盧丁丁，何琳，徐榮武

（1.海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢430033；2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430033）

虛擬力計(jì)算方法的實(shí)驗(yàn)分析

盧丁丁1,2，何琳1,2，徐榮武1,2

（1.海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢430033；2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430033）

在船舶振動(dòng)傳遞路徑分析和結(jié)構(gòu)響應(yīng)監(jiān)測(cè)的研究中，往往需要實(shí)時(shí)了解設(shè)備的激勵(lì)力特性。由于已安裝在船體中設(shè)備及安裝結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，實(shí)時(shí)測(cè)量方法的實(shí)施變得非常困難。在結(jié)構(gòu)響應(yīng)和設(shè)備激勵(lì)力存在固有聯(lián)系的基礎(chǔ)上，可以利用與真實(shí)激勵(lì)力等效的虛擬力，重構(gòu)出與設(shè)備運(yùn)行時(shí)一致的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。為解決虛擬力求解過(guò)程中存在的導(dǎo)納矩陣病態(tài)問(wèn)題，在前人虛擬力模型的基礎(chǔ)上引入分部?jī)?yōu)化正則化方法。通過(guò)船舶水泵驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，經(jīng)過(guò)正則化處理后的虛擬力能夠有效降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)的重構(gòu)誤差。

振動(dòng)與波；虛擬力；分部?jī)?yōu)化正則化；病態(tài)問(wèn)題；實(shí)驗(yàn)

機(jī)械設(shè)備噪聲是船舶噪聲的主要噪聲源之一，由此帶來(lái)的振動(dòng)傳遞路徑分析以及結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)報(bào)和監(jiān)測(cè)的問(wèn)題一直以來(lái)都是該領(lǐng)域的重要關(guān)注點(diǎn)。在以上兩個(gè)問(wèn)題中，很多情況下需要實(shí)時(shí)了解已安裝設(shè)備振動(dòng)的源特性，或者設(shè)備激勵(lì)力特性。但由于已安裝設(shè)備自身及安裝結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，通過(guò)測(cè)量的方法實(shí)時(shí)獲取設(shè)備激勵(lì)力特性變得非常困難。

為解決設(shè)備激勵(lì)源特性的評(píng)估問(wèn)題，Janssens和Verheij提出了[1―5]間接求解設(shè)備激勵(lì)特性的方法，并給出了虛擬力的概念：假設(shè)一組施加于機(jī)械設(shè)備結(jié)構(gòu)上的力，若這組力所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與設(shè)備運(yùn)行時(shí)相同，那么這組力就可以等效為設(shè)備真實(shí)激勵(lì)力，由于這組力并不是真實(shí)存在的，所以稱(chēng)之為虛擬力。虛擬力的求解過(guò)程是響應(yīng)求激勵(lì)的逆問(wèn)題，在很多工程應(yīng)用中都有所涉及。在Verheij提出的虛擬力計(jì)算模型的基礎(chǔ)上，文中結(jié)合分部?jī)?yōu)化正則化法解決虛擬力求解過(guò)程中的病態(tài)矩陣問(wèn)題，減小由于測(cè)量誤差和導(dǎo)納矩陣病態(tài)所導(dǎo)致的虛擬力計(jì)算誤差。本文以安裝在船舶上的水泵為模型，對(duì)文中的計(jì)算模型進(jìn)行了結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)精度的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 虛擬力計(jì)算及正則化方法

1.1 虛擬力的計(jì)算

目前還不能通過(guò)虛擬力的計(jì)算結(jié)果解釋設(shè)備真實(shí)激勵(lì)的機(jī)理，它的主要作用在于能夠同真實(shí)激勵(lì)產(chǎn)生同樣的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而為結(jié)構(gòu)或聲場(chǎng)響應(yīng)計(jì)算提供能夠代替真實(shí)激勵(lì)力的輸入。虛擬力求解是結(jié)合結(jié)構(gòu)響應(yīng)和導(dǎo)納矩陣的逆向求解過(guò)程，其中導(dǎo)納矩陣可以通過(guò)在虛擬力點(diǎn)處施加力錘激勵(lì)，在結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)處測(cè)量加速度并計(jì)算獲得的。虛擬力點(diǎn)一般選取在結(jié)構(gòu)表面或連接結(jié)構(gòu)上易于施加力錘激勵(lì)且剛性較大的位置。結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)一般選取在設(shè)備機(jī)腳處、管路等傳遞結(jié)構(gòu)上，且要求結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)數(shù)量大于虛擬力點(diǎn)數(shù)量。

導(dǎo)納矩陣可通過(guò)力錘敲擊實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)量，導(dǎo)納矩陣可表示為

其中{a}為結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)加速度，{F}為力錘激勵(lì)力。

假設(shè)有n個(gè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)和m個(gè)虛擬力點(diǎn)，且n≥m，則n×m維導(dǎo)納矩陣[ A]可作奇異值分解1虛擬力的計(jì)算

其中m個(gè)特征值存在順序關(guān)系s1≥s2≥…≥sm.。當(dāng)[A]的秩數(shù)為r時(shí)，[ S]矩陣的后m-r個(gè)奇異值為0。為了求解虛擬力，需求解導(dǎo)納矩陣[ A]的逆矩陣，即阻抗矩陣

其中，[S]+同樣為正實(shí)數(shù)組成的m×m維對(duì)角矩陣，對(duì)角元素為[S]中為0的對(duì)角元素在[S]+中仍保持為0，[ S]中奇異值的倒數(shù)，但[ S]+可表示為

由此[A]+矩陣元素可表示為如下形式

在阻抗矩陣[ A]+計(jì)算完畢后，以結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)的加速度實(shí)時(shí)測(cè)量值{a}運(yùn)行作為輸入值，計(jì)算實(shí)時(shí)虛擬力

1.2 分部?jī)?yōu)化正則化方法

當(dāng)某頻段處的結(jié)構(gòu)響應(yīng)由一個(gè)或幾個(gè)主要模態(tài)振型占支配地位時(shí)，導(dǎo)納矩陣的列向量存在較大的線性相關(guān)性[7]，此時(shí)[ A]為奇異、不滿秩的，在按公式（2）進(jìn)行奇異值分解后將出現(xiàn)零奇異值。在實(shí)際應(yīng)用中，由于測(cè)量誤差的存在以及[ A]的列向量沒(méi)有絕對(duì)線性相關(guān)，奇異值不會(huì)等于零，而是非常接近于零的值。這些較小的奇異值將在求逆時(shí)通過(guò)倒數(shù)運(yùn)算變?yōu)楹艽蟮臄?shù)值，將此后計(jì)算中的測(cè)量誤差放大，就會(huì)影響計(jì)算精度。所以在求解[ A]+時(shí)需要進(jìn)行正則化方法處理矩陣的病態(tài)問(wèn)題，常用的方法有截?cái)嗥娈愔捣╗7]和Tikhonov正則法[8]。有學(xué)者在聲全息技術(shù)中提出了將兩種方法相結(jié)合的分部?jī)?yōu)化正則法[9]，此方法既能夠抑制高空間頻率測(cè)量誤差被放大的影響，又不至于完全失去高空間頻率的振動(dòng)信息，同時(shí)不會(huì)對(duì)低空間頻率準(zhǔn)確信息產(chǎn)生影響。本文將分部?jī)?yōu)化正則法引入同樣存在病態(tài)矩陣問(wèn)題的虛擬力求解中，以期解決虛擬力計(jì)算的精度問(wèn)題。

在分部?jī)?yōu)化正則化法中，首先利用截?cái)嗥娈愔捣ńY(jié)合如下經(jīng)驗(yàn)公式選取奇異值截?cái)帱c(diǎn)

SNR為導(dǎo)納矩陣測(cè)量中每個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的信噪比。對(duì)于截?cái)嗥娈愔礙以后的奇異值采用Tikhonov正則法進(jìn)行修正，修正參數(shù)λ可直接選取為截?cái)帱c(diǎn)之前的奇異值sk。最終分部?jī)?yōu)化正則法的解為

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)方法及測(cè)點(diǎn)布置

為驗(yàn)證文中方法的計(jì)算精度，本文以在船舶中安裝的水泵為對(duì)象，開(kāi)展激勵(lì)力評(píng)估和結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)的實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)中水泵通過(guò)隔振器彈性安裝在船體的側(cè)壁上，水泵高約1 m。在水泵機(jī)腳和機(jī)身處布置7個(gè)單向加速度計(jì)，測(cè)點(diǎn)布置方案如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試設(shè)備包括加速度傳感器、力錘、力傳感器和B&K采集設(shè)備。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，首先在設(shè)備關(guān)閉的狀態(tài)下，在圖1所示的5個(gè)箭頭所指點(diǎn)及所指方向上依次施加力錘激勵(lì)，同時(shí)記錄力錘激勵(lì)力和響應(yīng)點(diǎn)加速度。經(jīng)過(guò)信號(hào)質(zhì)量的篩選后，利用公式（1）計(jì)算出7×5維加速度導(dǎo)納矩陣A，利用公式（6）計(jì)算阻抗矩陣A+，并利用公式（7）和（8）對(duì)阻抗矩陣進(jìn)行正則化處理。

為了驗(yàn)證計(jì)算的虛擬力能否與真實(shí)激勵(lì)力等效，可通過(guò)公式（9）計(jì)算虛擬力所產(chǎn)生的加速度響應(yīng)，并與水泵開(kāi)啟狀態(tài)下所測(cè)量的加速度響應(yīng)作比較。

圖1 水泵的測(cè)點(diǎn)布置

本次實(shí)驗(yàn)分析頻率設(shè)定為100～800 Hz，實(shí)驗(yàn)利用1—7#響應(yīng)點(diǎn)加速度求取虛擬力，以重構(gòu)出1—7#響應(yīng)點(diǎn)的加速度并與測(cè)量值相比較。不失一般地給出1—4#測(cè)點(diǎn)響應(yīng)重構(gòu)對(duì)比結(jié)果如圖2—圖5所示。

圖2 1#測(cè)點(diǎn)1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對(duì)比圖

圖3 2#測(cè)點(diǎn)1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對(duì)比圖

利用下式可對(duì)1/3倍頻程加速度幅值譜重構(gòu)誤差進(jìn)行量化評(píng)估

其中ai和分別為第i個(gè)中心頻率處的測(cè)量值和重構(gòu)值，K為倍頻程段的個(gè)數(shù)，文中1/3倍頻程中心頻率為100～800 Hz， K=10，1/3倍頻程加速度幅值譜重構(gòu)誤差結(jié)果如表1所示。

由圖2—5及表1中可以看出，不進(jìn)行正則化時(shí)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)重構(gòu)值普遍比真實(shí)值大，這是由于測(cè)量誤差在導(dǎo)納矩陣病態(tài)的情況下被放大所造成的。除了2#和5#測(cè)點(diǎn)在部分頻段出現(xiàn)偏差外，經(jīng)過(guò)分部?jī)?yōu)化正則化處理后的虛擬力可以在各測(cè)點(diǎn)的全頻段內(nèi)減小重構(gòu)誤差，有效地消除了虛擬力計(jì)算中的病態(tài)矩陣求逆的誤差問(wèn)題。經(jīng)過(guò)分部?jī)?yōu)化正則化后，結(jié)構(gòu)響應(yīng)場(chǎng)的倍頻程平均誤差降低了約2 dB。

圖4 3#測(cè)點(diǎn)1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對(duì)比圖

圖5 4#測(cè)點(diǎn)1/3倍頻程幅值譜重構(gòu)對(duì)比圖

表1 不同測(cè)點(diǎn)1/3倍頻程幅值譜的重構(gòu)誤差

3 結(jié)語(yǔ)

在傳統(tǒng)的設(shè)備虛擬力估算方法基礎(chǔ)上，為解決導(dǎo)納矩陣的病態(tài)問(wèn)題，引入了聲全息領(lǐng)域應(yīng)用的分部?jī)?yōu)化正則化法。通過(guò)船舶水泵驗(yàn)證試驗(yàn)可以看出，結(jié)合分部?jī)?yōu)化正則化法計(jì)算出的虛擬力，可以更準(zhǔn)確地重構(gòu)出設(shè)備的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，誤差比未進(jìn)行正則化的結(jié)果平均低約2 dB，從而為結(jié)構(gòu)響應(yīng)及傳遞路徑分析提供更加準(zhǔn)確的輸入?yún)?shù)。

[1]Verheij J W,Janssens M H A,Charlier P J G.Using pseudo-forces for characterization of structure-borne sound sources[C].Proceedings Inter Noise 95,Newport Beach,CA,USA,1995,559-562.

[2]Janssens M H A,Verheij J W.A pseudo-forces methodology to be used in characterization of structureborne sound sources[J].Applied Acoustics,2000(61):285-308.

[3]Janssens M H A,Verheij J W,Loyau T.Experimental example of the pseudo-forces method used in characterization of a structure-borne sound source[J].Applied Acoustics,2002(63):9-34.

[4]Janssens M H A,Verheij J W.The use of an equivalent forces method for the experimental quantification of structural sound transm ission in ships[J].Journal of sound and Vibration,1999,26(2):305-328.

[5]Verheij J W.Inverse and reciprocity methods for machinery noise source characterization and sound path quantification Part 1:Sources[J].Journal of Sound and Vibration,1997,2(3):103.

[6]原春暉，郎波.奇異值分解在設(shè)備振動(dòng)激勵(lì)力估算中的應(yīng)用[J].中國(guó)艦船研究，2007，2(2)：15-30.

[7]Bai M R,Application of BEM(boundary element method) based acoustic holography to radiation analysis[J].J Acoustic.Soc.Am.,1992,92(2):533-549.

[8]Tikhonov A N.Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method[J].Soviet Math Dokl,1963,4:1035-1038.

[9]賀春東，張永斌，畢傳興，陳心昭，許斌.分部?jī)?yōu)化正則化在近場(chǎng)聲全息技術(shù)中的應(yīng)用[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26(4)：419-426.

ExperimentalAnalysis of Virtual-force Computation Method

LU Ding-ding1,2,HE Lin1,2,XU Rong-wu1,2

(1.Institute of Noise&Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China；2.National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise,Wuhan 430033,China)

In the analysis of ship vibration-transfer path and monitoring of structure response,the characteristics of equipment’s excitation-force are always necessary.Due to the inherent complexity of the equipment and its infrastructure, the real-time measurement becomes very difficult.On the basis of the inherent relation between structural response and exciting force,the real exciting forces can be replaced by virtual-forces,which can exactly reproduce the structural response caused by the equipment operation.In this paper a regularization technique based on partial optimization is introduced into the virtual-force model to solve the ill-condition problem of the adm ittance matrix in the process for solution.An experiment is carried out on a pump of the ship.The results show that the errors of the structural response reconstruction with the partial regularization method are effectively reduced.

vibration and wave;virtual-force;partial optim ization regularization;ill-condition problem;experiment

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.004

1006-1355(2014)01-0016-03

2013-01-31

國(guó)家自然科學(xué)基金（51209214）；國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金（SYSZC2012006）

盧丁?。?986-），男，河南濮陽(yáng)人，工學(xué)博士，研究方向?yàn)檎駝?dòng)與噪聲控制。

E-mail:lddhgd@163.com