林少安

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)層面的價(jià)值表現(xiàn)為“對(duì)于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類(lèi)社會(huì)的關(guān)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識(shí)具有基礎(chǔ)作用.”數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用價(jià)值、思維訓(xùn)練價(jià)值. 文化價(jià)值及科學(xué)素養(yǎng)價(jià)值等.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)例題教學(xué)，因此我們應(yīng)充分挖掘例題的教育價(jià)值，在傳授知識(shí)的同時(shí)，注重能力的培養(yǎng)，理性思維的養(yǎng)成，文化的熏陶及科學(xué)素養(yǎng)的提升，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的多元化，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.下面從體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值的層面談?wù)勗诶}教學(xué)中彰顯數(shù)學(xué)教育價(jià)值的幾點(diǎn)思考，以期拋磚引玉.

一、注重縱橫拓展，培養(yǎng)探究能力

在例題教學(xué)中，可以從教育價(jià)值的高度來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，精心預(yù)設(shè)富有啟發(fā)性的“好問(wèn)題”，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，加強(qiáng)縱、橫向的聯(lián)系.在例題講解過(guò)程中，適度的研討可以讓更多的學(xué)生主動(dòng)參與，在師生對(duì)話中實(shí)現(xiàn)師生合作，促進(jìn)生生交流以及團(tuán)隊(duì)精神.知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成和問(wèn)題的解決可以讓學(xué)生感受到成功的喜悅，激發(fā)求知欲，激活思維火花，有效提升學(xué)生的探究創(chuàng)新能力.在例題教學(xué)中，常見(jiàn)的的“好問(wèn)題”有“一題多變”(類(lèi)比、拓展、延伸)、“一題多用”、“多題歸一”等.

案例1已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）的極值.

在教師與學(xué)生共同完成此問(wèn)題解答后，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行編題變式.筆者在教學(xué)中做過(guò)嘗試，學(xué)生在經(jīng)過(guò)合作探究后有如下幾種變式：

生1（變式1）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，x∈0，■，求f（x）最大值與最小值.設(shè)計(jì)意圖是限定自變量的取值范圍，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值，最后確定函數(shù)的最值.

生2（變式2）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+ax在區(qū)間（1，2）為減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.設(shè)計(jì)意圖是根據(jù)極值的定義，設(shè)計(jì)x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn).

生3（變式3）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+ax在區(qū)間（1，2）為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍.設(shè)計(jì)意圖是引入?yún)?shù)，由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，即f′（x）=3x3-8x+a＜0，對(duì)x∈（1，2）恒成立.

在此基礎(chǔ)上，經(jīng)教師的引導(dǎo)，師生又共同探究下列幾種變式：

變式4：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，試證：對(duì)任意的x1，x2∈0，■不等式f（x1）-f（x2）＜■恒成立.設(shè)計(jì)意圖是考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在0，■的最大值為m，最小值為n，證明m-n＜■即可.

變式5：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x，試問(wèn)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，兩函數(shù)的圖象有且僅有三個(gè)公共點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖是考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想.此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，方程f（x）=g（x）有三個(gè)根，即x3-4x2+4a=a有三個(gè)根.

變式6：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2-16x-k（其中k為實(shí)數(shù)），若對(duì)于任意x1∈［0，3］，總存在x2∈［0，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍.設(shè)計(jì)意圖考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查函數(shù)的值域、集合間的包含關(guān)系等.

當(dāng)然還可再進(jìn)行變式，在此不一一列舉.

案例啟示：波利亞說(shuō)：“拿一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”我們知道，中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容，就是利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)——圖象特征（包括單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性、圖象的切線及兩函數(shù)圖象間的關(guān)系）.上述問(wèn)題是從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本問(wèn)題出發(fā)，從研究函數(shù)的本質(zhì)內(nèi)容、函數(shù)單調(diào)性及極值出發(fā)，通過(guò)變式探究，將導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用作了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)是自然而有效的.一題多變，變的是形式，不變的是本質(zhì).問(wèn)題的變式，使學(xué)生更清楚地認(rèn)識(shí)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，增強(qiáng)了思維的廣闊性，提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，培養(yǎng)探究精神.

愛(ài)因斯坦在《物理學(xué)的進(jìn)化》中說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問(wèn)題.而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度看舊問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”在例題教學(xué)過(guò)程中，教師要密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，通過(guò)教師引導(dǎo)、啟發(fā)、指導(dǎo)、點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)、矯正，讓學(xué)生自主地提出問(wèn)題，才能有效地起到拓展思路、開(kāi)闊視野、提煉精要、升華情感的作用，讓師生對(duì)話得以持續(xù)，學(xué)生的自主、合作、探究學(xué)習(xí)才能順暢，學(xué)生的思維才有可能從懵懂走向頓悟，內(nèi)心才有可能從迷惘變得敞亮.

二、關(guān)注呈現(xiàn)方式，養(yǎng)成理性思維

理性思維就是人們借助抽象思維，在概括、整理大量感性材料的基礎(chǔ)上達(dá)到關(guān)于事物本質(zhì)的、全體內(nèi)部聯(lián)系和事物自身規(guī)律的認(rèn)識(shí).理性思維是在感性思維的基礎(chǔ)上，把所獲得的感覺(jué)材料，經(jīng)過(guò)思考、分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成概念、判斷、推理.理性思維是感性思維的飛躍，它反映事物的全體、本質(zhì)和內(nèi)部聯(lián)系.

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“掌握數(shù)學(xué)意味著除掌握邏輯分析方法外，還必須掌握探索性思維能力.”數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅限于一些演算規(guī)則和解題技巧的教學(xué)，其中最本質(zhì)的還是對(duì)學(xué)生理性思維方法的培養(yǎng).培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的理性思維，其教育意義一點(diǎn)也不亞于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的教學(xué).引導(dǎo)學(xué)生借助感性材料通過(guò)概括獲得數(shù)學(xué)結(jié)論并對(duì)命題進(jìn)行邏輯證明是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)使然，是體現(xiàn)例題教學(xué)價(jià)值的重要方面.

筆者在一次聽(tīng)課過(guò)程中，遇到一位教師是如此展示及處理下述問(wèn)題.

案例2 n∈N*且 n≥3，證明： nn+1＞（n+1）n.

此題呈現(xiàn)方式是直接將結(jié)論給學(xué)生.教師在分析題意后問(wèn)：“與自然數(shù)有關(guān)問(wèn)題如何解決？”，生答：“用數(shù)學(xué)歸納法”.在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明，似乎也完成了教學(xué)任務(wù).如此教學(xué)，追求的僅僅是演算規(guī)則和解題技巧的教學(xué)，或者說(shuō)，只是為了完成解決問(wèn)題而已，未能充分體現(xiàn)對(duì)學(xué)生的理性思維的培養(yǎng).

我們不妨做一下改編：你能否判斷 nn+1與 （n+1）n的大??？（n∈N*）

教學(xué)效果會(huì)大不一樣.我們知道，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開(kāi)始，通過(guò)歸納總結(jié)得出結(jié)論，經(jīng)過(guò)證明后，又利用它們來(lái)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、試驗(yàn)：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，…

學(xué)生有了這些感性材料時(shí)，可作出猜想：

當(dāng)n＜3時(shí)， nn+1＜ （n+1）n（n∈N*）；

當(dāng)n≥3時(shí)，nn+1＜ （n+1）n（n∈N*）.

此時(shí)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明.接著，對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教師又可適時(shí)提出能否將此結(jié)論推廣到為實(shí)數(shù)?通過(guò)進(jìn)一步探索，作出新的猜想：

當(dāng)0＜x＜y＜e時(shí)，xy＜yx；

當(dāng)e＜x＜y＜+∞時(shí).xy＞yx（x，y∈R）.

這樣的教學(xué)活動(dòng)，不僅有利于學(xué)生形成勇于探索的精神，而且使學(xué)生的理性思維探索能力得到了訓(xùn)練和培養(yǎng).

案例啟示：教育家加里寧說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操.”數(shù)學(xué)學(xué)科在發(fā)展學(xué)生思維尤其是理性思維方面具有特有的優(yōu)勢(shì)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須高度重視理性思維的養(yǎng)成，以充分展示數(shù)學(xué)理性光芒來(lái)提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的層次，實(shí)現(xiàn)理性精神的傳承，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基.

眾所皆知，在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的方式及順序不同會(huì)出現(xiàn)首因效應(yīng)或者第一印象效應(yīng)問(wèn)題.同樣的，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)上，例題信息的呈現(xiàn)方式及順序也會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在例題教學(xué)中，我們要注意到在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，研究例題呈現(xiàn)方式、例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的順序?qū)?shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生的不同教學(xué)效果.教師有必要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，對(duì)例題的呈現(xiàn)方式盡量合理優(yōu)化，考慮采取何種恰當(dāng)?shù)?、有效的呈現(xiàn)策略，能更好地開(kāi)啟學(xué)生的思維，也可以促使更多的學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中來(lái).在此要說(shuō)明的是，教師在引用他人編擬的例題的時(shí)候“多長(zhǎng)點(diǎn)心眼”，根據(jù)自己的教學(xué)意圖充分挖掘例題的教育功能，例題信息呈現(xiàn)的方式是一種相對(duì)“簡(jiǎn)便”的教育功能挖掘方式，教師完全可以根據(jù)自己的教育意圖靈活處理.

此問(wèn)題的設(shè)置，揭示了從特殊到一般的理性思維過(guò)程，學(xué)生對(duì)感性材料進(jìn)行抽象和概括、分析和綜合，尋找事物的本質(zhì)，進(jìn)而解決問(wèn)題，這樣的教學(xué)處理，理性思維方法就滲透其中，思維的探索品質(zhì)也得到培養(yǎng).

三、展示數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)文化價(jià)值

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的文化價(jià)值是客觀存在的，但學(xué)生往往感覺(jué)不到，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是多方面的，其中之一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過(guò)分夸大了數(shù)學(xué)的智育功能，而忽視了數(shù)學(xué)的美育功能和人文價(jià)值.

筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)問(wèn)題：

通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

設(shè)置此練習(xí)題，從知識(shí)層面上看，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理進(jìn)行的一般過(guò)程，同時(shí)體會(huì)歸納推理的特點(diǎn)和作用.更重要的是，期望著學(xué)生能從數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美的角度出發(fā)，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但從學(xué)生作出的解答令人失望，絕大部分的學(xué)生只考慮到一般性的結(jié)論為sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，從而導(dǎo)致在證明一般性的結(jié)論的解答過(guò)程較為繁瑣.究其原因是學(xué)生未能感受到數(shù)學(xué)美的客觀存在.

世界數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)大師們智慧的沉淀，其蘊(yùn)含的獨(dú)特構(gòu)思、創(chuàng)造性思維技巧以及精彩的結(jié)論都堪稱(chēng)數(shù)學(xué)中的瑰寶.在中學(xué)例題教學(xué)中，適當(dāng)引入以數(shù)學(xué)名題為背景的試題，能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美妙，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化有積極的促進(jìn)作用.

案例3已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=■，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，3an+1， 當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)，若a6=1，則m所有可能的取值為 .

對(duì)于本題，如果就題解題、論題，只是得到形式上、邏輯上的解答，學(xué)生對(duì)此不會(huì)留下什么印象，對(duì)觀念發(fā)展、思維成熟的益處甚微.僅從知識(shí)層面解決這一問(wèn)題，這是例題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化價(jià)值的缺失.教師對(duì)這一背景可作恰當(dāng)?shù)慕榻B.此題的背景就是“3n+1”問(wèn)題”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：給定一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)就除以2變成■，如果n是奇數(shù)就乘以3再加1變成3n+1，不斷地重復(fù)這兩種運(yùn)算，則有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的數(shù)列問(wèn)題，孰不知該試題卻蘊(yùn)含濃厚的文化背景.問(wèn)題如此清晰、明了，連小學(xué)生都能看得懂的問(wèn)題，卻難倒了20世紀(jì)的許多偉大的數(shù)學(xué)家.當(dāng)時(shí)，有許多專(zhuān)家、學(xué)者都對(duì)這個(gè)問(wèn)題陷入了狂熱的迷戀中.據(jù)說(shuō)，耶魯大學(xué)有長(zhǎng)達(dá)一個(gè)月之久，人人都在研究這個(gè)問(wèn)題，但卻沒(méi)有任何實(shí)性的進(jìn)展，經(jīng)過(guò)幾十年的探索與研究，人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特希的說(shuō)法：數(shù)學(xué)還沒(méi)有成熟到足以解決這樣的問(wèn)題.

案例啟示：克萊因指出：“數(shù)學(xué)是形成現(xiàn)代文化的主要力量，也是這種文化極其重要的因素.”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，不僅閃爍著理性、智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透是必要的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的挖掘和理解，不但要將數(shù)學(xué)知識(shí)的工具價(jià)值展示出來(lái)，還要把它的文化價(jià)值挖掘出來(lái).既要注意它的知識(shí)形態(tài)，更要注意它的文化形態(tài)，達(dá)到全面育人的目的.

法國(guó)啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題，是指一個(gè)又一個(gè)難以解答的問(wèn)題，所謂美的解答是對(duì)一個(gè)困難復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)易回答.”對(duì)數(shù)學(xué)的探索伴隨著一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維，去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的.而在這一問(wèn)題解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著不可忽視的潛在作用.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的審美活動(dòng)主要體現(xiàn)在，審視數(shù)學(xué)美，啟迪問(wèn)題解決的思路；挖掘數(shù)學(xué)美，簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的思路；創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問(wèn)題解決的途徑；追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問(wèn)題解決的規(guī)律.

本題將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力，是一道意味深長(zhǎng)的好題.通過(guò)介紹例題的文化背景，不但可以讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給枯燥的數(shù)學(xué)課程增添生機(jī)與活力.

四、捕捉動(dòng)態(tài)生成，養(yǎng)成良好品質(zhì)

“歲歲年年人不同，題題錯(cuò)錯(cuò)總相似.”每次練習(xí)測(cè)驗(yàn)考試之后總有一些學(xué)生后悔不已，追悔莫及.雖然發(fā)生在不同的學(xué)生身上，但錯(cuò)因總是那么相同相似.究其原因主要是審題不深入，甚至看錯(cuò)題或者看漏條件，導(dǎo)致這一原因的主要根源就是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

案例4已知函數(shù)f（x）=■，是否存在實(shí)數(shù)m滿足方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根，若存在求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

提出這一問(wèn)題時(shí)，教師不必急于分析解題思路，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手實(shí)踐.筆者在教學(xué)中做過(guò)嘗試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是如此解答：求導(dǎo)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，學(xué)生畫(huà)出草圖，如圖1，則當(dāng)f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■時(shí)，方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根.

到此，學(xué)生很滿足，思維進(jìn)入休眠狀態(tài).這時(shí)需要教師的點(diǎn)拔激活思維，此時(shí)，教師提出：“答案對(duì)嗎？當(dāng)x→-∞（或x→+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=■的值如何？”這一問(wèn)題猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋，激起層層思維波瀾，學(xué)生人人動(dòng)手思考，由函數(shù)f（x）=■分析，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，也就清楚函數(shù)f（x）并非圖1，正確圖形應(yīng)是圖2.由圖2可知不存在實(shí)數(shù)滿足方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根.

解題結(jié)束時(shí)，教師總結(jié)，對(duì)于“研究方程f（x）=c的實(shí)根問(wèn)題”，若的范圍為非閉區(qū)間時(shí)，一般都要對(duì)x趨近端點(diǎn)值時(shí)對(duì)y進(jìn)行逼近，判斷函數(shù)程f（x）在端點(diǎn)處的取值情況，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

案例啟示：面對(duì)教師設(shè)計(jì)的熟知問(wèn)題，學(xué)生雖然容易入手，但常因思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，如審題不清、畫(huà)圖的隨意性等而致誤.通過(guò)教師對(duì)答案提出疑問(wèn)，使學(xué)生思維高度集中，他們急于找出問(wèn)題的癥結(jié)而產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力，理解也更為深刻.學(xué)生經(jīng)歷“犯錯(cuò)一查因一糾錯(cuò)”的探究過(guò)程，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深層次的認(rèn)識(shí)和理解，與此同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

有智慧的教師應(yīng)懂得舉輕若重.其實(shí)，學(xué)生在一些看似無(wú)足輕重的解題環(huán)節(jié)的疏忽，恰恰暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的缺陷和數(shù)學(xué)思維的幼稚.如果只注重分析試題的思路，忽略了其中的算理和對(duì)運(yùn)算途徑的優(yōu)化就會(huì)影響答題的效率和準(zhǔn)確率.忽略對(duì)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解題中就容易丟三落四.作為教師一定要充分預(yù)見(jiàn)到學(xué)生在解題時(shí)，有哪些容易出錯(cuò)的地方，這些問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)存在的缺陷，還是基本技能不夠嫻熟，防患于未然.例題教學(xué)時(shí)，要注意細(xì)節(jié)，要求學(xué)生做到字字有據(jù)，步步有理，行行準(zhǔn)確.正所謂：小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美，細(xì)心贏得先機(jī)，嚴(yán)謹(jǐn)走向成功.

眾所皆知，在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的方式及順序不同會(huì)出現(xiàn)首因效應(yīng)或者第一印象效應(yīng)問(wèn)題.同樣的，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)上，例題信息的呈現(xiàn)方式及順序也會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在例題教學(xué)中，我們要注意到在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，研究例題呈現(xiàn)方式、例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的順序?qū)?shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生的不同教學(xué)效果.教師有必要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，對(duì)例題的呈現(xiàn)方式盡量合理優(yōu)化，考慮采取何種恰當(dāng)?shù)?、有效的呈現(xiàn)策略，能更好地開(kāi)啟學(xué)生的思維，也可以促使更多的學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中來(lái).在此要說(shuō)明的是，教師在引用他人編擬的例題的時(shí)候“多長(zhǎng)點(diǎn)心眼”，根據(jù)自己的教學(xué)意圖充分挖掘例題的教育功能，例題信息呈現(xiàn)的方式是一種相對(duì)“簡(jiǎn)便”的教育功能挖掘方式，教師完全可以根據(jù)自己的教育意圖靈活處理.

此問(wèn)題的設(shè)置，揭示了從特殊到一般的理性思維過(guò)程，學(xué)生對(duì)感性材料進(jìn)行抽象和概括、分析和綜合，尋找事物的本質(zhì)，進(jìn)而解決問(wèn)題，這樣的教學(xué)處理，理性思維方法就滲透其中，思維的探索品質(zhì)也得到培養(yǎng).

三、展示數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)文化價(jià)值

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的文化價(jià)值是客觀存在的，但學(xué)生往往感覺(jué)不到，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是多方面的，其中之一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過(guò)分夸大了數(shù)學(xué)的智育功能，而忽視了數(shù)學(xué)的美育功能和人文價(jià)值.

筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)問(wèn)題：

通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

設(shè)置此練習(xí)題，從知識(shí)層面上看，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理進(jìn)行的一般過(guò)程，同時(shí)體會(huì)歸納推理的特點(diǎn)和作用.更重要的是，期望著學(xué)生能從數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美的角度出發(fā)，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但從學(xué)生作出的解答令人失望，絕大部分的學(xué)生只考慮到一般性的結(jié)論為sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，從而導(dǎo)致在證明一般性的結(jié)論的解答過(guò)程較為繁瑣.究其原因是學(xué)生未能感受到數(shù)學(xué)美的客觀存在.

世界數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)大師們智慧的沉淀，其蘊(yùn)含的獨(dú)特構(gòu)思、創(chuàng)造性思維技巧以及精彩的結(jié)論都堪稱(chēng)數(shù)學(xué)中的瑰寶.在中學(xué)例題教學(xué)中，適當(dāng)引入以數(shù)學(xué)名題為背景的試題，能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美妙，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化有積極的促進(jìn)作用.

案例3已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=■，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，3an+1， 當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)，若a6=1，則m所有可能的取值為 .

對(duì)于本題，如果就題解題、論題，只是得到形式上、邏輯上的解答，學(xué)生對(duì)此不會(huì)留下什么印象，對(duì)觀念發(fā)展、思維成熟的益處甚微.僅從知識(shí)層面解決這一問(wèn)題，這是例題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化價(jià)值的缺失.教師對(duì)這一背景可作恰當(dāng)?shù)慕榻B.此題的背景就是“3n+1”問(wèn)題”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：給定一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)就除以2變成■，如果n是奇數(shù)就乘以3再加1變成3n+1，不斷地重復(fù)這兩種運(yùn)算，則有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的數(shù)列問(wèn)題，孰不知該試題卻蘊(yùn)含濃厚的文化背景.問(wèn)題如此清晰、明了，連小學(xué)生都能看得懂的問(wèn)題，卻難倒了20世紀(jì)的許多偉大的數(shù)學(xué)家.當(dāng)時(shí)，有許多專(zhuān)家、學(xué)者都對(duì)這個(gè)問(wèn)題陷入了狂熱的迷戀中.據(jù)說(shuō)，耶魯大學(xué)有長(zhǎng)達(dá)一個(gè)月之久，人人都在研究這個(gè)問(wèn)題，但卻沒(méi)有任何實(shí)性的進(jìn)展，經(jīng)過(guò)幾十年的探索與研究，人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特希的說(shuō)法：數(shù)學(xué)還沒(méi)有成熟到足以解決這樣的問(wèn)題.

案例啟示：克萊因指出：“數(shù)學(xué)是形成現(xiàn)代文化的主要力量，也是這種文化極其重要的因素.”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，不僅閃爍著理性、智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透是必要的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的挖掘和理解，不但要將數(shù)學(xué)知識(shí)的工具價(jià)值展示出來(lái)，還要把它的文化價(jià)值挖掘出來(lái).既要注意它的知識(shí)形態(tài)，更要注意它的文化形態(tài)，達(dá)到全面育人的目的.

法國(guó)啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題，是指一個(gè)又一個(gè)難以解答的問(wèn)題，所謂美的解答是對(duì)一個(gè)困難復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)易回答.”對(duì)數(shù)學(xué)的探索伴隨著一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維，去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的.而在這一問(wèn)題解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著不可忽視的潛在作用.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的審美活動(dòng)主要體現(xiàn)在，審視數(shù)學(xué)美，啟迪問(wèn)題解決的思路；挖掘數(shù)學(xué)美，簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的思路；創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問(wèn)題解決的途徑；追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問(wèn)題解決的規(guī)律.

本題將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力，是一道意味深長(zhǎng)的好題.通過(guò)介紹例題的文化背景，不但可以讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給枯燥的數(shù)學(xué)課程增添生機(jī)與活力.

四、捕捉動(dòng)態(tài)生成，養(yǎng)成良好品質(zhì)

“歲歲年年人不同，題題錯(cuò)錯(cuò)總相似.”每次練習(xí)測(cè)驗(yàn)考試之后總有一些學(xué)生后悔不已，追悔莫及.雖然發(fā)生在不同的學(xué)生身上，但錯(cuò)因總是那么相同相似.究其原因主要是審題不深入，甚至看錯(cuò)題或者看漏條件，導(dǎo)致這一原因的主要根源就是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

案例4已知函數(shù)f（x）=■，是否存在實(shí)數(shù)m滿足方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根，若存在求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

提出這一問(wèn)題時(shí)，教師不必急于分析解題思路，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手實(shí)踐.筆者在教學(xué)中做過(guò)嘗試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是如此解答：求導(dǎo)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，學(xué)生畫(huà)出草圖，如圖1，則當(dāng)f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■時(shí)，方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根.

到此，學(xué)生很滿足，思維進(jìn)入休眠狀態(tài).這時(shí)需要教師的點(diǎn)拔激活思維，此時(shí)，教師提出：“答案對(duì)嗎？當(dāng)x→-∞（或x→+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=■的值如何？”這一問(wèn)題猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋，激起層層思維波瀾，學(xué)生人人動(dòng)手思考，由函數(shù)f（x）=■分析，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，也就清楚函數(shù)f（x）并非圖1，正確圖形應(yīng)是圖2.由圖2可知不存在實(shí)數(shù)滿足方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根.

解題結(jié)束時(shí)，教師總結(jié)，對(duì)于“研究方程f（x）=c的實(shí)根問(wèn)題”，若的范圍為非閉區(qū)間時(shí)，一般都要對(duì)x趨近端點(diǎn)值時(shí)對(duì)y進(jìn)行逼近，判斷函數(shù)程f（x）在端點(diǎn)處的取值情況，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

案例啟示：面對(duì)教師設(shè)計(jì)的熟知問(wèn)題，學(xué)生雖然容易入手，但常因思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，如審題不清、畫(huà)圖的隨意性等而致誤.通過(guò)教師對(duì)答案提出疑問(wèn)，使學(xué)生思維高度集中，他們急于找出問(wèn)題的癥結(jié)而產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力，理解也更為深刻.學(xué)生經(jīng)歷“犯錯(cuò)一查因一糾錯(cuò)”的探究過(guò)程，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深層次的認(rèn)識(shí)和理解，與此同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

有智慧的教師應(yīng)懂得舉輕若重.其實(shí)，學(xué)生在一些看似無(wú)足輕重的解題環(huán)節(jié)的疏忽，恰恰暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的缺陷和數(shù)學(xué)思維的幼稚.如果只注重分析試題的思路，忽略了其中的算理和對(duì)運(yùn)算途徑的優(yōu)化就會(huì)影響答題的效率和準(zhǔn)確率.忽略對(duì)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解題中就容易丟三落四.作為教師一定要充分預(yù)見(jiàn)到學(xué)生在解題時(shí)，有哪些容易出錯(cuò)的地方，這些問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)存在的缺陷，還是基本技能不夠嫻熟，防患于未然.例題教學(xué)時(shí)，要注意細(xì)節(jié)，要求學(xué)生做到字字有據(jù)，步步有理，行行準(zhǔn)確.正所謂：小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美，細(xì)心贏得先機(jī)，嚴(yán)謹(jǐn)走向成功.

眾所皆知，在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的方式及順序不同會(huì)出現(xiàn)首因效應(yīng)或者第一印象效應(yīng)問(wèn)題.同樣的，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)上，例題信息的呈現(xiàn)方式及順序也會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在例題教學(xué)中，我們要注意到在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，研究例題呈現(xiàn)方式、例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的順序?qū)?shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生的不同教學(xué)效果.教師有必要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，對(duì)例題的呈現(xiàn)方式盡量合理優(yōu)化，考慮采取何種恰當(dāng)?shù)?、有效的呈現(xiàn)策略，能更好地開(kāi)啟學(xué)生的思維，也可以促使更多的學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中來(lái).在此要說(shuō)明的是，教師在引用他人編擬的例題的時(shí)候“多長(zhǎng)點(diǎn)心眼”，根據(jù)自己的教學(xué)意圖充分挖掘例題的教育功能，例題信息呈現(xiàn)的方式是一種相對(duì)“簡(jiǎn)便”的教育功能挖掘方式，教師完全可以根據(jù)自己的教育意圖靈活處理.

此問(wèn)題的設(shè)置，揭示了從特殊到一般的理性思維過(guò)程，學(xué)生對(duì)感性材料進(jìn)行抽象和概括、分析和綜合，尋找事物的本質(zhì)，進(jìn)而解決問(wèn)題，這樣的教學(xué)處理，理性思維方法就滲透其中，思維的探索品質(zhì)也得到培養(yǎng).

三、展示數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)文化價(jià)值

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的文化價(jià)值是客觀存在的，但學(xué)生往往感覺(jué)不到，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是多方面的，其中之一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過(guò)分夸大了數(shù)學(xué)的智育功能，而忽視了數(shù)學(xué)的美育功能和人文價(jià)值.

筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)問(wèn)題：

通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

設(shè)置此練習(xí)題，從知識(shí)層面上看，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理進(jìn)行的一般過(guò)程，同時(shí)體會(huì)歸納推理的特點(diǎn)和作用.更重要的是，期望著學(xué)生能從數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美的角度出發(fā)，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但從學(xué)生作出的解答令人失望，絕大部分的學(xué)生只考慮到一般性的結(jié)論為sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，從而導(dǎo)致在證明一般性的結(jié)論的解答過(guò)程較為繁瑣.究其原因是學(xué)生未能感受到數(shù)學(xué)美的客觀存在.

世界數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)大師們智慧的沉淀，其蘊(yùn)含的獨(dú)特構(gòu)思、創(chuàng)造性思維技巧以及精彩的結(jié)論都堪稱(chēng)數(shù)學(xué)中的瑰寶.在中學(xué)例題教學(xué)中，適當(dāng)引入以數(shù)學(xué)名題為背景的試題，能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美妙，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化有積極的促進(jìn)作用.

案例3已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=■，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，3an+1， 當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)，若a6=1，則m所有可能的取值為 .

對(duì)于本題，如果就題解題、論題，只是得到形式上、邏輯上的解答，學(xué)生對(duì)此不會(huì)留下什么印象，對(duì)觀念發(fā)展、思維成熟的益處甚微.僅從知識(shí)層面解決這一問(wèn)題，這是例題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化價(jià)值的缺失.教師對(duì)這一背景可作恰當(dāng)?shù)慕榻B.此題的背景就是“3n+1”問(wèn)題”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：給定一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)就除以2變成■，如果n是奇數(shù)就乘以3再加1變成3n+1，不斷地重復(fù)這兩種運(yùn)算，則有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的數(shù)列問(wèn)題，孰不知該試題卻蘊(yùn)含濃厚的文化背景.問(wèn)題如此清晰、明了，連小學(xué)生都能看得懂的問(wèn)題，卻難倒了20世紀(jì)的許多偉大的數(shù)學(xué)家.當(dāng)時(shí)，有許多專(zhuān)家、學(xué)者都對(duì)這個(gè)問(wèn)題陷入了狂熱的迷戀中.據(jù)說(shuō)，耶魯大學(xué)有長(zhǎng)達(dá)一個(gè)月之久，人人都在研究這個(gè)問(wèn)題，但卻沒(méi)有任何實(shí)性的進(jìn)展，經(jīng)過(guò)幾十年的探索與研究，人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特希的說(shuō)法：數(shù)學(xué)還沒(méi)有成熟到足以解決這樣的問(wèn)題.

案例啟示：克萊因指出：“數(shù)學(xué)是形成現(xiàn)代文化的主要力量，也是這種文化極其重要的因素.”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，不僅閃爍著理性、智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透是必要的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的挖掘和理解，不但要將數(shù)學(xué)知識(shí)的工具價(jià)值展示出來(lái)，還要把它的文化價(jià)值挖掘出來(lái).既要注意它的知識(shí)形態(tài)，更要注意它的文化形態(tài)，達(dá)到全面育人的目的.

法國(guó)啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題，是指一個(gè)又一個(gè)難以解答的問(wèn)題，所謂美的解答是對(duì)一個(gè)困難復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)易回答.”對(duì)數(shù)學(xué)的探索伴隨著一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維，去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的.而在這一問(wèn)題解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著不可忽視的潛在作用.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的審美活動(dòng)主要體現(xiàn)在，審視數(shù)學(xué)美，啟迪問(wèn)題解決的思路；挖掘數(shù)學(xué)美，簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的思路；創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問(wèn)題解決的途徑；追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問(wèn)題解決的規(guī)律.

本題將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力，是一道意味深長(zhǎng)的好題.通過(guò)介紹例題的文化背景，不但可以讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給枯燥的數(shù)學(xué)課程增添生機(jī)與活力.

四、捕捉動(dòng)態(tài)生成，養(yǎng)成良好品質(zhì)

“歲歲年年人不同，題題錯(cuò)錯(cuò)總相似.”每次練習(xí)測(cè)驗(yàn)考試之后總有一些學(xué)生后悔不已，追悔莫及.雖然發(fā)生在不同的學(xué)生身上，但錯(cuò)因總是那么相同相似.究其原因主要是審題不深入，甚至看錯(cuò)題或者看漏條件，導(dǎo)致這一原因的主要根源就是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

案例4已知函數(shù)f（x）=■，是否存在實(shí)數(shù)m滿足方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根，若存在求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

提出這一問(wèn)題時(shí)，教師不必急于分析解題思路，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手實(shí)踐.筆者在教學(xué)中做過(guò)嘗試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是如此解答：求導(dǎo)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，學(xué)生畫(huà)出草圖，如圖1，則當(dāng)f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■時(shí)，方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根.

到此，學(xué)生很滿足，思維進(jìn)入休眠狀態(tài).這時(shí)需要教師的點(diǎn)拔激活思維，此時(shí)，教師提出：“答案對(duì)嗎？當(dāng)x→-∞（或x→+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=■的值如何？”這一問(wèn)題猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋，激起層層思維波瀾，學(xué)生人人動(dòng)手思考，由函數(shù)f（x）=■分析，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，也就清楚函數(shù)f（x）并非圖1，正確圖形應(yīng)是圖2.由圖2可知不存在實(shí)數(shù)滿足方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根.

解題結(jié)束時(shí)，教師總結(jié)，對(duì)于“研究方程f（x）=c的實(shí)根問(wèn)題”，若的范圍為非閉區(qū)間時(shí)，一般都要對(duì)x趨近端點(diǎn)值時(shí)對(duì)y進(jìn)行逼近，判斷函數(shù)程f（x）在端點(diǎn)處的取值情況，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

案例啟示：面對(duì)教師設(shè)計(jì)的熟知問(wèn)題，學(xué)生雖然容易入手，但常因思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，如審題不清、畫(huà)圖的隨意性等而致誤.通過(guò)教師對(duì)答案提出疑問(wèn)，使學(xué)生思維高度集中，他們急于找出問(wèn)題的癥結(jié)而產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力，理解也更為深刻.學(xué)生經(jīng)歷“犯錯(cuò)一查因一糾錯(cuò)”的探究過(guò)程，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深層次的認(rèn)識(shí)和理解，與此同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

有智慧的教師應(yīng)懂得舉輕若重.其實(shí)，學(xué)生在一些看似無(wú)足輕重的解題環(huán)節(jié)的疏忽，恰恰暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的缺陷和數(shù)學(xué)思維的幼稚.如果只注重分析試題的思路，忽略了其中的算理和對(duì)運(yùn)算途徑的優(yōu)化就會(huì)影響答題的效率和準(zhǔn)確率.忽略對(duì)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解題中就容易丟三落四.作為教師一定要充分預(yù)見(jiàn)到學(xué)生在解題時(shí)，有哪些容易出錯(cuò)的地方，這些問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)存在的缺陷，還是基本技能不夠嫻熟，防患于未然.例題教學(xué)時(shí)，要注意細(xì)節(jié)，要求學(xué)生做到字字有據(jù)，步步有理，行行準(zhǔn)確.正所謂：小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美，細(xì)心贏得先機(jī)，嚴(yán)謹(jǐn)走向成功.