李學鋒

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

破產(chǎn)理論是風險理論的主要研究內(nèi)容，而風險模型則是風險理論的主要研究對象，其中破產(chǎn)概率是衡量保險公司穩(wěn)定性的重要指標，是管理風險的重要工具.破產(chǎn)概率高意味著保險公司經(jīng)營不夠穩(wěn)定，這時保險公司需要采取合理的措施提高其承擔風險的能力，確保保險公司能夠長期穩(wěn)定地發(fā)展下去.因此，對破產(chǎn)概率的研究是保險風險模型的重要研究課題.

自從1930年Cramer提出經(jīng)典風險模型后，風險理論便逐漸形成并發(fā)展起來.許多學者從不同的角度對經(jīng)典風險模型進行了推廣，并用各種方法估算出破產(chǎn)概率的值.文獻[1，2]中考慮了利率因素，對經(jīng)典風險模型進行了推廣；文獻[3,4]將鞅理論用于破產(chǎn)概率的研究，促進了破產(chǎn)理論的快速發(fā)展.但在早期的推廣模型中，大多假設保單到達過程與索賠到達過程是相互獨立的，可實際上由于保險公司會受到諸多不確定的自然因素和社會因素 (如社會經(jīng)濟環(huán)境、生活環(huán)境，競爭、利率、通貨膨脹率及各種可能發(fā)生的災害等等)的影響，此時這種比較理想的假設就不符合實際了，需要對模型作進一步的合理化改進.在文獻[5] 中，Dufresne和Gerber研究了帶干擾的復合Poisson過程的風險模型；文獻[6]研究了索賠相關過程的風險模型；文獻[7，8]研究了索賠過程是稀疏過程的風險模型并得到了相關結論；文獻[9]將單一險種推廣到雙險種或多險種的風險模型，等等.為了保險公司的長期穩(wěn)定經(jīng)營并與時俱進，我們應不斷改進風險模型，使其更接近保險公司的實際經(jīng)營模式.

本文在上述工作的基礎上，將風險模型推廣為更一般的情形，即考慮了退保事件的發(fā)生、保險公司的投資利率和通貨膨脹率及隨機干擾，建立了帶干擾項且索賠過程和退保過程是保單到達過程的稀疏過程的雙險種風險模型，利用鞅分析得到了該模型的破產(chǎn)概率滿足的Lundberg不等式及最終破產(chǎn)概率的精確表達式，并討論了該模型的調(diào)節(jié)系數(shù)的性質(zhì).

1 模型的定義

定義1 設(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機變量都定義在此空間)，則對u≥0，t≥0,保險公司在t時刻的盈余為：

(1)

對上述模型做如下假設：

(1) {M(t),t≥0} 與{N(t),t≥0}分別是參數(shù)為λ1,λ2的Poisson過程；

(2){M1(t，p1),t≥0} 是{M(t),t≥0}的一個p1-稀疏過程，0

{N1(t,p2),t≥0} 與{N2(t,q),t≥0}分別是{N(t),t≥0}的p2-與q-稀疏過程，0

[(cλ1+λ2μ)(1+I)-p1λ1α1-p2λ2α2-

qλ2β]t>0,

由此定義相對安全負荷系數(shù)：

定義2 保險公司的破產(chǎn)時刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最終破產(chǎn)概率為：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u}.

定義3 根據(jù)模型的假設，隨機變量Xk的Laplace變換為：

(2)

(3)

假設l(r)<∞，顯然當r→∞時，有mi(r)→∞，i=1,2,3.

2 相關引理

E[e-rS(t)]=etg(r).

(4)

引理2 方程g(r)=0存在唯一正解R，稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明由引理1知g(0)=0，又

g′(0+)=-[(cλ1+λ2μ)(1+I)-p1λ1α1-

p2λ2α2-qλ2β]<0,

所以當r>0時g(r)是凸函數(shù)，又g(0)=0，且顯然有當r→+∞時，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，記為R.此時稱g(r)=0為調(diào)節(jié)方程，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù).證畢.

定義4 對于盈利過程{S(t),t≥0}，定義事件流：

引理3 令:

恕是指原諒、寬容、恕宥、包涵和體諒?！墩撜Z》在道德準則闡述中把恕提高到很重要的地位。指出：“子貢問曰：‘有一言可以終身行之者乎？’子曰‘其恕乎！己所不欲，勿施于人。’”含義是，子貢問到：“有沒有一句話可以終生去奉行的呢？”孔子回答說：“那就是‘恕’吧！自己不愿意做的事情，不要強加在別人身上。”很顯然，《論語》已把‘恕’提到道德準則核心的高度。

證明?v≤t，由引理1得：

(5)

引理4[11]破產(chǎn)時刻T是FS停時.

3 主要結果

定理1 調(diào)節(jié)系數(shù)R滿足不等式：

定理2 風險模型(1)的最終破產(chǎn)概率φ(u)滿足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u(1+I)，

證明由引理4知T是FS停時，取t0<∞，則易知T∧t0是FS停時，利用有界停時定理知:

e-ru(1+I)=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=

E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(6)

又當T<∞時，有u(1+I)+S(T)≤0,所以e-r[u(1+I)+S(T)]≥1，故：

φ(u)≤e-r0u(1+I).證畢.

定理3 風險模型(1)的最終破產(chǎn)概率為：

(7)

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)式(6)，取r=R,得：

e-Ru(1+I)=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0).

(8)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根據(jù)強大數(shù)定律可知，當t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收斂定理可知：

于是在式(8)兩端令t0→∞即得證.

4 結束語

本文提出的一類具有退保事件的雙險種風險模型更加接近保險公司的實際經(jīng)營模式，所得到的結果對保險公司自身設置預警措施提供了理論指導，同時也能為保險監(jiān)管部門設置相應的監(jiān)管指標體系提供理論支持.從最終破產(chǎn)概率可以看出，為確保保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營，一方面，保險公司必須具備足夠的初始準備金；另一方面，公司也不能為了提高市場份額而盲目降低保費或高額承保.因此，保險公司為減小風險，提高承擔風險的能力，必須在獲得盡可能多的保單的同時，還要做好統(tǒng)計調(diào)查，以便厘定合理的保費與索賠額，并制定合理的退保規(guī)則；同時，保險公司也不能忽視投資利率、通貨膨脹率及一些隨機擾動對公司穩(wěn)定經(jīng)營的影響，往往這些因素也直接關系到保險公司的生死存亡.當然，保險公司的實際經(jīng)營運作情況可能更加復雜(例如公司的廣告宣傳、員工工資、房租、設備等開銷都需要公司進行支付)，本文所建模型乃至現(xiàn)有的所有風險模型還有待進一步改進，因此，破產(chǎn)模型仍然是廣大相關研究者感興趣的研究對象.

參 考 文 獻

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