冒建生

【摘 要】數(shù)學(xué)應(yīng)用問題可分成“結(jié)構(gòu)良好”問題和“結(jié)構(gòu)不良”問題。目前，中學(xué)教學(xué)應(yīng)用題不夠重視“結(jié)構(gòu)不良”問題，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)解決問題的能力生長(zhǎng)不平衡、能力增長(zhǎng)缺乏后勁等問題。因此，應(yīng)當(dāng)合理利用課程資源，依托媒體技術(shù)，帶領(lǐng)學(xué)生走向現(xiàn)實(shí)生活，提升學(xué)生的建模能力。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模實(shí)際問題

所謂“結(jié)構(gòu)不良”問題，一般是指構(gòu)成問題的目標(biāo)、條件和解決問題的方法三者存在某種不確定性，因而也常常沒有唯一、標(biāo)準(zhǔn)的答案，并且問題的解決要與多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域相聯(lián)系。數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題比開放性問題的范疇更大、更廣。在數(shù)學(xué)實(shí)際問題中，“結(jié)構(gòu)不良”問題是大量存在的，主要包含三種情形：一是概念的復(fù)雜性，知識(shí)應(yīng)用到具體的實(shí)踐中會(huì)包含許多概念，且概念間會(huì)發(fā)生復(fù)雜的相互聯(lián)系；二是實(shí)例的差異性，在同類各個(gè)具體實(shí)例的應(yīng)用中，所涉及的概念及相互作用的模式也有很大的差別；三是信息的不完整性，具體情境缺乏足夠的資源，材料不全或參數(shù)不完整，解決問題相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)備不充分，等等。它是以具有開放性、實(shí)踐性和探究性為特征的。解決“結(jié)構(gòu)不良”問題需要解決者確立問題的條件和目標(biāo)，獲取對(duì)問題解決有價(jià)值的信息，激活、完善解決問題所需要的知識(shí)、技能、方法和策略。

一、數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題教學(xué)存在的弊端

1.應(yīng)用問題教學(xué)脫離實(shí)際。

人們將應(yīng)用題大致分成四個(gè)層次：（1）直接套用現(xiàn)成公式計(jì)算；（2）利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行定量的計(jì)算；（3）對(duì)于已經(jīng)加工提煉的、忽略了次要因素、保留下來的諸因素關(guān)系比較清楚的實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型；（4）對(duì)原始的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行加工分析，提煉出數(shù)學(xué)模型。近些年來，數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題的教學(xué)得到一些提倡和重視，但是，我們應(yīng)該看到，實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用題并非實(shí)際問題，而是實(shí)際問題抽象化的一個(gè)文本形式。經(jīng)典題目往往文本簡(jiǎn)約，對(duì)事物細(xì)節(jié)舍棄較多，由于抽象程度較高，文本逐漸遠(yuǎn)離實(shí)際背景而趨近數(shù)學(xué)模型。學(xué)生接觸的所謂應(yīng)用題中絕大多數(shù)是第（1）（2）個(gè)層次的問題，就是說我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際問題的教學(xué)只是“結(jié)構(gòu)良好”問題的訓(xùn)練，實(shí)際問題的“數(shù)學(xué)化”過程被忽略了。

2.知識(shí)與建模能力生長(zhǎng)不平衡。

由于受到閱卷“易于操作”的要求限制，高考中沒有將“結(jié)構(gòu)不良”問題列為考查內(nèi)容，因此，“結(jié)構(gòu)不良”問題在教學(xué)中備受冷落，課本上“實(shí)習(xí)作業(yè)”形同虛設(shè)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次建?；顒?dòng)，還應(yīng)將課內(nèi)與課外學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與綜合實(shí)踐活動(dòng)有機(jī)結(jié)合起來?！?這些理念和要求仍只是紙上談兵。學(xué)生面臨實(shí)際問題情境時(shí)的表現(xiàn)讓人失望，學(xué)生解決實(shí)際問題的能力發(fā)展停滯不前，知識(shí)與能力的增長(zhǎng)極不平衡。

【案例】（2012年，南通市高考模擬卷）將52名志愿者分成A、B兩組參加義務(wù)植樹活動(dòng)，A組種植150捆白楊樹苗，B組種植200捆沙棘樹苗。假定A、B兩組同時(shí)開始植樹。（1）根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì)，每名志愿者種植一捆白楊用時(shí)24分鐘，種植一捆沙棘用時(shí)30分鐘，應(yīng)如何分配A、B兩組的人數(shù)，使植樹活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間最短？（8分）（2）在按（1）分配的人數(shù)種植1小時(shí)后發(fā)現(xiàn)，每名志愿者種植一捆白楊仍用時(shí)24分鐘，而每名志愿者種植一捆沙棘實(shí)際用時(shí)40分鐘，于是，從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼續(xù)種植，求植樹活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間。（6分）

本題屬于中檔題，但由于學(xué)生不接觸生產(chǎn)實(shí)際，沒有參加植樹勞動(dòng)的經(jīng)歷和體驗(yàn)，約有35%的學(xué)生對(duì)兩組同時(shí)進(jìn)行的“植樹活動(dòng)持續(xù)時(shí)間”誤讀為“A、B兩組植樹時(shí)間的總和”，建?！白咤e(cuò)了路”，導(dǎo)致在錯(cuò)誤的道路上越走越遠(yuǎn)。另外，學(xué)生平時(shí)接觸較多的是較低層次的應(yīng)用題，在不斷套用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型的訓(xùn)練中養(yǎng)成了識(shí)別模型的習(xí)慣，對(duì)于學(xué)生解決實(shí)際問題的能力沒有實(shí)質(zhì)性的訓(xùn)練，這也是學(xué)生通過三年高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，建模能力卻沒有多大長(zhǎng)進(jìn)的原因。

3.學(xué)生能力增長(zhǎng)缺乏后勁。

我國(guó)現(xiàn)行教育制度下，學(xué)生只能在封閉的教學(xué)環(huán)境中應(yīng)付各種無(wú)休止的解題訓(xùn)練、考試。所謂實(shí)際應(yīng)用題只是為了應(yīng)對(duì)考試而設(shè)立的，它們都是經(jīng)過人為加工的、“結(jié)構(gòu)良好”的問題，與原始的、“結(jié)構(gòu)不良”的復(fù)雜問題相去甚遠(yuǎn)。面對(duì)真實(shí)情景的問題，將實(shí)際問題簡(jiǎn)單化、理想化，是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的重要方法，是數(shù)學(xué)建模的十分重要的步驟，但中學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)正是把這個(gè)“頭”給掐了。由于學(xué)校教育很少給學(xué)生提供分析和解決“結(jié)構(gòu)不良”問題的機(jī)會(huì)，學(xué)生走出學(xué)校大門后，面對(duì)真實(shí)世界中大量的“結(jié)構(gòu)不良”問題時(shí)，往往感到束手無(wú)策，不能對(duì)問題進(jìn)行很好的翻譯、梳理、估算，對(duì)問題目標(biāo)、現(xiàn)有狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間出現(xiàn)的差異、變化無(wú)法找尋到可靠的操作路徑，這樣的教學(xué)也就談不上什么培養(yǎng)學(xué)生的“能力后勁”了。

人們常常抱怨學(xué)生的“高分低能”，這說明考試分?jǐn)?shù)在一定程度上可以反映學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的掌握情況，但往往不能反映學(xué)生的綜合素質(zhì)和實(shí)際能力。社會(huì)要求的人才不是會(huì)考試的人才，而是會(huì)解決實(shí)際問題、會(huì)做事的人才。誠(chéng)如斯滕伯格研究發(fā)現(xiàn)的：“傳統(tǒng)上，以智商為基礎(chǔ)的學(xué)業(yè)智力，通常是通過解決結(jié)構(gòu)良好問題的能力來測(cè)量的，而現(xiàn)實(shí)世界的成功智力是以解決結(jié)構(gòu)不良問題的能力來衡量的?！?/p>

二、提高學(xué)生解決“結(jié)構(gòu)不良”問題的策略

1.建立保障機(jī)制，讓教師帶領(lǐng)學(xué)生走向現(xiàn)實(shí)生活。

荷蘭數(shù)學(xué)家、教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中給出了“數(shù)學(xué)化”原則：“現(xiàn)實(shí)世界自始至終貫穿在數(shù)學(xué)化之中，從現(xiàn)實(shí)世界形成數(shù)學(xué)概念，進(jìn)一步抽象化、形式化，又應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中，通過現(xiàn)實(shí)世界的調(diào)節(jié)再次數(shù)學(xué)化，兩者交融在一起?！币虼耍紫冉處熞膭?lì)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常接觸社會(huì)，讓學(xué)生到社會(huì)各領(lǐng)域、各階層中去，了解現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)和實(shí)際情況，采集各個(gè)方面的信息、數(shù)據(jù)，在教師的指導(dǎo)下有目的地開展一些社會(huì)實(shí)踐調(diào)查活動(dòng)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)對(duì)一些問題進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考，嘗試“數(shù)學(xué)化”處理。例如水電費(fèi)、通訊費(fèi)等函數(shù)問題，交通路徑、彩票抽獎(jiǎng)等概率統(tǒng)計(jì)問題，貸款、細(xì)胞分裂、退耕還林等數(shù)列問題，以及利潤(rùn)最大、用料最省、效益最高等最優(yōu)化問題都可以作為學(xué)生開展實(shí)踐活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模的選擇對(duì)象、內(nèi)容。這種社會(huì)文化模式下的數(shù)學(xué)教學(xué)，尋求的主要目標(biāo)在于使數(shù)學(xué)成為解決問題過程中強(qiáng)有力的工具，給予學(xué)習(xí)者充分的數(shù)學(xué)實(shí)踐和能力發(fā)展的空間。

另外，把教學(xué)定位從升學(xué)考試轉(zhuǎn)為學(xué)生的發(fā)展，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)走向社會(huì)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，還需要全社會(huì)的廣泛支持。教育主管部門應(yīng)該建立對(duì)教育教學(xué)的多元評(píng)價(jià)方法體系以及相關(guān)的規(guī)章，以保證數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的順利開展，從制度上保證學(xué)校能夠正常開展建?；顒?dòng)，教師才可能不把“分?jǐn)?shù)”視為命根子，放開手腳，讓學(xué)生走向社會(huì)生活，走進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的“結(jié)構(gòu)不良”領(lǐng)域。這樣，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)才可能落到實(shí)處，數(shù)學(xué)教育也才能跳出應(yīng)試教育的怪圈。

2.實(shí)施教師培訓(xùn)，提高教師指導(dǎo)學(xué)生建模的能力。

由于各種原因，數(shù)學(xué)教師自身十分缺乏社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域的相關(guān)基本知識(shí)。盡管教師在純數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)方面表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì)，但是他們數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，知識(shí)、能力結(jié)構(gòu)不夠合理，在指導(dǎo)學(xué)生走向社會(huì)生活，解決數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題的時(shí)候，無(wú)論是數(shù)學(xué)建模還是信息技術(shù)的應(yīng)用，都表現(xiàn)出一定的局限性甚至低能或無(wú)能。另一方面，現(xiàn)代的學(xué)生信息來源廣泛，接觸面較寬，更有部分學(xué)生想象力豐富，他們面對(duì)數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題提出的設(shè)想可能超出教師的想象和指導(dǎo)能力的范圍，若經(jīng)常面臨這樣的窘境，教師怎么可能順利地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模呢？所以，實(shí)施教師培訓(xùn)工程，提高教師的指導(dǎo)能力是必要的。通過學(xué)習(xí)培訓(xùn)和專家引領(lǐng)，增強(qiáng)教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使他們認(rèn)識(shí)到輕視數(shù)學(xué)應(yīng)用必將給學(xué)生的未來埋下嚴(yán)重的隱患；增強(qiáng)教師主動(dòng)學(xué)習(xí)社會(huì)各領(lǐng)域知識(shí)的意識(shí)，提高他們自身的數(shù)學(xué)建模能力，特別要讓他們熟練掌握信息技術(shù)，跟上時(shí)代前進(jìn)的步伐，以適應(yīng)新時(shí)代工作的需要，使他們能從更廣的維度和更深的層面上指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域中的問題。

3.加強(qiáng)建模訓(xùn)練，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

在解決實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是學(xué)生頗感困難的一步。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題理想化、抽象化為合理數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。首先，要指導(dǎo)學(xué)生有目的地進(jìn)行調(diào)查，學(xué)會(huì)收集、整理數(shù)據(jù)資料，觀察、分析隱藏在其中的數(shù)量特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題所屬對(duì)象的數(shù)量關(guān)系。然后，再引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)和確定對(duì)象的一些基本量，尋找可能對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，要針對(duì)所要解決的問題特點(diǎn)，選擇具有關(guān)鍵性的主要變量，確定相互關(guān)系及其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；最后，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念、符號(hào)表達(dá)事物對(duì)象，建立起變量之間的明確關(guān)系，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)不斷探索、不斷調(diào)整假設(shè)和完善結(jié)論的過程，更需要學(xué)生具有創(chuàng)新精神、合作意識(shí)，教師要給予學(xué)生獨(dú)立思考和獨(dú)立探索的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生相互協(xié)作、討論、質(zhì)疑，在解決實(shí)際問題的實(shí)踐過程中，通過觀察與分析、抽象與概括、類比與歸納等思維形式，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

在建?；顒?dòng)中，教師的主導(dǎo)作用是至關(guān)重要的，一方面教師要根據(jù)學(xué)生的特長(zhǎng)、興趣、愛好，引導(dǎo)學(xué)生以適當(dāng)?shù)慕M合方式參與建?；顒?dòng)，明確個(gè)體在活動(dòng)中的角色和任務(wù)，精心培育一個(gè)個(gè)能出色完成建模任務(wù)的“學(xué)習(xí)共同體”。在學(xué)生針對(duì)某一數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題提出各種解決思路與方案后，“學(xué)習(xí)共同體”要開展交流、討論，相互糾正、補(bǔ)充、完善方案；另一方面，要啟發(fā)學(xué)生大膽猜想、小心推理、反復(fù)驗(yàn)證，特別當(dāng)“學(xué)習(xí)共同體”遇有困難的時(shí)候，教師要能夠給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，幫助他們擺脫困境，明確問題癥結(jié)所在，提出改進(jìn)的建議。

4.利用課本資源，讓課內(nèi)外的學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來。

在教學(xué)過程中，人們的注意力主要集中在基礎(chǔ)知識(shí)識(shí)記和解題技能訓(xùn)練的層面上，而將知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用置于次要地位，課本提供的應(yīng)用問題的資源遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有得到充分開發(fā)和利用。我們既要發(fā)揮課本上原有的與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的信息資源的教學(xué)功能，讓學(xué)生夯實(shí)解決數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)良好問題的基礎(chǔ)；同時(shí)還要進(jìn)入下一個(gè)層次——將原有的問題變更、拓展、延伸，如實(shí)習(xí)作業(yè)往往給一個(gè)思路，要求自己提出一個(gè)問題，設(shè)計(jì)解決方案，調(diào)查收集數(shù)據(jù)，分析解決問題，讓學(xué)生多涉足一點(diǎn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的“結(jié)構(gòu)不良”問題；既要有概念、定理、公式等理論的學(xué)習(xí)、驗(yàn)證，又要有包含實(shí)驗(yàn)和操作技能的演練。充分利用課本資源，讓課內(nèi)外的學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來，才能更加有效地訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。如筆者組織學(xué)生開展“洗衣最佳浸泡時(shí)間”的研究，在與學(xué)生討論了數(shù)學(xué)建模方法、材料準(zhǔn)備和活動(dòng)步驟的要素后，學(xué)生進(jìn)入實(shí)驗(yàn)操作及數(shù)據(jù)收集整理階段，把測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，盡管不同組使用了不同的材料，以及成員在過程控制、pH計(jì)操作等方面存在著誤差，他們得出的結(jié)論不盡相同（同質(zhì)同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有趨同性），但是通過建模活動(dòng)，學(xué)習(xí)者還是充分感受到數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用及共同體合作學(xué)習(xí)的樂趣，加深了對(duì)化學(xué)原理、數(shù)學(xué)建模方法的理解，有效地將課內(nèi)外的學(xué)習(xí)結(jié)合了起來。

5.利用多媒體技術(shù)，讓學(xué)習(xí)環(huán)境更接近于真實(shí)世界。

“結(jié)構(gòu)不良”問題具有復(fù)雜性、多面性、綜合性的特點(diǎn)，應(yīng)用技術(shù)手段來尋求問題的解決方案，往往是必須的、有效的、快捷的。比如圖形計(jì)算器是一種現(xiàn)代手持技術(shù)，它具有數(shù)據(jù)處理功能、繪圖功能和進(jìn)行一些數(shù)理實(shí)驗(yàn)的功能，利用這些功能學(xué)生可以充分地參與探究性活動(dòng)。教材中也安排了很多的探究案例，如蘇教版必修（第四版）第4冊(cè)第42頁(yè)的“港口深度的變化與三角函數(shù)”，當(dāng)學(xué)生面臨解不等式sin■x≥0.44-0.12x時(shí)，可以使用圖形計(jì)算器在同一坐標(biāo)系中分別畫出y=sin■x函數(shù)和y=0.44-0.12x的圖像，由圖像得到問題的答案。研究表明，當(dāng)學(xué)生在合作分組中使用計(jì)算機(jī)來解決問題時(shí)，技術(shù)可以有效地促進(jìn)學(xué)習(xí)者思維能力、合作能力的培養(yǎng)和發(fā)展；當(dāng)學(xué)生運(yùn)用交流工具來演示和共享解決問題的成果時(shí)，技術(shù)可以養(yǎng)成學(xué)習(xí)者批判性思維的習(xí)慣。即信息技術(shù)的合理利用可以為學(xué)習(xí)者解決實(shí)際問題提供強(qiáng)有力的支持，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的積極性，促進(jìn)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問題能力的發(fā)展。特別是利用超文本、超媒體技術(shù)可以將真實(shí)的問題或事件進(jìn)行鏈接，使學(xué)習(xí)環(huán)境更接近于真實(shí)世界?！?/p>

（作者單位：江蘇省如皋中學(xué)）