朱柏樹

（江蘇省東臺(tái)市教育局教研室，江蘇 鹽城 224200）

圖1

題目.如圖1所示，生產(chǎn)車間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v0.小工件離開甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.乙的寬度足夠大，重力加速度為g.

（1）若乙的速度為v0，求工件在乙上側(cè)向（垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑過的距離s；

（2）若乙的速度為2v0，求工件在乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速度大小v；

（3）保持乙的速度2v0不變，當(dāng)工件在乙上剛停止滑動(dòng)時(shí)，下一只工件恰好傳到乙上，如此反復(fù).若每個(gè)工件的質(zhì)量均為m，除工件與傳送帶之間摩擦外，其他能量損耗均不計(jì)，求驅(qū)動(dòng)乙的電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率.

本題中，工件剛滑上傳送帶乙時(shí)，其初速度方向與乙的運(yùn)動(dòng)方向相垂直，此后，工件在乙上滑動(dòng)過程中，選擇不同參考系時(shí)，其運(yùn)動(dòng)情形不同.因此，解答本題的關(guān)鍵是先明確所選擇的參考系，再分析工件在乙上滑動(dòng)過程中的受力和運(yùn)動(dòng)情況.在對(duì)工件進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，需要重點(diǎn)明確以下4個(gè)問題：

① 工件所受滑動(dòng)摩擦力的方向是否變化；

② 工件的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；

③ 工件側(cè)向滑動(dòng)時(shí)間與縱向（平行于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，即工件側(cè)向與縱向滑動(dòng)是否同時(shí)結(jié)束；

④ 工件在乙上滑動(dòng)的軌跡是直線還是曲線.

為便于分析，在原題所示的情形中，設(shè)傳送帶乙的速度為v1.下面先從分析工件受力情況入手，再分別選用傳送帶乙和地面作為參考系，求出解答試題所需的相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量.

1 工件的受力及運(yùn)動(dòng)分析

1.1 工件的受力分析

工件滑上傳送帶乙后，受到乙的滑動(dòng)摩擦力作用.滑動(dòng)摩擦力的大小為F＝μmg，保持不變.

滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，所以，分析滑動(dòng)摩擦力的方向時(shí)，必須選擇傳送帶乙作為參考系.以下分析工件的受力情況時(shí)，以乙為參考系.

在圖2中建立如圖所示直角坐標(biāo)系，將F沿x和y方向分解，兩方向加速度的大小分別為

圖2

工件剛滑上乙時(shí)，取極短時(shí)間Δt.在Δt內(nèi)工件在x和y方向都做勻減速直線運(yùn)動(dòng).經(jīng)Δt時(shí)間，工件沿x和y方向的速度大小分別為

兩式相比得

上式表明，經(jīng)Δt時(shí)間后，相對(duì)速度v′的方向不變.以此類推，在此后的滑動(dòng)過程中v′的方向始終保持不變.由此可得出，工件在乙上滑動(dòng)的過程中，滑動(dòng)摩擦力F的方向也始終保持不變.

1.2 工件的運(yùn)動(dòng)分析

上述分析已經(jīng)得出，工件在乙上滑動(dòng)過程中，滑動(dòng)摩擦力的大小和方向始終保持不變.根據(jù)牛頓第二定律，此過程中工件加速度的大小和方向就保持不變，且加速度方向與初速度v′方向相反.所以，在乙的參考系中，工件做勻減速直線運(yùn)動(dòng).

綜合上述分析，以傳送帶乙作為參考系時(shí)，工件在乙上相對(duì)滑動(dòng)過程中，前文所提及的4個(gè)問題結(jié)論如下：

① 工件受到的摩擦力大小和方向均保持不變；

② 工件做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；

③ 工件側(cè)向滑動(dòng)時(shí)間與縱向滑動(dòng)時(shí)間相等，即工件停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)，恰好沿縱向也停止滑動(dòng)；

④ 工件相對(duì)于乙滑動(dòng)的軌跡是直線.上述結(jié)論與v1的大小無關(guān)，即傳送帶乙的速度v1的大小對(duì)工件運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)沒有影響.

在原題第（2）問中，因?yàn)楣ぜＶ箓?cè)向滑動(dòng)時(shí)，恰好沿縱向也停止滑動(dòng)，所以，此時(shí)工件的速度大小v就等于傳送帶乙的速度2v0.不管傳送帶的速度v1取何值，結(jié)論都一樣.

在原題第（3）問中，用Q＝μmgs相（其中s相是工件相對(duì)于乙的路程）計(jì)算一對(duì)滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做功產(chǎn)生熱量時(shí)，因?yàn)榇诉^程中工件相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，工件相對(duì)乙的路程就等于其相對(duì)位移的大小，所以才可以用相對(duì)位移的大小代替相對(duì)路程.

2 在傳送帶乙參考系中，工件相關(guān)物理量求解

2.1 工件的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

2.2 工件相關(guān)物理量求解

② 末速度v＝0.（在地面參考系中，此時(shí)工件與傳送帶乙具有相同的速度v1.）

④ 側(cè)向滑過的距離為

另外，在地面參考系中，用x表示工件的位移，y1表示傳送帶乙的位移，y表示工件的縱向位移，則x、y1和L的關(guān)系如圖3所示.此過程中y1和y的大小分別為

圖3

3 在地面參考系中，工件相關(guān)物理量求解

3.1 工件的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

在地面參考系中，傳送帶乙做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a牽＝0，根據(jù)a＝a相＋a牽，得a＝a相，則以地面為參考系時(shí)，工件在滑動(dòng)過程中，其加速度的大小與方向均保持不變.因此，在地面參考系中，工件做勻變速運(yùn)動(dòng).

如圖4所示，工件的初速度為v0，方向沿側(cè)向，加速度大小為a＝μg，方向與初速度v0間的夾角為π－α.工件加速度的方向與初速度的方向不在同一條直線上，所以，在地面參考系中，工件做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，即通常所說的斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線.

3.2 工件相關(guān)物理量求解

在圖4中沿側(cè)向和縱向建立如圖所示直角坐標(biāo)系，將F分解，x和y方向加速度大小分別為

① 滑動(dòng)時(shí)間

在原題第（2）問中，當(dāng)v1＝2v0時(shí)，工件的速度為v＝2v0.

③ 側(cè)向滑過的距離

④ 相對(duì)于乙的位移大小.傳送帶乙的位移大小

工件的縱向位移大小

相對(duì)于乙的位移大小

4 結(jié)束語

本題中，分析工件在乙上滑動(dòng)過程中受力和運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，選擇傳送帶乙作為參考系有著重要的意義.分析工件所受乙滑動(dòng)摩擦力的方向時(shí)，只能選擇乙作為參考系.工件在滑動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力的方向不變的結(jié)論，是在乙的參考系中分析得出的.得出工件相對(duì)于乙做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線的結(jié)論，也只有在乙的參考系中分析才較為方便.用變換參考系的方法，得出工件在地面參考系中運(yùn)動(dòng)的加速度不變的結(jié)論，也是建立在乙參考系分析結(jié)果的基礎(chǔ)上.

地面參考系和傳送帶乙參考系都是慣性參考系，在兩個(gè)參考系中，工件遵循相同的物理規(guī)律——牛頓運(yùn)動(dòng)定律，具有相同的運(yùn)動(dòng)形式——?jiǎng)蜃兯龠\(yùn)動(dòng).由于兩個(gè)參考系中初始條件的不同，工件具有不同的運(yùn)動(dòng)形式，在乙的參考系中工件做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在地面參考系中工件做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)（斜拋運(yùn)動(dòng)）.在求解工件滑動(dòng)過程中相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量時(shí)，可分別選擇地面或傳送帶乙作為參考系，運(yùn)用相同的物理規(guī)律與方法求解，所求出物理量的結(jié)果也是相同的.