lie-Poisson括號,即在x局部坐標下,結構矩陣J(x)的元素均為x的齊次線性函數(shù)，

(16)

(17)

式(17)中,Hk(x)是x的k次齊次多項式函數(shù).若Wk是一個k次齊次多項式函數(shù),則根據(jù)式(15),由它產(chǎn)生的保結構變換x=exp(1ξWk)y就將式(17)中的Hamilton函數(shù)H化為

(18)

(19)

{H1,Wk}(y)=-Hk(y).(20)

為了討論方程(19)和(20)的齊次多項式解的求解,定義伴隨算子

adkH1={H1,·}:Fk(M)→Fk(M).(21)

式(21)中,Fk(M)表示Poisson流形M上定義的k 次齊次多項式函數(shù)線性空間.顯然，算子adkH1完全由H1決定,并且是一個線性算子.

(22)

可以證明：如果廣義Hamilton向量場ξH1的半單和冪零部分也是廣義Hamilton向量場,分別為ξH1s和ξH1n,即H1=H1s+H1n,那么下面的半單冪零分解等式成立：

(23)

假設半單算子adkH1s(也是算子adkH1)的全體不同特征值的集合記為Λk,則任意k次齊次多項式Hk均可分解為

(24)

式(24)中,Hk,α是半單算子adkH1s的特征值α所對應的多項式特征函數(shù),即滿足

adkH1s(Hk,α)=αHk,α.(25)

類似于文獻[13,16]中的方法可證，對?α∈Λk{0},若定義Wk,α為

(26)

且取k次齊次多項式函數(shù)Wk為

(27)

則

(28)

因此,方程(19)變?yōu)?/p>

(29)

換句話說,由這樣的Hamilton函數(shù)Wk定義的變換exp(ξWk),可以將Hamilton函數(shù)H中k次齊次多項式中的Hk,α(α≠0)項全部消去.余下的項Hk,0都在算子adkH1s的核空間Ker(adkH1s)中.

綜上所述,可以得到以下定理：

(30)

3 應用實例

為了說明上一節(jié)規(guī)范型計算的方法，考慮具有與Lie代數(shù)U(1,1)[18]同構的Lie-Poisson結構的三維Poisson流形R3上的廣義Hamilton系統(tǒng)的規(guī)范型.

按照文獻[18],在R3的坐標x=(x1,x2,x3)T下,與Lie代數(shù)U(1,1)同構的Lie-Poisson結構的矩陣為

(31)

H(x)=H1(x)+H2(x)+H3(x)+….(32)

式(32)中:Hi(x)(i≥1)為i次齊次多項式;H1(x)=a1x1+a2x2+a3x3.

在以上記號下,H確定的三維廣義Hamilton向量場ξH所對應的廣義Hamilton系統(tǒng)為

▽H(x).(33)

其線性向量場ξH1為

▽H1(x),(34)

即

(35)

通過如上的定義可以得到ξH1=Ax.通過簡單計算可知,矩陣A的特征值為

(36)

(37)

從而可得到算子ad2H1={H1,·}相對于這組基的變換矩陣

(38)

當a1≠0時，容易求得矩陣B的特征值和對應特征函數(shù)為：

(39)

式(39)中,常數(shù)cs(s=1,2,…,6)定義為

(40)

由于此時變換ad2H1本身就是半單的,所以可利用式(29)得到系統(tǒng)(33)的Hamilton函數(shù)的二階規(guī)范型

(41)

注意,h5剛好就是Poisson結構(31)的Casimir函數(shù),從而由Casimir函數(shù)的定義知Hamilton函數(shù)H最終的二階規(guī)范型進一步簡化為

(42)

對于a3≠0和a1=a3=0,a2≠0的情況，重復前面的過程可以得出相應的λi,hi,ci,從而得出相應的規(guī)范型和生成函數(shù).更高階的規(guī)范型的計算按照以上方法同理可求.

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