張樂

摘要：矢量和微積分是大學物理中極其重要的數(shù)學方法，也是一種物理思維能力。本文主要討論矢量和微積分的基本思想以及矢量函數(shù)的微積分的應用。

關鍵詞：大學物理；矢量；矢量分析；微積分

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）11-0108-02

一、引言

矢量和微積分的應用是學好大學物理的前提，它更嚴格地定義物理概念、表達物理規(guī)律。大學物理中，作為變量的物理量通常是以矢量函數(shù)表示。描述物理矢量的連續(xù)性變化問題必須應用矢量函數(shù)的微積分，這是大學物理學習的重點和難點。學生在學習過程中理解了矢量和微積分的思想和實質，反過來可以系統(tǒng)地掌握物理學的基本概念和基本規(guī)律，甚至形成整個物理學的知識框架和思維方法。

二、理解矢量的本質

在大學物理中，廣泛應用矢量理論來研究物理概念和規(guī)律，它可以幫助人們研究物理量的方向變化問題。矢量理論主要包括矢量代數(shù)和矢量分析。但很多初學者都不能很好地理解矢量的本質，只是單純地把矢量理解為“既有大小，又有方向”的物理量，而忽略矢量代數(shù)和矢量分析的重要含義[1]。矢量代數(shù)的法則主要是平行四邊形法則和矢量的點乘和叉乘。平行四邊形法則是矢量的加法運算法則，主要用于離散分布的物理矢量的疊加問題。矢量的點乘可以得到一個標量，它廣泛地應用于物理量的定義中，如磁感應強度■與面積■的點乘定義磁通量Φm，數(shù)學形式為Φm=■■·d■。矢量的叉乘反映三維空間中矢量的關系，兩個矢量通過叉乘得到一個新的矢量，其方向遵循右手螺旋定則。如角動量的定義式■=■×■。物理中連續(xù)性問題用到矢量函數(shù)的定積分形式。

矢量分析就是在坐標系中把矢量函數(shù)進行正交分解，也就是把矢量函數(shù)轉換為坐標軸上的標量函數(shù)。這樣，矢量函數(shù)的求導和積分計算就轉換成學生們所熟知的高等數(shù)學中標量函數(shù)的微積分問題。例如在直角坐標系中，位置矢量■（t）=x（t）■+y（t）■+z（t）■，則速度■（t）=■=■■+■■+■■。

學生要想學好大學物理就必須理解矢量的本質，掌握矢量代數(shù)和矢量分析。很多學生在物理形成標量運算的定式思維，忽略了矢量問題。主要問題有以下幾點：（1）矢量函數(shù)作為變量，大小和方向都隨時間變化。而有些學生在矢量函數(shù)的運算中忽略了方向變量所產(chǎn)生的問題。（2）在矢量函數(shù)的微積分計算中，矢量分析的思想要先把矢量函數(shù)進行坐標分解。但部分學生常常直接對矢量函數(shù)進行微積分運算。（3）在矢量點乘或叉乘的運算中，學生容易忘記兩個矢量的夾角，這個夾角可能是變量，需要參與導數(shù)或積分的計算。

三、掌握微積分的思想

微積分廣泛應用于物理問題的研究中，許多重要的物理規(guī)律都必須以微積分的形式來表示。微積分的主要思想和方法：把物理問題所研究的對象在時間或空間上進行分割成小量，對小量進行近似處理，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實結果。這就是微分的思想，由無限分割所得到的小量稱為微分元（微元）。而把這些無限小的微元進行連續(xù)性求和，就是積分。把物理對象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，這樣復雜問題就簡單化。例如一般曲線運動的瞬時速度■（t）=■，實質是把時間間隔進行無限分割，取微元Δt→0的極限，位移的微元Δ■也近似于位置矢量的微元d■。有部分學生不能正常理解微積分的基本思想和方法，不會取合理的微分元，不能把微積分應用與物理模型結合起來。

另外，矢量函數(shù)的微積分問題，必須結合微積分方法和矢量分析，這使得物理問題中的微積分的應用更有難度。這需要在大學物理教學中，通過具體物理模型的分析，使學生熟練地應用微積分方法分析物理問題，包括矢量問題。接下來，我們將以實例分析講解大學物理中矢量函數(shù)的微積分的應用。

四、矢量函數(shù)的微積分的應用

大學物理中矢量函數(shù)的微積分問題雖然涉及的物理內容不同，但是利用數(shù)學方法解決問題的思維方式相同。其主要思路是：（1）根據(jù)物理問題，確定相應的微元；（2）建立合理的坐標系，用矢量分析的方法處理需要處理的矢量函數(shù)；（3）結合物理規(guī)律和公式，將物理模型轉換為數(shù)學模型（在積分問題中，還需要確定積分上、下限）；（4）應用微積分的性質統(tǒng)一變量，進行計算。

矢量函數(shù)的微積分從選取的微元上來看可以分為兩類形式：一是時間微元。這類問題較簡單，其核心思想是矢量分析。因為根據(jù)物理學公式，很容易確定時間微元dt。例如沖量是力在時間上的累積效果■=■■（t）dt。這些問題只需要學生們掌握物理公式的含義，并能選取合適的坐標系分解矢量函數(shù)，再解標量函數(shù)的微積分式。最后，對新得到物理量的各個分量式以平行四邊形法則合成即可。二是空間微元。這類問題形式較多?？臻g微元分為線元、面元、體元，需要選擇合理的微元。而且這類問題一般變量較多，需要統(tǒng)一變量。因此，解決這類問題必須綜合利用矢量分析和微積分。以空間微元形式的微分問題，主要是以下三種運算法則：梯度、散度和旋度，在大學物理中的應用較少。而積分問題在力學和電磁學中都有很重要的應用，是學習大學物理的重難點。積分問題分為線積分、面積分和體積分。要想解決這類問題，學生必須具有扎實的數(shù)學基礎和物理思維能力。因此，在課堂上充分利用經(jīng)典物理模型，給學生總結解決問題的步驟和方法。加強對學生的思維方法和能力的培養(yǎng)，包括解決問題的數(shù)學能力。下面以動生電動勢的經(jīng)典模型為例介紹矢量函數(shù)的微積分的思維步驟和方法。

例[2]：如圖所示，一長直導線中通有向上的穩(wěn)恒電流I，在長直導線旁平行放置一線圈ABCD，AB邊可在兩導軌CE、DF上滑行，線圈靠近直導線的一邊到直導線的距離為d，AB邊長為a，當AB邊以速度v勻速向下運動。求線圈中的感應電動勢。

解：首先，BA邊處于非均勻磁場中，空間磁感應強度分布由無限長通電直導線產(chǎn)生：■=■。根據(jù)動生電動勢的定義式：ε=■（■×■）·d■，在BA導線上選取無限小的微線元d■，其方向從B指向A。這樣每個線元上d■的磁感應強度都可以視作均勻的。

其次，選取沿導線BA方向作x坐標軸，坐標原點在長直導線上。則線元d■上產(chǎn)生的動生電動勢dε的大小表示為： dε=■vsinθ1dxcosθ2，其中，θ1=■為矢量■和■的夾角，θ2=0為矢量■×■和線元d■的夾角。

第三步，在x坐標軸中，統(tǒng)一變量，并對整個BA導線在x軸上進行積分。確定積分上下限。綜上分析，BA邊上的動生電動勢的數(shù)學公式表示為：ε=■■vdx。最后，計算得到ε=■ln■。并確定電動勢的方向是從B指向A的。

在分析和求解這道題的過程中，重點是讓學生掌握將物理模型轉換為數(shù)學模型的思維步驟和方法。學生在高等數(shù)學中掌握的微積分知識，只能解決最后一步。前面三步的物理思維能力，是大學物理課程的重點。教師要在課程上引導學生從矢量分析和微積分的基本思想出發(fā)分析和解決物理模型。

矢量和微積分在大學物理中的應用是學習大學物理的一種思維能力。本文首先分析了矢量和微積分的基本思想和方法，再通過實例分析介紹大學物理中矢量函數(shù)的微積分問題的思維步驟和方法。以供學習者參考借鑒。

參考文獻：

[1]熊青玲.大學物理中關于矢量的應用問題探討[J].高校之窗，2008，（3）.

[2]黃祝明，吳鋒.簡明大學物理[M].上海：同濟大學出版社，2013.endprint

摘要：矢量和微積分是大學物理中極其重要的數(shù)學方法，也是一種物理思維能力。本文主要討論矢量和微積分的基本思想以及矢量函數(shù)的微積分的應用。

關鍵詞：大學物理；矢量；矢量分析；微積分

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）11-0108-02

一、引言

矢量和微積分的應用是學好大學物理的前提，它更嚴格地定義物理概念、表達物理規(guī)律。大學物理中，作為變量的物理量通常是以矢量函數(shù)表示。描述物理矢量的連續(xù)性變化問題必須應用矢量函數(shù)的微積分，這是大學物理學習的重點和難點。學生在學習過程中理解了矢量和微積分的思想和實質，反過來可以系統(tǒng)地掌握物理學的基本概念和基本規(guī)律，甚至形成整個物理學的知識框架和思維方法。

二、理解矢量的本質

在大學物理中，廣泛應用矢量理論來研究物理概念和規(guī)律，它可以幫助人們研究物理量的方向變化問題。矢量理論主要包括矢量代數(shù)和矢量分析。但很多初學者都不能很好地理解矢量的本質，只是單純地把矢量理解為“既有大小，又有方向”的物理量，而忽略矢量代數(shù)和矢量分析的重要含義[1]。矢量代數(shù)的法則主要是平行四邊形法則和矢量的點乘和叉乘。平行四邊形法則是矢量的加法運算法則，主要用于離散分布的物理矢量的疊加問題。矢量的點乘可以得到一個標量，它廣泛地應用于物理量的定義中，如磁感應強度■與面積■的點乘定義磁通量Φm，數(shù)學形式為Φm=■■·d■。矢量的叉乘反映三維空間中矢量的關系，兩個矢量通過叉乘得到一個新的矢量，其方向遵循右手螺旋定則。如角動量的定義式■=■×■。物理中連續(xù)性問題用到矢量函數(shù)的定積分形式。

矢量分析就是在坐標系中把矢量函數(shù)進行正交分解，也就是把矢量函數(shù)轉換為坐標軸上的標量函數(shù)。這樣，矢量函數(shù)的求導和積分計算就轉換成學生們所熟知的高等數(shù)學中標量函數(shù)的微積分問題。例如在直角坐標系中，位置矢量■（t）=x（t）■+y（t）■+z（t）■，則速度■（t）=■=■■+■■+■■。

學生要想學好大學物理就必須理解矢量的本質，掌握矢量代數(shù)和矢量分析。很多學生在物理形成標量運算的定式思維，忽略了矢量問題。主要問題有以下幾點：（1）矢量函數(shù)作為變量，大小和方向都隨時間變化。而有些學生在矢量函數(shù)的運算中忽略了方向變量所產(chǎn)生的問題。（2）在矢量函數(shù)的微積分計算中，矢量分析的思想要先把矢量函數(shù)進行坐標分解。但部分學生常常直接對矢量函數(shù)進行微積分運算。（3）在矢量點乘或叉乘的運算中，學生容易忘記兩個矢量的夾角，這個夾角可能是變量，需要參與導數(shù)或積分的計算。

三、掌握微積分的思想

微積分廣泛應用于物理問題的研究中，許多重要的物理規(guī)律都必須以微積分的形式來表示。微積分的主要思想和方法：把物理問題所研究的對象在時間或空間上進行分割成小量，對小量進行近似處理，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實結果。這就是微分的思想，由無限分割所得到的小量稱為微分元（微元）。而把這些無限小的微元進行連續(xù)性求和，就是積分。把物理對象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，這樣復雜問題就簡單化。例如一般曲線運動的瞬時速度■（t）=■，實質是把時間間隔進行無限分割，取微元Δt→0的極限，位移的微元Δ■也近似于位置矢量的微元d■。有部分學生不能正常理解微積分的基本思想和方法，不會取合理的微分元，不能把微積分應用與物理模型結合起來。

另外，矢量函數(shù)的微積分問題，必須結合微積分方法和矢量分析，這使得物理問題中的微積分的應用更有難度。這需要在大學物理教學中，通過具體物理模型的分析，使學生熟練地應用微積分方法分析物理問題，包括矢量問題。接下來，我們將以實例分析講解大學物理中矢量函數(shù)的微積分的應用。

四、矢量函數(shù)的微積分的應用

大學物理中矢量函數(shù)的微積分問題雖然涉及的物理內容不同，但是利用數(shù)學方法解決問題的思維方式相同。其主要思路是：（1）根據(jù)物理問題，確定相應的微元；（2）建立合理的坐標系，用矢量分析的方法處理需要處理的矢量函數(shù)；（3）結合物理規(guī)律和公式，將物理模型轉換為數(shù)學模型（在積分問題中，還需要確定積分上、下限）；（4）應用微積分的性質統(tǒng)一變量，進行計算。

矢量函數(shù)的微積分從選取的微元上來看可以分為兩類形式：一是時間微元。這類問題較簡單，其核心思想是矢量分析。因為根據(jù)物理學公式，很容易確定時間微元dt。例如沖量是力在時間上的累積效果■=■■（t）dt。這些問題只需要學生們掌握物理公式的含義，并能選取合適的坐標系分解矢量函數(shù)，再解標量函數(shù)的微積分式。最后，對新得到物理量的各個分量式以平行四邊形法則合成即可。二是空間微元。這類問題形式較多?？臻g微元分為線元、面元、體元，需要選擇合理的微元。而且這類問題一般變量較多，需要統(tǒng)一變量。因此，解決這類問題必須綜合利用矢量分析和微積分。以空間微元形式的微分問題，主要是以下三種運算法則：梯度、散度和旋度，在大學物理中的應用較少。而積分問題在力學和電磁學中都有很重要的應用，是學習大學物理的重難點。積分問題分為線積分、面積分和體積分。要想解決這類問題，學生必須具有扎實的數(shù)學基礎和物理思維能力。因此，在課堂上充分利用經(jīng)典物理模型，給學生總結解決問題的步驟和方法。加強對學生的思維方法和能力的培養(yǎng)，包括解決問題的數(shù)學能力。下面以動生電動勢的經(jīng)典模型為例介紹矢量函數(shù)的微積分的思維步驟和方法。

例[2]：如圖所示，一長直導線中通有向上的穩(wěn)恒電流I，在長直導線旁平行放置一線圈ABCD，AB邊可在兩導軌CE、DF上滑行，線圈靠近直導線的一邊到直導線的距離為d，AB邊長為a，當AB邊以速度v勻速向下運動。求線圈中的感應電動勢。

解：首先，BA邊處于非均勻磁場中，空間磁感應強度分布由無限長通電直導線產(chǎn)生：■=■。根據(jù)動生電動勢的定義式：ε=■（■×■）·d■，在BA導線上選取無限小的微線元d■，其方向從B指向A。這樣每個線元上d■的磁感應強度都可以視作均勻的。

其次，選取沿導線BA方向作x坐標軸，坐標原點在長直導線上。則線元d■上產(chǎn)生的動生電動勢dε的大小表示為： dε=■vsinθ1dxcosθ2，其中，θ1=■為矢量■和■的夾角，θ2=0為矢量■×■和線元d■的夾角。

第三步，在x坐標軸中，統(tǒng)一變量，并對整個BA導線在x軸上進行積分。確定積分上下限。綜上分析，BA邊上的動生電動勢的數(shù)學公式表示為：ε=■■vdx。最后，計算得到ε=■ln■。并確定電動勢的方向是從B指向A的。

在分析和求解這道題的過程中，重點是讓學生掌握將物理模型轉換為數(shù)學模型的思維步驟和方法。學生在高等數(shù)學中掌握的微積分知識，只能解決最后一步。前面三步的物理思維能力，是大學物理課程的重點。教師要在課程上引導學生從矢量分析和微積分的基本思想出發(fā)分析和解決物理模型。

矢量和微積分在大學物理中的應用是學習大學物理的一種思維能力。本文首先分析了矢量和微積分的基本思想和方法，再通過實例分析介紹大學物理中矢量函數(shù)的微積分問題的思維步驟和方法。以供學習者參考借鑒。

參考文獻：

[1]熊青玲.大學物理中關于矢量的應用問題探討[J].高校之窗，2008，（3）.

[2]黃祝明，吳鋒.簡明大學物理[M].上海：同濟大學出版社，2013.endprint

摘要：矢量和微積分是大學物理中極其重要的數(shù)學方法，也是一種物理思維能力。本文主要討論矢量和微積分的基本思想以及矢量函數(shù)的微積分的應用。

關鍵詞：大學物理；矢量；矢量分析；微積分

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）11-0108-02

一、引言

矢量和微積分的應用是學好大學物理的前提，它更嚴格地定義物理概念、表達物理規(guī)律。大學物理中，作為變量的物理量通常是以矢量函數(shù)表示。描述物理矢量的連續(xù)性變化問題必須應用矢量函數(shù)的微積分，這是大學物理學習的重點和難點。學生在學習過程中理解了矢量和微積分的思想和實質，反過來可以系統(tǒng)地掌握物理學的基本概念和基本規(guī)律，甚至形成整個物理學的知識框架和思維方法。

二、理解矢量的本質

在大學物理中，廣泛應用矢量理論來研究物理概念和規(guī)律，它可以幫助人們研究物理量的方向變化問題。矢量理論主要包括矢量代數(shù)和矢量分析。但很多初學者都不能很好地理解矢量的本質，只是單純地把矢量理解為“既有大小，又有方向”的物理量，而忽略矢量代數(shù)和矢量分析的重要含義[1]。矢量代數(shù)的法則主要是平行四邊形法則和矢量的點乘和叉乘。平行四邊形法則是矢量的加法運算法則，主要用于離散分布的物理矢量的疊加問題。矢量的點乘可以得到一個標量，它廣泛地應用于物理量的定義中，如磁感應強度■與面積■的點乘定義磁通量Φm，數(shù)學形式為Φm=■■·d■。矢量的叉乘反映三維空間中矢量的關系，兩個矢量通過叉乘得到一個新的矢量，其方向遵循右手螺旋定則。如角動量的定義式■=■×■。物理中連續(xù)性問題用到矢量函數(shù)的定積分形式。

矢量分析就是在坐標系中把矢量函數(shù)進行正交分解，也就是把矢量函數(shù)轉換為坐標軸上的標量函數(shù)。這樣，矢量函數(shù)的求導和積分計算就轉換成學生們所熟知的高等數(shù)學中標量函數(shù)的微積分問題。例如在直角坐標系中，位置矢量■（t）=x（t）■+y（t）■+z（t）■，則速度■（t）=■=■■+■■+■■。

學生要想學好大學物理就必須理解矢量的本質，掌握矢量代數(shù)和矢量分析。很多學生在物理形成標量運算的定式思維，忽略了矢量問題。主要問題有以下幾點：（1）矢量函數(shù)作為變量，大小和方向都隨時間變化。而有些學生在矢量函數(shù)的運算中忽略了方向變量所產(chǎn)生的問題。（2）在矢量函數(shù)的微積分計算中，矢量分析的思想要先把矢量函數(shù)進行坐標分解。但部分學生常常直接對矢量函數(shù)進行微積分運算。（3）在矢量點乘或叉乘的運算中，學生容易忘記兩個矢量的夾角，這個夾角可能是變量，需要參與導數(shù)或積分的計算。

三、掌握微積分的思想

微積分廣泛應用于物理問題的研究中，許多重要的物理規(guī)律都必須以微積分的形式來表示。微積分的主要思想和方法：把物理問題所研究的對象在時間或空間上進行分割成小量，對小量進行近似處理，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實結果。這就是微分的思想，由無限分割所得到的小量稱為微分元（微元）。而把這些無限小的微元進行連續(xù)性求和，就是積分。把物理對象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，這樣復雜問題就簡單化。例如一般曲線運動的瞬時速度■（t）=■，實質是把時間間隔進行無限分割，取微元Δt→0的極限，位移的微元Δ■也近似于位置矢量的微元d■。有部分學生不能正常理解微積分的基本思想和方法，不會取合理的微分元，不能把微積分應用與物理模型結合起來。

另外，矢量函數(shù)的微積分問題，必須結合微積分方法和矢量分析，這使得物理問題中的微積分的應用更有難度。這需要在大學物理教學中，通過具體物理模型的分析，使學生熟練地應用微積分方法分析物理問題，包括矢量問題。接下來，我們將以實例分析講解大學物理中矢量函數(shù)的微積分的應用。

四、矢量函數(shù)的微積分的應用

大學物理中矢量函數(shù)的微積分問題雖然涉及的物理內容不同，但是利用數(shù)學方法解決問題的思維方式相同。其主要思路是：（1）根據(jù)物理問題，確定相應的微元；（2）建立合理的坐標系，用矢量分析的方法處理需要處理的矢量函數(shù)；（3）結合物理規(guī)律和公式，將物理模型轉換為數(shù)學模型（在積分問題中，還需要確定積分上、下限）；（4）應用微積分的性質統(tǒng)一變量，進行計算。

矢量函數(shù)的微積分從選取的微元上來看可以分為兩類形式：一是時間微元。這類問題較簡單，其核心思想是矢量分析。因為根據(jù)物理學公式，很容易確定時間微元dt。例如沖量是力在時間上的累積效果■=■■（t）dt。這些問題只需要學生們掌握物理公式的含義，并能選取合適的坐標系分解矢量函數(shù)，再解標量函數(shù)的微積分式。最后，對新得到物理量的各個分量式以平行四邊形法則合成即可。二是空間微元。這類問題形式較多?？臻g微元分為線元、面元、體元，需要選擇合理的微元。而且這類問題一般變量較多，需要統(tǒng)一變量。因此，解決這類問題必須綜合利用矢量分析和微積分。以空間微元形式的微分問題，主要是以下三種運算法則：梯度、散度和旋度，在大學物理中的應用較少。而積分問題在力學和電磁學中都有很重要的應用，是學習大學物理的重難點。積分問題分為線積分、面積分和體積分。要想解決這類問題，學生必須具有扎實的數(shù)學基礎和物理思維能力。因此，在課堂上充分利用經(jīng)典物理模型，給學生總結解決問題的步驟和方法。加強對學生的思維方法和能力的培養(yǎng)，包括解決問題的數(shù)學能力。下面以動生電動勢的經(jīng)典模型為例介紹矢量函數(shù)的微積分的思維步驟和方法。

例[2]：如圖所示，一長直導線中通有向上的穩(wěn)恒電流I，在長直導線旁平行放置一線圈ABCD，AB邊可在兩導軌CE、DF上滑行，線圈靠近直導線的一邊到直導線的距離為d，AB邊長為a，當AB邊以速度v勻速向下運動。求線圈中的感應電動勢。

解：首先，BA邊處于非均勻磁場中，空間磁感應強度分布由無限長通電直導線產(chǎn)生：■=■。根據(jù)動生電動勢的定義式：ε=■（■×■）·d■，在BA導線上選取無限小的微線元d■，其方向從B指向A。這樣每個線元上d■的磁感應強度都可以視作均勻的。

其次，選取沿導線BA方向作x坐標軸，坐標原點在長直導線上。則線元d■上產(chǎn)生的動生電動勢dε的大小表示為： dε=■vsinθ1dxcosθ2，其中，θ1=■為矢量■和■的夾角，θ2=0為矢量■×■和線元d■的夾角。

第三步，在x坐標軸中，統(tǒng)一變量，并對整個BA導線在x軸上進行積分。確定積分上下限。綜上分析，BA邊上的動生電動勢的數(shù)學公式表示為：ε=■■vdx。最后，計算得到ε=■ln■。并確定電動勢的方向是從B指向A的。

在分析和求解這道題的過程中，重點是讓學生掌握將物理模型轉換為數(shù)學模型的思維步驟和方法。學生在高等數(shù)學中掌握的微積分知識，只能解決最后一步。前面三步的物理思維能力，是大學物理課程的重點。教師要在課程上引導學生從矢量分析和微積分的基本思想出發(fā)分析和解決物理模型。

矢量和微積分在大學物理中的應用是學習大學物理的一種思維能力。本文首先分析了矢量和微積分的基本思想和方法，再通過實例分析介紹大學物理中矢量函數(shù)的微積分問題的思維步驟和方法。以供學習者參考借鑒。

參考文獻：

[1]熊青玲.大學物理中關于矢量的應用問題探討[J].高校之窗，2008，（3）.

[2]黃祝明，吳鋒.簡明大學物理[M].上海：同濟大學出版社，2013.endprint