陳源，李競(jìng)，黃濤，周明剛

(湖北工業(yè)大學(xué)湖北省汽車(chē)結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制工程技術(shù)研究中心，武漢430068)

層狀三元周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算

陳源，李競(jìng)，黃濤，周明剛

(湖北工業(yè)大學(xué)湖北省汽車(chē)結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制工程技術(shù)研究中心，武漢430068)

對(duì)于層狀三元周期結(jié)構(gòu)的帶隙分析和研究目前還屬空白?；诼曌泳w理論，將層狀三元周期結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一維聲子晶體結(jié)構(gòu)，并利用集中質(zhì)量法，分析了材料密度與材料阻尼比變化對(duì)第一帶隙的影響。研究表明，材料密度的改變對(duì)第一帶隙產(chǎn)生較大影響；材料阻尼比的變化對(duì)第一帶隙影響不明顯。研究結(jié)論為層狀三元結(jié)構(gòu)帶隙設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

振動(dòng)與波；聲子晶體；層狀三元周期結(jié)構(gòu)；第一帶隙

近年來(lái)，基于聲子晶體理論的人工編織周期性結(jié)構(gòu)的能帶特性研究越來(lái)越受到人們的關(guān)注。這是由于通過(guò)人工編織的周期性結(jié)構(gòu)，可使結(jié)構(gòu)具有對(duì)經(jīng)典波帶通和帶阻的特性。而如何利用周期結(jié)構(gòu)中的帶阻特性進(jìn)行減振降噪，也已成為眾多國(guó)內(nèi)外研究人員的研究方向。由此，探索影響聲子晶體帶隙特性的因素，也成了擺在科研人員面前的重大課題。早在上世紀(jì)80年代，Achenbach等[1,2]人分析了彈性波在具有球形空腔的周期介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。Sigalas與Eeonomou[3]第一次從理論上證實(shí)了將實(shí)心球形材料埋入某一基體材料中形成的周期性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)具有帶隙特性。隨后，眾多學(xué)者[4,5]針對(duì)二維二元聲子晶體結(jié)構(gòu)，對(duì)密度、彈性模量、聲阻抗與波速等材料參數(shù)與帶隙的影響關(guān)系進(jìn)行了研究。隨著對(duì)各向異性材料、粘彈性材料以及一些新型功能材料如壓電、壓磁材料和形狀記憶合金研究的深入，壓電系數(shù)、介電常數(shù)、粘彈性阻尼系數(shù)和松弛時(shí)間等成為需要考慮的材料參數(shù)。Han等[6]專(zhuān)門(mén)研究了二維壓電聲子晶體中彈性參數(shù)、壓電系數(shù)和介電常數(shù)對(duì)帶隙的影響。Wei等[7]研究了一維粘彈性聲子晶體，并給出了幾組不同粘彈性阻尼系數(shù)和松弛時(shí)間下得到的帶隙。Wu等[8]將功能梯度材料作為連接層應(yīng)用于一維層狀聲子晶體當(dāng)中，并討論了加入功能梯度材料與不加入功能梯度材料時(shí)，帶隙變化的情況。由此可見(jiàn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于聲子晶體的研究已經(jīng)有了很大的發(fā)展，但對(duì)于層狀周期結(jié)構(gòu)的帶隙分析還停留在二元結(jié)構(gòu)。本文將層狀三元周期結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一維聲子晶體結(jié)構(gòu)，利用集中質(zhì)量法，分析了密度與材料阻尼比變化對(duì)第一隙的影響。

1 層狀三元周期結(jié)構(gòu)理論建模與計(jì)算

1.1 理論建模

三種材料按ABC順序沿o x方向排列形成層狀三元周期結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 層狀三元周期結(jié)構(gòu)示意圖

若層狀結(jié)構(gòu)的非周期方向尺寸（層狀周期結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度與寬度）遠(yuǎn)大于周期方向尺寸（層狀周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)），則該結(jié)構(gòu)可視為一維聲子晶體結(jié)構(gòu)。同時(shí)，考慮有平面波在該結(jié)構(gòu)中沿o x方向傳播，并且平面波為縱波，此時(shí)，層狀周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況與周期性彈簧振子結(jié)構(gòu)類(lèi)似。因此，運(yùn)用集中質(zhì)量法，將層狀三元周期結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為周期性彈簧振子結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

若材料具有粘彈性，對(duì)應(yīng)的集中質(zhì)量模型當(dāng)中，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間處除了具有剛度kj以外，還具有阻尼系數(shù)cj，如圖3所示。

將一維聲子晶體結(jié)構(gòu)利用集中質(zhì)量法簡(jiǎn)化為周期性彈簧振子結(jié)構(gòu)后，應(yīng)用牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程。

圖2 層狀三元周期結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為多彈簧振子模型圖

圖3 含阻尼彈簧振子示意圖

式中mj表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，kj-1與kj分別表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)左右兩邊的彈簧剛度，cj-1與cj分別表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)左右兩邊的阻尼系數(shù)，xj-1、xj與xj+1分別第j-1個(gè)、第j個(gè)與第j+1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移，x¨j表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度。

第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為

式中ρj表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)單元的密度，dj表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)單元的長(zhǎng)度，S為層狀結(jié)構(gòu)的橫截面積。

連接第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第j+1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的彈簧剛度kj

由式（3）與（4）給出

其中式（3）表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第j+1個(gè)質(zhì)點(diǎn)同為材料A時(shí)的剛度計(jì)算，式（4）表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第j+1個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別為材料A與材料B時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)之間的剛度計(jì)算。

而阻尼系數(shù)cj與材料的阻尼比ζj有關(guān)

根據(jù)Block定理，在周期邊界條件下，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的解可以設(shè)為振幅為Aj，角頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

將（6）代入動(dòng)力學(xué)微分方程組（1）化簡(jiǎn)得到一般的線性方程

觀察方程（7）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在j=0或n時(shí)，會(huì)使用到前一個(gè)周期和后一個(gè)周期中的參數(shù)，此時(shí)，需加入周期性邊界條件

將周期性邊界條件（8）代入線性方程（7），并用矩陣形式表示該線性方程組

可以發(fā)現(xiàn)，該振動(dòng)特性方程組（9）中同時(shí)含有i ω和ω2項(xiàng)，不是標(biāo)準(zhǔn)的特征值方程，因而不能夠直接求得其能帶結(jié)構(gòu)，需要進(jìn)一步對(duì)方程經(jīng)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理。

令λ=i ω則

將（10）與（11）代入矩陣方程（9）并化簡(jiǎn)得

聯(lián)立方程組（11）（12），可得

1.2 層狀三元周期結(jié)構(gòu)算例

眾所周知，若結(jié)構(gòu)具有周期性，則該結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)彈性波帶隙。層狀三元周期結(jié)構(gòu)是以三層材料作為一個(gè)原胞而形成的周期結(jié)構(gòu)，因此這種結(jié)構(gòu)必然存在著彈性波帶隙。下面是一個(gè)層狀三元周期結(jié)構(gòu)的算例，每個(gè)原胞內(nèi)的三層材料依次為：硅橡膠、鉛、鎢。材料具體參數(shù)如表一所示。

通過(guò)材料的彈性模量與泊松比，可以求得材料的拉梅常數(shù)。將參數(shù)帶入到前文中的理論模型中，便可得到該結(jié)構(gòu)的能帶曲線。

從圖4中，可以看出有阻尼的層狀三元周期結(jié)構(gòu)中的第一帶隙，頻率上限與下限分別為817 Hz與6 261 Hz，如果彈性波的頻率屬于這個(gè)區(qū)間，則彈性波將不會(huì)在該結(jié)構(gòu)中傳播。

圖4 有阻尼層狀三元周期結(jié)構(gòu)能帶圖

2 結(jié)果與分析

針對(duì)層狀三元周期結(jié)構(gòu)的能帶算法在前文中已經(jīng)給出。本節(jié)主要研究由三種材料構(gòu)成的層狀三元周期結(jié)構(gòu)，即ABC結(jié)構(gòu)。討論每層材料的密度和阻尼比變化對(duì)第一帶隙的影響。

2.1 密度變化對(duì)帶隙的影響

根據(jù)前文中所提供的算法，研究在ABC結(jié)構(gòu)中，材料密度變化對(duì)第一帶隙的影響，不計(jì)阻尼，計(jì)算所用材料參數(shù)如表一所示。

圖5中（a）、（b）、（c）分別表示ABC結(jié)構(gòu)中，三種材料密度變化對(duì)第一帶隙關(guān)系。從圖5（a）中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料A的密度增大時(shí)，第一帶隙的上限頻率向低頻方向移動(dòng)，下限頻率基本保持不變，帶隙寬度減小。從圖5（b）（c）中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料B與材料C的密度增大時(shí)，第一帶隙的上限頻率基本保持不變，而下限頻率略微向低頻方向移動(dòng)，帶隙寬度增大。

表1 材料參數(shù)

2.2 阻尼比變化對(duì)帶隙的影響

圖6為ABC中材料A的阻尼系數(shù)對(duì)第一帶隙的影響，計(jì)算所用材料參數(shù)如表1所示。當(dāng)材料A的阻尼比由0增大到0.5時(shí)，第一帶隙的上下限頻率基本保持不變?？梢?jiàn)，若將材料的粘彈性單純由阻尼比來(lái)表示，則對(duì)帶隙基本沒(méi)有影響。

圖5 ABC中密度變化對(duì)第一帶隙的影響圖

圖6 ABC中材料A的阻尼系數(shù)對(duì)第一帶隙的影響圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)一維集中質(zhì)量法進(jìn)行了一定的改進(jìn)，使該算法能夠?qū)⒉牧系淖枘崽匦钥紤]在內(nèi)。其次，利用改進(jìn)后的算法對(duì)層狀三元周期結(jié)構(gòu)中每層材料密度的改變與較軟材料阻尼比的改變對(duì)第一帶隙的影響進(jìn)行了討論，并得到如下結(jié)論：

（1）對(duì)于較輕較軟的材料，增加其密度，會(huì)使第一帶隙的上限頻率下降，帶隙寬度減??；而對(duì)于較重較硬的材料，增加其密度，會(huì)使第一帶隙的下限頻率下降，帶隙寬度增大；

（2）若將材料的粘彈性視為阻尼比，則阻尼比的變化對(duì)第一帶隙基本沒(méi)有影響。

致謝

感謝中國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目——人工編織周期性結(jié)構(gòu)低頻帶隙機(jī)理的研究（No.50975081）和中國(guó)湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目——周期性板殼工程結(jié)構(gòu)的低頻帶隙機(jī)理研究（No.2011CDB085）對(duì)本文的支持。

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Analysis of the Band Gap of a Layered Triple Periodic Structure

CHEN Yuan,LI Jing,HUANG Tao,ZHOU M ing-gang

(Research Center of Noise&Vibration Control forAutomotive Structural Engineering of Hubei, Hubei University of Technology,Wuhan 430068,China)

Currently,researches of band gap analysis are mainly focused on layered binary periodic structure.In this paper,band-gap of the layered triple periodic structure is studied.First of all,this structure is simplified to a one-dimensional phononic crystal structure based on phononic crystal theory.Then,the effect of density and damping ratio of the material on the first band gap is analyzed using lumped-mass method.The results indicate that the effect of the density of material on the first band gap is considerable,while the effect of damping ratio of material is insignificant.This conclusion may provide a theoretical basis for band gap design of layered triple periodic structure.

vibration and wave;phononic crystal;layered triple periodic structure;the first band-gap

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.005

1006-1355(2014)01-0019-04

2013-02-27

國(guó)家自然科學(xué)資助項(xiàng)目（基金編號(hào)：50975081）；湖北省自然科學(xué)資助項(xiàng)目（基金編號(hào)：2011CDB085）

陳源（1971-），男，博士，目前從事振動(dòng)與噪聲控制研究。

E-mail:cy17220@163.com