呂云彬

在初三畢業(yè)班復(fù)習(xí)研討會(huì)上，筆者聽(tīng)取了臺(tái)州市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)組織的一次數(shù)學(xué)觀摩課，這節(jié)由杭州市西湖區(qū)三墩中學(xué)潘老師執(zhí)教的“二次函數(shù)中的面積問(wèn)題—做數(shù)學(xué)的思想者”的課，讓學(xué)生從已有的二次函數(shù)基本知識(shí)出發(fā)，去探究并提出問(wèn)題，最后解決問(wèn)題。

一、教學(xué)實(shí)錄

（一）課堂引入

首先，教師和學(xué)生一起回顧二次函數(shù)定義及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸等，然后給出下列問(wèn)題：

如圖1，已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。

（1）直接寫(xiě)出A，B，C，D各點(diǎn)坐標(biāo)及BC的直線解析式；

（2）根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

①開(kāi)口方向?yàn)開(kāi)_________；

②對(duì)稱(chēng)軸______________；

③當(dāng)x=_______時(shí)，

最大（小）值_______；

④|AB|=______

⑤當(dāng)x_________，y隨x的增大而增大，

當(dāng)x_______，y隨x的增大而減小。

復(fù)習(xí)課的課堂引入是教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生回顧已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)。潘老師通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)圖象，將學(xué)生短期內(nèi)遺忘掉的零散知識(shí)點(diǎn)重新編碼，通過(guò)（1）（2）兩小題建立二次函數(shù)知識(shí)之間、知識(shí)與學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生回顧知識(shí)和整理知識(shí)，并組織學(xué)生交流探討第（2）題的第④小題，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)任意確定時(shí)，都可以求出線段AB的長(zhǎng)度，讓學(xué)生自己試著舉出例子，引導(dǎo)學(xué)生相互交流，幫助學(xué)生優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題

在解答完以上兩個(gè)小題之后，給出第三個(gè)小題。

（3）根據(jù)圖象思考由這些點(diǎn)O、A、B、C、D能構(gòu)成了哪些三角形，并求出這些三角形的面積。

生1：S△OAC=[12]×1×3=[32] S△OBD=[12]×3×4=6

S△OBC=[12]×3×3=[92] S△OCD=[12]×1×3=[32]

S△ABC=[12]×4×3=6 S△AOD=[12]×1×4=2

S△ABD=[12]×4×4=8

師：還有其他三角形的面積能求嗎？

生2：還有△ACD和△BCD。

師：能否求出這兩個(gè)三角形的面積？相對(duì)于上述三角形，這兩個(gè)三角形的面積最難求嗎？為什么最困難？

生3：因?yàn)椤鰽CD和△BCD的邊沒(méi)有在坐標(biāo)軸上，其他三角形中都有某一邊或兩邊在坐標(biāo)軸上，這樣便于尋找三角形的底和高，能比較直觀求出它們的面積，這兩個(gè)三角形的三邊都沒(méi)有在坐標(biāo)軸上，尋找數(shù)量關(guān)系就顯得比較困難。

師：那我們有什么辦法來(lái)求出它們的面積呢？由原圖會(huì)想到哪些問(wèn)題？

教師的點(diǎn)撥激起了學(xué)生思維的火花，帶領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)入高潮，使數(shù)學(xué)問(wèn)題逐步深入，探究變得非常巧妙自然。

（三）探究問(wèn)題

師：如圖2，下面我們以△BCD為例，來(lái)求它的面積，請(qǐng)同學(xué)們思考求解的好方法？

生1：可先求出四邊形ACDB的面積，利用上面的幾個(gè)基本三角形的和差，從而得到。

S△BCD=S四邊形ACBD-S△ABC

=S△AOC+S△OCD+S△OBD-S△ABC

=[32]+[32]+6-6

=3

生2：可先求出四邊形OCDB

的面積，利用△OCD和△OBD的

面積和減去△OBC的面積即可。

生3：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥OC于H點(diǎn)，先求出梯形OHDB的面積，再減去△OBC和△CHD的面積即可。

本小題涉及到計(jì)算三角形面積的常用方法——割補(bǔ)法，學(xué)生采用“一題多解”，靈活運(yùn)用，積極思考，課堂氣氛非?；钴S，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，體驗(yàn)解決問(wèn)題的思考過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，盡可能多地讓學(xué)生自己講解，加深記憶，一題多解，做到“授人以魚(yú)不如授人以漁”。

二、幾個(gè)亮點(diǎn)思考

（一）注重?cái)?shù)學(xué)的解題方法：“一題多解”和“一圖多用”

筆者在金華市培訓(xùn)期間聽(tīng)一位專(zhuān)家在“對(duì)基于教育本質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂的幾點(diǎn)思考”的講座中提到一個(gè)案例：等腰三角形的判定。某位教師在復(fù)習(xí)等腰三角形性質(zhì)定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”后給出其判定定理“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，在該教學(xué)片斷中，采用一圖多用，給筆者留下了深刻印象。題目如下：

師：如圖3，在△ABC中，若∠B=∠C，則有什么結(jié)論？

圖3 圖4

生1：由等腰三角形的判定定理得出圖中△ABC為等腰三角形.

師：如圖4，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，若BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，能得出什么結(jié)論？

生2：可找到兩個(gè)等腰三角形，分別是△ABC和△OBC。

師：如圖5，過(guò)O作直線EF∥BC。則圖中有幾個(gè)等腰三角形？為什么？線段EF與線段BE、FC之間有何關(guān)系？

圖5 圖6

生3：圖中可找到4個(gè)等腰三角形，分別是△ABC、△OBC、△EBO、△FOC，線段EF=BE+FC。

接著有學(xué)生指出學(xué)生3答題不仔細(xì)，紛紛舉手，發(fā)現(xiàn)圖3中有5個(gè)等腰三角形，不僅線段滿足EF=BE+FC，而且EF=2BE，或EF=2FC。學(xué)生觀察問(wèn)題非常仔細(xì)，對(duì)問(wèn)題的思考更加深入。

接著教師讓學(xué)生自己編題，設(shè)計(jì)問(wèn)題后自己解決，其中一個(gè)學(xué)生想到：

生4：如圖6，若∠B與∠C不相等。則圖中有沒(méi)有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒(méi)有上述關(guān)系？

生5：圖中還有兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)我們必須綜合應(yīng)用角平分線定義和平行線性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理得出△EBO和△FOC是等腰三角形，最后得出線段之間的關(guān)系式還是成立的。

師：講得非常好。針對(duì)此題，你還能想到什么問(wèn)題？

生6：當(dāng)BO和CO中其中有一條是△ABC的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角平分線時(shí)，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于點(diǎn)O，此時(shí)圖中有幾個(gè)等腰三角形？線段EF、EB、FC又滿足什么關(guān)系式？

師：針對(duì)這個(gè)圖形你還會(huì)設(shè)計(jì)什么問(wèn)題呢？

生7：在圖3和圖4中，當(dāng)EF不平行BC時(shí)，直線EF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)等腰三角形？若有，最多有幾個(gè)？

這個(gè)問(wèn)題引起了全班同學(xué)的思考，大家相互討論，積極動(dòng)手操作。此時(shí)，教師利用幾何畫(huà)板，很好的演示了這個(gè)過(guò)程，點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置有可能在線段AB、AC上，或者在其延長(zhǎng)線上，同時(shí)要對(duì)∠EBO進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)∠EBO為等腰三角形的頂角或底角時(shí)又會(huì)怎樣，同時(shí)學(xué)生也發(fā)現(xiàn)等腰三角形個(gè)數(shù)的多少還取決于△ABC的形狀。

同學(xué)們看著教師的演示，紛紛討論，畫(huà)圖探究，動(dòng)手操作，思考問(wèn)題的積極性非常高，氣氛熱烈，教師和學(xué)生一起完成了學(xué)生設(shè)計(jì)的難題。這個(gè)教學(xué)片斷非常巧妙地運(yùn)用了數(shù)學(xué)幾何圖形的“一圖多用”，讓學(xué)生層層思考，通過(guò)變式、出題、由淺入深，學(xué)生整個(gè)思維清晰有序，課堂參與率非常高。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)課堂提問(wèn)的藝術(shù)

數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的方式很多，有開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的提問(wèn)、有創(chuàng)設(shè)情景的提問(wèn)、有窮追不舍的提問(wèn)等。教師在提問(wèn)時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題要有需要性、激發(fā)性、創(chuàng)造性、發(fā)展性、全面性、適度性。好的提問(wèn)方式可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，迅速集中學(xué)生的注意力，是開(kāi)啟學(xué)生智慧之門(mén)的鑰匙。筆者在聽(tīng)一位年輕教師執(zhí)教八年級(jí)上冊(cè)第十一章數(shù)學(xué)活動(dòng)課“平面鑲嵌”這一課時(shí)，摘錄了這位教師的課堂提問(wèn)。年輕教師的課堂提問(wèn)設(shè)計(jì)能做到精心揣摩，筆者認(rèn)為是非常好的。

師：正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形這四種圖形中，選取一種進(jìn)行平面鑲嵌，哪種不能？

通過(guò)多媒體演示，師生共同得出正五邊形不能單獨(dú)進(jìn)行平面鑲嵌。

師：為什么正五邊形不能單一進(jìn)行平面鑲嵌？能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形必須滿足什么條件？

因著教師的提問(wèn)，學(xué)生進(jìn)一步思考，對(duì)于多邊形進(jìn)行平面鑲嵌有了更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，而并不單單在于記住正五邊形不能進(jìn)行平面鑲嵌，同時(shí)也探討多邊形的內(nèi)角與360°的關(guān)系，提出能被360°整除的就可以進(jìn)行平面鑲嵌。

結(jié)論：一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，只有正三角形、正四邊形、正六邊形三種可以。

師：若選取兩種或三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形，哪些可以進(jìn)行平面鑲嵌？

在討論探究中學(xué)生1得出一個(gè)結(jié)論：凡是有正五邊形參與的就不能進(jìn)行平面鑲嵌。

師：大家同意這位同學(xué)（生1）的想法嗎？

生2：用兩個(gè)正五邊形和一個(gè)正十邊形就可以進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)檎呅蔚膬?nèi)角為144°，而正五邊形的內(nèi)角為108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。

全班學(xué)生都紛紛舉手表示贊同，但有的學(xué)生當(dāng)時(shí)也就疑惑了，這樣湊不是很麻煩？緊接著教師就提出問(wèn)題。

師：能否用常規(guī)的方法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題？

師生一起思考，共同解決。以正三角形和正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌為例，設(shè)有m個(gè)正三角形和n個(gè)正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌，則有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，當(dāng)n=1時(shí)，m=4；當(dāng)n=2時(shí)，m=2，這樣就有兩種情況，用這種辦法去解決一般的多種多邊形平面鑲嵌問(wèn)題。

師：除了用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌外，還有沒(méi)有其他任意多邊形，如：三角形、四邊形之類(lèi)能否進(jìn)行單一鑲嵌呢？

教師通過(guò)多媒體演示，利用做好的四個(gè)全等的任意三角形和四邊形模型讓學(xué)生到黑板上進(jìn)行動(dòng)手拼圖，得出能進(jìn)行平面鑲嵌。

結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形和任意四邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌。

師：除了三角形、四邊形、還有其他一般的多邊形能單一進(jìn)行平面鑲嵌嗎？

學(xué)生深入思考探究，最后得出除了三角形和四邊形，沒(méi)有其他任意的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌。

其實(shí)問(wèn)題的提出并不在于多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否能夠觸及問(wèn)題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考，不能讓問(wèn)題處于形式主義。要使提問(wèn)有效，首先要做到問(wèn)題的指向明確，提問(wèn)時(shí)針對(duì)性要強(qiáng)，充分鉆研教材，悉心考察學(xué)情，做到精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，傾聽(tīng)學(xué)生回答，及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)。課堂提問(wèn)貫穿于我們教學(xué)的始終，雖然它是一個(gè)古老的話題，卻是我們一線教師永恒的話題，我們要把握提問(wèn)時(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)語(yǔ)氣，激活學(xué)生的思維內(nèi)力，培養(yǎng)學(xué)生探索精神，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，這樣的課堂才是有效和精彩的課堂。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]吳巖.初中幾何教學(xué)中的一圖多用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（1-2）.

[2]錢(qián)英.與二次函數(shù)圖象有關(guān)的面積問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（5）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

生4：如圖6，若∠B與∠C不相等。則圖中有沒(méi)有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒(méi)有上述關(guān)系？

生5：圖中還有兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)我們必須綜合應(yīng)用角平分線定義和平行線性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理得出△EBO和△FOC是等腰三角形，最后得出線段之間的關(guān)系式還是成立的。

師：講得非常好。針對(duì)此題，你還能想到什么問(wèn)題？

生6：當(dāng)BO和CO中其中有一條是△ABC的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角平分線時(shí)，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于點(diǎn)O，此時(shí)圖中有幾個(gè)等腰三角形？線段EF、EB、FC又滿足什么關(guān)系式？

師：針對(duì)這個(gè)圖形你還會(huì)設(shè)計(jì)什么問(wèn)題呢？

生7：在圖3和圖4中，當(dāng)EF不平行BC時(shí)，直線EF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)等腰三角形？若有，最多有幾個(gè)？

這個(gè)問(wèn)題引起了全班同學(xué)的思考，大家相互討論，積極動(dòng)手操作。此時(shí)，教師利用幾何畫(huà)板，很好的演示了這個(gè)過(guò)程，點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置有可能在線段AB、AC上，或者在其延長(zhǎng)線上，同時(shí)要對(duì)∠EBO進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)∠EBO為等腰三角形的頂角或底角時(shí)又會(huì)怎樣，同時(shí)學(xué)生也發(fā)現(xiàn)等腰三角形個(gè)數(shù)的多少還取決于△ABC的形狀。

同學(xué)們看著教師的演示，紛紛討論，畫(huà)圖探究，動(dòng)手操作，思考問(wèn)題的積極性非常高，氣氛熱烈，教師和學(xué)生一起完成了學(xué)生設(shè)計(jì)的難題。這個(gè)教學(xué)片斷非常巧妙地運(yùn)用了數(shù)學(xué)幾何圖形的“一圖多用”，讓學(xué)生層層思考，通過(guò)變式、出題、由淺入深，學(xué)生整個(gè)思維清晰有序，課堂參與率非常高。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)課堂提問(wèn)的藝術(shù)

數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的方式很多，有開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的提問(wèn)、有創(chuàng)設(shè)情景的提問(wèn)、有窮追不舍的提問(wèn)等。教師在提問(wèn)時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題要有需要性、激發(fā)性、創(chuàng)造性、發(fā)展性、全面性、適度性。好的提問(wèn)方式可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，迅速集中學(xué)生的注意力，是開(kāi)啟學(xué)生智慧之門(mén)的鑰匙。筆者在聽(tīng)一位年輕教師執(zhí)教八年級(jí)上冊(cè)第十一章數(shù)學(xué)活動(dòng)課“平面鑲嵌”這一課時(shí)，摘錄了這位教師的課堂提問(wèn)。年輕教師的課堂提問(wèn)設(shè)計(jì)能做到精心揣摩，筆者認(rèn)為是非常好的。

師：正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形這四種圖形中，選取一種進(jìn)行平面鑲嵌，哪種不能？

通過(guò)多媒體演示，師生共同得出正五邊形不能單獨(dú)進(jìn)行平面鑲嵌。

師：為什么正五邊形不能單一進(jìn)行平面鑲嵌？能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形必須滿足什么條件？

因著教師的提問(wèn)，學(xué)生進(jìn)一步思考，對(duì)于多邊形進(jìn)行平面鑲嵌有了更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，而并不單單在于記住正五邊形不能進(jìn)行平面鑲嵌，同時(shí)也探討多邊形的內(nèi)角與360°的關(guān)系，提出能被360°整除的就可以進(jìn)行平面鑲嵌。

結(jié)論：一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，只有正三角形、正四邊形、正六邊形三種可以。

師：若選取兩種或三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形，哪些可以進(jìn)行平面鑲嵌？

在討論探究中學(xué)生1得出一個(gè)結(jié)論：凡是有正五邊形參與的就不能進(jìn)行平面鑲嵌。

師：大家同意這位同學(xué)（生1）的想法嗎？

生2：用兩個(gè)正五邊形和一個(gè)正十邊形就可以進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)檎呅蔚膬?nèi)角為144°，而正五邊形的內(nèi)角為108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。

全班學(xué)生都紛紛舉手表示贊同，但有的學(xué)生當(dāng)時(shí)也就疑惑了，這樣湊不是很麻煩？緊接著教師就提出問(wèn)題。

師：能否用常規(guī)的方法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題？

師生一起思考，共同解決。以正三角形和正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌為例，設(shè)有m個(gè)正三角形和n個(gè)正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌，則有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，當(dāng)n=1時(shí)，m=4；當(dāng)n=2時(shí)，m=2，這樣就有兩種情況，用這種辦法去解決一般的多種多邊形平面鑲嵌問(wèn)題。

師：除了用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌外，還有沒(méi)有其他任意多邊形，如：三角形、四邊形之類(lèi)能否進(jìn)行單一鑲嵌呢？

教師通過(guò)多媒體演示，利用做好的四個(gè)全等的任意三角形和四邊形模型讓學(xué)生到黑板上進(jìn)行動(dòng)手拼圖，得出能進(jìn)行平面鑲嵌。

結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形和任意四邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌。

師：除了三角形、四邊形、還有其他一般的多邊形能單一進(jìn)行平面鑲嵌嗎？

學(xué)生深入思考探究，最后得出除了三角形和四邊形，沒(méi)有其他任意的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌。

其實(shí)問(wèn)題的提出并不在于多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否能夠觸及問(wèn)題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考，不能讓問(wèn)題處于形式主義。要使提問(wèn)有效，首先要做到問(wèn)題的指向明確，提問(wèn)時(shí)針對(duì)性要強(qiáng)，充分鉆研教材，悉心考察學(xué)情，做到精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，傾聽(tīng)學(xué)生回答，及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)。課堂提問(wèn)貫穿于我們教學(xué)的始終，雖然它是一個(gè)古老的話題，卻是我們一線教師永恒的話題，我們要把握提問(wèn)時(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)語(yǔ)氣，激活學(xué)生的思維內(nèi)力，培養(yǎng)學(xué)生探索精神，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，這樣的課堂才是有效和精彩的課堂。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]吳巖.初中幾何教學(xué)中的一圖多用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（1-2）.

[2]錢(qián)英.與二次函數(shù)圖象有關(guān)的面積問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（5）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

生4：如圖6，若∠B與∠C不相等。則圖中有沒(méi)有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒(méi)有上述關(guān)系？

生5：圖中還有兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)我們必須綜合應(yīng)用角平分線定義和平行線性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理得出△EBO和△FOC是等腰三角形，最后得出線段之間的關(guān)系式還是成立的。

師：講得非常好。針對(duì)此題，你還能想到什么問(wèn)題？

生6：當(dāng)BO和CO中其中有一條是△ABC的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角平分線時(shí)，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于點(diǎn)O，此時(shí)圖中有幾個(gè)等腰三角形？線段EF、EB、FC又滿足什么關(guān)系式？

師：針對(duì)這個(gè)圖形你還會(huì)設(shè)計(jì)什么問(wèn)題呢？

生7：在圖3和圖4中，當(dāng)EF不平行BC時(shí)，直線EF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)等腰三角形？若有，最多有幾個(gè)？

這個(gè)問(wèn)題引起了全班同學(xué)的思考，大家相互討論，積極動(dòng)手操作。此時(shí)，教師利用幾何畫(huà)板，很好的演示了這個(gè)過(guò)程，點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置有可能在線段AB、AC上，或者在其延長(zhǎng)線上，同時(shí)要對(duì)∠EBO進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)∠EBO為等腰三角形的頂角或底角時(shí)又會(huì)怎樣，同時(shí)學(xué)生也發(fā)現(xiàn)等腰三角形個(gè)數(shù)的多少還取決于△ABC的形狀。

同學(xué)們看著教師的演示，紛紛討論，畫(huà)圖探究，動(dòng)手操作，思考問(wèn)題的積極性非常高，氣氛熱烈，教師和學(xué)生一起完成了學(xué)生設(shè)計(jì)的難題。這個(gè)教學(xué)片斷非常巧妙地運(yùn)用了數(shù)學(xué)幾何圖形的“一圖多用”，讓學(xué)生層層思考，通過(guò)變式、出題、由淺入深，學(xué)生整個(gè)思維清晰有序，課堂參與率非常高。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)課堂提問(wèn)的藝術(shù)

數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的方式很多，有開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的提問(wèn)、有創(chuàng)設(shè)情景的提問(wèn)、有窮追不舍的提問(wèn)等。教師在提問(wèn)時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題要有需要性、激發(fā)性、創(chuàng)造性、發(fā)展性、全面性、適度性。好的提問(wèn)方式可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，迅速集中學(xué)生的注意力，是開(kāi)啟學(xué)生智慧之門(mén)的鑰匙。筆者在聽(tīng)一位年輕教師執(zhí)教八年級(jí)上冊(cè)第十一章數(shù)學(xué)活動(dòng)課“平面鑲嵌”這一課時(shí)，摘錄了這位教師的課堂提問(wèn)。年輕教師的課堂提問(wèn)設(shè)計(jì)能做到精心揣摩，筆者認(rèn)為是非常好的。

師：正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形這四種圖形中，選取一種進(jìn)行平面鑲嵌，哪種不能？

通過(guò)多媒體演示，師生共同得出正五邊形不能單獨(dú)進(jìn)行平面鑲嵌。

師：為什么正五邊形不能單一進(jìn)行平面鑲嵌？能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形必須滿足什么條件？

因著教師的提問(wèn)，學(xué)生進(jìn)一步思考，對(duì)于多邊形進(jìn)行平面鑲嵌有了更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，而并不單單在于記住正五邊形不能進(jìn)行平面鑲嵌，同時(shí)也探討多邊形的內(nèi)角與360°的關(guān)系，提出能被360°整除的就可以進(jìn)行平面鑲嵌。

結(jié)論：一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，只有正三角形、正四邊形、正六邊形三種可以。

師：若選取兩種或三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形，哪些可以進(jìn)行平面鑲嵌？

在討論探究中學(xué)生1得出一個(gè)結(jié)論：凡是有正五邊形參與的就不能進(jìn)行平面鑲嵌。

師：大家同意這位同學(xué)（生1）的想法嗎？

生2：用兩個(gè)正五邊形和一個(gè)正十邊形就可以進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)檎呅蔚膬?nèi)角為144°，而正五邊形的內(nèi)角為108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。

全班學(xué)生都紛紛舉手表示贊同，但有的學(xué)生當(dāng)時(shí)也就疑惑了，這樣湊不是很麻煩？緊接著教師就提出問(wèn)題。

師：能否用常規(guī)的方法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題？

師生一起思考，共同解決。以正三角形和正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌為例，設(shè)有m個(gè)正三角形和n個(gè)正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌，則有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，當(dāng)n=1時(shí)，m=4；當(dāng)n=2時(shí)，m=2，這樣就有兩種情況，用這種辦法去解決一般的多種多邊形平面鑲嵌問(wèn)題。

師：除了用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌外，還有沒(méi)有其他任意多邊形，如：三角形、四邊形之類(lèi)能否進(jìn)行單一鑲嵌呢？

教師通過(guò)多媒體演示，利用做好的四個(gè)全等的任意三角形和四邊形模型讓學(xué)生到黑板上進(jìn)行動(dòng)手拼圖，得出能進(jìn)行平面鑲嵌。

結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形和任意四邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌。

師：除了三角形、四邊形、還有其他一般的多邊形能單一進(jìn)行平面鑲嵌嗎？

學(xué)生深入思考探究，最后得出除了三角形和四邊形，沒(méi)有其他任意的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌。

其實(shí)問(wèn)題的提出并不在于多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否能夠觸及問(wèn)題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考，不能讓問(wèn)題處于形式主義。要使提問(wèn)有效，首先要做到問(wèn)題的指向明確，提問(wèn)時(shí)針對(duì)性要強(qiáng)，充分鉆研教材，悉心考察學(xué)情，做到精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，傾聽(tīng)學(xué)生回答，及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)。課堂提問(wèn)貫穿于我們教學(xué)的始終，雖然它是一個(gè)古老的話題，卻是我們一線教師永恒的話題，我們要把握提問(wèn)時(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)語(yǔ)氣，激活學(xué)生的思維內(nèi)力，培養(yǎng)學(xué)生探索精神，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，這樣的課堂才是有效和精彩的課堂。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]吳巖.初中幾何教學(xué)中的一圖多用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（1-2）.

[2]錢(qián)英.與二次函數(shù)圖象有關(guān)的面積問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（5）.

（責(zé)任編輯：張華偉）