馮斌

最近筆者參與了寧波某重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)組常態(tài)課同課異構(gòu)的教學(xué)研討活動(dòng)，教學(xué)課題是：人民教育出版社的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）《數(shù)學(xué)5》第二章2.5“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）. 在教學(xué)和研討活動(dòng)中，不同層次的教師對“教”與“學(xué)”的關(guān)注維度與關(guān)注程度也是不同的，暴露出一些需要加強(qiáng)研究、提高認(rèn)識的共性問題，本文從教師“教”的角度談幾點(diǎn)個(gè)人的思考.

一、教什么 —— “準(zhǔn)”

“教什么”比“怎么教”更重要，教師對教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解和把握，是優(yōu)質(zhì)教學(xué)的基點(diǎn)之一. 等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的化簡式，用這個(gè)公式可以方便地求出任意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列的核心知識之一，它不但在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)用，而且滲透著重要的數(shù)學(xué)思想方法. 由于教學(xué)對象是省一級重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生，所以教學(xué)預(yù)設(shè)中對學(xué)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵達(dá)成了以下的共識.

（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)

①會(huì)用多種方法推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式，會(huì)用等比數(shù)列求和公式解決簡單的等比數(shù)列求和問題.

②在學(xué)習(xí)過程中，領(lǐng)悟類比思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想和特殊到一般、觀察、歸納等解決問題的方法.

③在學(xué)習(xí)過程中，提高分析問題、解決問題的能力，提高觀察、交流能力和發(fā)散性思維能力.

④在學(xué)習(xí)過程中，激發(fā)勇于探索、創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)”的意識和合作意識，形成良好的個(gè)性品質(zhì).

（2）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵

①重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，公式的簡單應(yīng)用.

②難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

③關(guān)鍵：揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，啟迪學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的思想方法.

二、怎么教 —— “活”

教無定法，貴在得法. 高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不追求表面的熱熱鬧鬧，應(yīng)為學(xué)生的思維發(fā)展而教，應(yīng)在激活學(xué)生的思維上下工夫. 本次活動(dòng)執(zhí)教的教師是省一級重點(diǎn)中學(xué)的三位一級教師，都采取“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的教學(xué)，教學(xué)過程以“引入—提問—探究—應(yīng)用—小結(jié)”為基本教學(xué)過程，教學(xué)方法都試圖采用啟發(fā)式與探究式相結(jié)合.

（1）問題的引入

教師A：某建筑隊(duì)，由于資金短缺，向某磚廠賒借紅磚蓋房，可磚廠廠長很風(fēng)趣，提出了這樣一個(gè)條件：在一個(gè)月（30天）內(nèi)，磚廠每天向建筑隊(duì)提供10000塊磚，為了還本付息，建筑隊(duì)第一天要向廠方返還1塊磚，第二天返還2塊磚，第三天返還4塊磚，即每天返還的磚數(shù)是前一天的2倍，請問，假如你是某建筑隊(duì)的隊(duì)長，你會(huì)接受這個(gè)條件嗎？

教師B：借助PPT，回顧等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，重現(xiàn)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程. 接著提出問題.國際象棋起源于古代印度，關(guān)于國際象棋有這樣一個(gè)傳說.國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，依此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子. 請給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.” 國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了. 假定千粒麥子的質(zhì)量為40克，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量約6億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為國王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎？

教師C：話說豬八戒自西天取經(jīng)回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團(tuán)，搖身變成了CEO，可不久，便因資金周轉(zhuǎn)不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入. 于是就找孫悟空幫忙，悟空一口答應(yīng)：“行！我每天投資100萬元，連續(xù)一個(gè)月（30天），但是有一個(gè)條件：作為回報(bào)，從投資的第一天起你必須返還我1元，第二天返還2元，第三天返還4元，即每天返還數(shù)是前一天的2倍.” 八戒聽了，心里打起了小算盤. 假如你是高老莊集團(tuán)企劃部的高參，請你幫八戒分析一下，能答應(yīng)悟空的這個(gè)條件嗎？

比較三位教師，都是通過教師創(chuàng)設(shè)有趣的問題情境引入新課，情境設(shè)計(jì)跟教材保持一致，趣味性十足.從課堂氣氛看也充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，是一種好的引入方式，不足之處是學(xué)生被動(dòng)接受教師拋出的學(xué)習(xí)任務(wù). 對重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生而言，筆者覺得在思維層次上有些單薄，建議嘗試以下引入方案：

新方案1：教師用電腦屏幕展示以下兩個(gè)問題：

問題1：棋盤上的麥粒數(shù)（同教材的引入），詳見教師B.

問題2：某商場第1年銷售計(jì)算機(jī)5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年增加10％，那么第1年到第10年的總銷售量為多少臺？（教材例2的改變）

這樣的設(shè)計(jì)不但讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度看日常生活中的現(xiàn)象，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，而且在建立數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，可以抽象概括出更一般的問題：如何將單調(diào)、重復(fù)、煩瑣的計(jì)算問題簡化？從而引出本節(jié)課的研究課題——沿著古人的足跡來探究“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”.

新方案2：對于等比數(shù)列，我們已經(jīng)研究了它的定義、通項(xiàng)公式，類比等差數(shù)列，同學(xué)們想一想，接下來我們要解決什么問題？

此方案是從完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度引入，雖然少了點(diǎn)趣味性，但自然流暢，且有利于培養(yǎng)學(xué)生的反思意識及自主提出問題的能力.

（2）問題的提出

因受“問題的引入”的牽制，三位執(zhí)教教師不約而同地提出以下問題：

請同學(xué)們探究：求1+2+22+…+229的方法.

他們都是從最簡單、最本質(zhì)的等比數(shù)列“1，2，22，…”入手，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 由于教師沒有限制具體的計(jì)算方法，在聽課過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生僅僅停留在對具體“數(shù)”的計(jì)算，或逐項(xiàng)計(jì)算，或借助計(jì)數(shù)器，偏離了本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題，經(jīng)教師提醒后才回到教師預(yù)設(shè)的軌道上來.

如果按照“新方案”，則可以從一般的等比數(shù)列入手，提出以下的問題：｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，求它的前n項(xiàng)和Sn.

并明確所要達(dá)到的目標(biāo)是：將一個(gè)項(xiàng)數(shù)眾多的求和，盡可能的用已知的基本量來簡潔的表示，以簡化我們的運(yùn)算.

（3）問題的探究

推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是本節(jié)課的難點(diǎn)，而“錯(cuò)位相減法”是眾多推導(dǎo)方法中的“核心算法”. 三位執(zhí)教教師上課的共同之處是都分兩個(gè)階段完成問題的求解.第一階段都是通過學(xué)生自主探究、合作交流，用錯(cuò)位相減法求得和：1+2+22+…+229，再用此算法求得一般等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這一階段進(jìn)行得非常順利；第二階段要求學(xué)生探究用其他方法推導(dǎo)公式，因教材沒有這些內(nèi)容，教師或者沒有對學(xué)生作必要的策略指導(dǎo)，或者啟發(fā)沒有切中要害導(dǎo)致“啟而不發(fā)”，最終教學(xué)過程沒有在三位教師的課前預(yù)設(shè)中進(jìn)行，“問題的探究”成了假探究. 三位教師在課堂的應(yīng)變處理方法各不相同.

教師A：請同學(xué)們課后用其它方法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式. 這樣做導(dǎo)致上課時(shí)間多余，讓學(xué)生做題目來彌補(bǔ).

教師B：教師用PPT展示，介紹等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的其它推導(dǎo)方法.

教師C：教師自己講解其它推導(dǎo)方法，并在黑板上一一寫出推導(dǎo)過程. 導(dǎo)致后面的教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)間不夠，草草收場.

筆者以為本節(jié)課對“問題的探究”需要思考和研究以下三個(gè)問題：

問題1：除了“錯(cuò)位相減法”這個(gè)“核心算法”外，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法有很多，我們在時(shí)間有限的課堂如何作適當(dāng)?shù)娜∩幔?/p>

筆者認(rèn)為應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平和課堂的生成情況，隨機(jī)應(yīng)變，順勢而為.

問題2：等比數(shù)列前n項(xiàng)的求和算法是如何想到的？可以借鑒的“化多為少”的“消項(xiàng)”經(jīng)驗(yàn)有哪些？

這些方法對教師而言是天經(jīng)地義的，但對學(xué)生而言則是不可思議的. 教師如何設(shè)計(jì)自然的過程，達(dá)到“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”的境界呢？筆者認(rèn)為可以抓住以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

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關(guān)鍵之一，揭示等比數(shù)列概念的本質(zhì)：①每一項(xiàng)乘以q就成了它的后一項(xiàng)，每一項(xiàng)除以q就成了它的前一項(xiàng)，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一項(xiàng)都可用基本量a1，q來表示.

關(guān)鍵之二，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式特征，運(yùn)用類比方法明確研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

關(guān)鍵之三，啟發(fā)研究問題常用的思想方法：特殊到一般、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程的思想等等.

問題3：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的其它推導(dǎo)方法以什么樣的方式教學(xué)？

三位教師都設(shè)法從條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)知識和方法進(jìn)行推導(dǎo)，其實(shí)也可以從結(jié)論出發(fā)尋求方法：通過“錯(cuò)位相減法”得到結(jié)論后，可以從公式的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到新的推導(dǎo)方法，如，由Sn=■（q≠1），可以發(fā)現(xiàn)1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）從而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以發(fā)現(xiàn)Sn-Snq=a1-anq，從而想到構(gòu)造關(guān)于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的應(yīng)用

教師A：已知等比數(shù)列■，■，■，….（1）求前8項(xiàng)和；（2）求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；（3）求前20項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

教師B：已知等比數(shù)列■，■，■，….（1）求前8項(xiàng)和；（2）此等比數(shù)列的前多少項(xiàng)的和等于■；（3）求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.

教師 C：（1）求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教師都是在教材例1的基礎(chǔ)上作了改編，圍繞兩個(gè)層次編題，各有側(cè)重.

層次一：公式的基本應(yīng)用（正用），目的是加深對公式的記憶與理解，體會(huì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中有幾個(gè)基本量及公式的特點(diǎn)，題目涉及含字母的討論、項(xiàng)數(shù)等容易出錯(cuò)處.

層次二：公式的靈活應(yīng)用（逆用、變形的應(yīng)用），題目涉及構(gòu)造新的等比數(shù)列、構(gòu)造方程求解.

三、總結(jié)與反思

從教學(xué)過程可以看出三位教師對基本題型及解題套路非常嫻熟. 筆者認(rèn)為還可以作些改進(jìn).首先可以讓學(xué)生回到“問題的引入”中，讓學(xué)生運(yùn)用公式解決問題，既體現(xiàn)公式的應(yīng)用性，又能前呼后應(yīng). 其次，還可以在“錯(cuò)位相減法”及研究問題的方法上作適度的引申和拓展，讓學(xué)有余力的學(xué)生的思維更上一個(gè)臺階.

三位教師都圍繞知識點(diǎn)、思想方法讓學(xué)生自己進(jìn)行小結(jié)，教師作必要的補(bǔ)充完善.

筆者認(rèn)為，“總結(jié)與反思”應(yīng)從知識的歸納進(jìn)一步延伸到思想方法提煉，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化水平的有效途徑. 對解決問題的思想方法應(yīng)避免“貼標(biāo)簽”式的總結(jié)，要凸顯本質(zhì). 如“錯(cuò)位相減法”的適用范圍，適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積得到的新數(shù)列的求和. 又如，引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課研究問題的基本思路.

再如，作為研究問題方法的延伸，作為彈性作業(yè)，課后可以讓有興趣的學(xué)生探討“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”的前n項(xiàng)和，使學(xué)有余力的學(xué)生的創(chuàng)造性有進(jìn)一步發(fā)展的空間.

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關(guān)鍵之一，揭示等比數(shù)列概念的本質(zhì)：①每一項(xiàng)乘以q就成了它的后一項(xiàng)，每一項(xiàng)除以q就成了它的前一項(xiàng)，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一項(xiàng)都可用基本量a1，q來表示.

關(guān)鍵之二，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式特征，運(yùn)用類比方法明確研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

關(guān)鍵之三，啟發(fā)研究問題常用的思想方法：特殊到一般、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程的思想等等.

問題3：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的其它推導(dǎo)方法以什么樣的方式教學(xué)？

三位教師都設(shè)法從條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)知識和方法進(jìn)行推導(dǎo)，其實(shí)也可以從結(jié)論出發(fā)尋求方法：通過“錯(cuò)位相減法”得到結(jié)論后，可以從公式的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到新的推導(dǎo)方法，如，由Sn=■（q≠1），可以發(fā)現(xiàn)1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）從而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以發(fā)現(xiàn)Sn-Snq=a1-anq，從而想到構(gòu)造關(guān)于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的應(yīng)用

教師A：已知等比數(shù)列■，■，■，….（1）求前8項(xiàng)和；（2）求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；（3）求前20項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

教師B：已知等比數(shù)列■，■，■，….（1）求前8項(xiàng)和；（2）此等比數(shù)列的前多少項(xiàng)的和等于■；（3）求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.

教師 C：（1）求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教師都是在教材例1的基礎(chǔ)上作了改編，圍繞兩個(gè)層次編題，各有側(cè)重.

層次一：公式的基本應(yīng)用（正用），目的是加深對公式的記憶與理解，體會(huì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中有幾個(gè)基本量及公式的特點(diǎn)，題目涉及含字母的討論、項(xiàng)數(shù)等容易出錯(cuò)處.

層次二：公式的靈活應(yīng)用（逆用、變形的應(yīng)用），題目涉及構(gòu)造新的等比數(shù)列、構(gòu)造方程求解.

三、總結(jié)與反思

從教學(xué)過程可以看出三位教師對基本題型及解題套路非常嫻熟. 筆者認(rèn)為還可以作些改進(jìn).首先可以讓學(xué)生回到“問題的引入”中，讓學(xué)生運(yùn)用公式解決問題，既體現(xiàn)公式的應(yīng)用性，又能前呼后應(yīng). 其次，還可以在“錯(cuò)位相減法”及研究問題的方法上作適度的引申和拓展，讓學(xué)有余力的學(xué)生的思維更上一個(gè)臺階.

三位教師都圍繞知識點(diǎn)、思想方法讓學(xué)生自己進(jìn)行小結(jié)，教師作必要的補(bǔ)充完善.

筆者認(rèn)為，“總結(jié)與反思”應(yīng)從知識的歸納進(jìn)一步延伸到思想方法提煉，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化水平的有效途徑. 對解決問題的思想方法應(yīng)避免“貼標(biāo)簽”式的總結(jié)，要凸顯本質(zhì). 如“錯(cuò)位相減法”的適用范圍，適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積得到的新數(shù)列的求和. 又如，引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課研究問題的基本思路.

再如，作為研究問題方法的延伸，作為彈性作業(yè)，課后可以讓有興趣的學(xué)生探討“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”的前n項(xiàng)和，使學(xué)有余力的學(xué)生的創(chuàng)造性有進(jìn)一步發(fā)展的空間.

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關(guān)鍵之一，揭示等比數(shù)列概念的本質(zhì)：①每一項(xiàng)乘以q就成了它的后一項(xiàng)，每一項(xiàng)除以q就成了它的前一項(xiàng)，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一項(xiàng)都可用基本量a1，q來表示.

關(guān)鍵之二，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式特征，運(yùn)用類比方法明確研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

關(guān)鍵之三，啟發(fā)研究問題常用的思想方法：特殊到一般、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程的思想等等.

問題3：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的其它推導(dǎo)方法以什么樣的方式教學(xué)？

三位教師都設(shè)法從條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)知識和方法進(jìn)行推導(dǎo)，其實(shí)也可以從結(jié)論出發(fā)尋求方法：通過“錯(cuò)位相減法”得到結(jié)論后，可以從公式的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到新的推導(dǎo)方法，如，由Sn=■（q≠1），可以發(fā)現(xiàn)1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）從而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以發(fā)現(xiàn)Sn-Snq=a1-anq，從而想到構(gòu)造關(guān)于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的應(yīng)用

教師A：已知等比數(shù)列■，■，■，….（1）求前8項(xiàng)和；（2）求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；（3）求前20項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

教師B：已知等比數(shù)列■，■，■，….（1）求前8項(xiàng)和；（2）此等比數(shù)列的前多少項(xiàng)的和等于■；（3）求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.

教師 C：（1）求等比數(shù)列的前8項(xiàng)和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教師都是在教材例1的基礎(chǔ)上作了改編，圍繞兩個(gè)層次編題，各有側(cè)重.

層次一：公式的基本應(yīng)用（正用），目的是加深對公式的記憶與理解，體會(huì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中有幾個(gè)基本量及公式的特點(diǎn)，題目涉及含字母的討論、項(xiàng)數(shù)等容易出錯(cuò)處.

層次二：公式的靈活應(yīng)用（逆用、變形的應(yīng)用），題目涉及構(gòu)造新的等比數(shù)列、構(gòu)造方程求解.

三、總結(jié)與反思

從教學(xué)過程可以看出三位教師對基本題型及解題套路非常嫻熟. 筆者認(rèn)為還可以作些改進(jìn).首先可以讓學(xué)生回到“問題的引入”中，讓學(xué)生運(yùn)用公式解決問題，既體現(xiàn)公式的應(yīng)用性，又能前呼后應(yīng). 其次，還可以在“錯(cuò)位相減法”及研究問題的方法上作適度的引申和拓展，讓學(xué)有余力的學(xué)生的思維更上一個(gè)臺階.

三位教師都圍繞知識點(diǎn)、思想方法讓學(xué)生自己進(jìn)行小結(jié)，教師作必要的補(bǔ)充完善.

筆者認(rèn)為，“總結(jié)與反思”應(yīng)從知識的歸納進(jìn)一步延伸到思想方法提煉，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化水平的有效途徑. 對解決問題的思想方法應(yīng)避免“貼標(biāo)簽”式的總結(jié)，要凸顯本質(zhì). 如“錯(cuò)位相減法”的適用范圍，適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積得到的新數(shù)列的求和. 又如，引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課研究問題的基本思路.

再如，作為研究問題方法的延伸，作為彈性作業(yè)，課后可以讓有興趣的學(xué)生探討“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”的前n項(xiàng)和，使學(xué)有余力的學(xué)生的創(chuàng)造性有進(jìn)一步發(fā)展的空間.

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