王彬，林靜

摘要：數(shù)學的統(tǒng)一性是指部分與部分、部分與整體間的互相貫通、相互轉(zhuǎn)化與一致性。認識數(shù)學的統(tǒng)一性，可促進對《概率論》中的概念、定理的理解，提高學習能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學統(tǒng)一性；概率論；教學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）24-0075-02

數(shù)學是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門科學。據(jù)統(tǒng)計，至今為止數(shù)學已經(jīng)有將近100多個高深廣博的分支。其中，概率論是研究隨機性或不確定性等現(xiàn)象的一個數(shù)學分支?！陡怕收摗坊颉陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》是大學課堂教學中必修的一門課程。對于大部分已習慣于學習確定性數(shù)學內(nèi)容的學生來說，概率論中相關(guān)概念或定義等內(nèi)容感到難以理解。尤其是隨著高等教育的普及或因為部分學校功利主義傾向影響，一些院系在課時安排上盡可能壓縮《高等數(shù)學》等數(shù)學基礎(chǔ)理論課程，忽視其在學生思維能力訓練方面的重要作用，進一步造成了學生理解與分析能力的欠缺。本文利用數(shù)學的統(tǒng)一性的原理，對概率論中的某些概念、定理的理解作一些粗淺的探討，以利于學生更好地掌握并應(yīng)用概率思想。辯證唯物主義認為物質(zhì)和意識是對立的統(tǒng)一，它們統(tǒng)一于物質(zhì)之中；物質(zhì)和意識的對立產(chǎn)生于實踐，它們的統(tǒng)一又在實踐中實現(xiàn)。數(shù)學的統(tǒng)一性是指部分與部分、部分與整體間的互相貫通、相互轉(zhuǎn)化與和諧一致性。數(shù)學的發(fā)展過程以及內(nèi)容都貫穿著辯證法，因此，數(shù)學的統(tǒng)一性不僅僅表現(xiàn)在統(tǒng)一的數(shù)學符號和共同的數(shù)學語言，更表現(xiàn)在其中各個分支固有的內(nèi)在的聯(lián)系以及各個分支相互滲透和相互結(jié)合的趨勢。本文以概率論中的概率空間、隨機變量、數(shù)學期望、概率密度函數(shù)以及分布函數(shù)中所蘊含的數(shù)學統(tǒng)一性進行闡述，揭示數(shù)學的統(tǒng)一性思想對概率論的理解所產(chǎn)生的作用。

一、相關(guān)概念數(shù)學統(tǒng)一性分析

1.概率空間中的數(shù)學統(tǒng)一性。數(shù)學概念的發(fā)展是遵循認識規(guī)律的，是由簡單至復(fù)雜、由特殊到一般，有序地達到較高的抽象水平。簡而言之，概念統(tǒng)一性是通過邏輯推演擴大概念的性質(zhì)結(jié)構(gòu)后與原來概念之間的一致性。概率論教學過程中，充分利用數(shù)學概念的統(tǒng)一性以及數(shù)學分析中實數(shù)域上映射概念，便于學生對于初次接觸的概率空間的理解。實際上，我們先復(fù)習一下實數(shù)域上的映射概念以及容易理解的古典概率模型后，指出在古典概率模型中，所有可能的結(jié)果看成一個集合？贅，此集合上定義的概率是？贅→[0，1]的一個映射。根據(jù)認識規(guī)律，自然地，可將古典概率中的？贅可以是任一個非空集合，即為我們所說的樣本空間；而σ-域F是這個集合的一些子集的集合（滿足一定條件）；概率P實際上是？贅→[0，1]的一個映射，即將σ-域F的某個子集A（稱之為事件）對應(yīng)于一個[0，1]上的數(shù)，記這個數(shù)為P（A）。由此可看出，概率空間本質(zhì)上就是數(shù)學分析所學習的某一集合與其上所定義的一種映射所構(gòu)成的有序?qū)Α?/p>

2.隨機變量中的數(shù)學統(tǒng)一性。隨機變量的定義以及如何從離散型隨機變量過度到連續(xù)型隨機變量是學習概率論過程中難以理解的一個知識點。在講解隨機變量的定義時，注意其和普通變量、普通函數(shù)之間的聯(lián)系，注意它們之間的統(tǒng)一性與差異性有助于學生對其理解。此外，指出離散隨機變量定義在具有有限或可列個元素的某一集合上；連續(xù)型隨機變量是定義在不可數(shù)的樣本空間上。通過對比離散函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的統(tǒng)一性與差異性以及離散函數(shù)如何過度到連續(xù)函數(shù)（特別是連續(xù)函數(shù)作圖），讓學生對其有初步理解，然后結(jié)合定積分的定義（求和取極限）給出連續(xù)函數(shù)初步定義，最后導出其嚴格定義。事實上，離散與連續(xù)是矛盾的兩個方面，也是相對和絕對的統(tǒng)一，它們也具有統(tǒng)一性的一面。在現(xiàn)實中，我們有時將連續(xù)問題離散化處理，有時又將離散問題連續(xù)化分析。充分利用離散與連續(xù)這對矛盾是現(xiàn)代數(shù)學的主要矛盾之一，具體地深入地研究這對矛盾在概率論教學中的表現(xiàn)，將有助于學生對相關(guān)概念的理解。正如著名數(shù)學家Lovasz所說，離散數(shù)學與連續(xù)數(shù)學的結(jié)構(gòu)和方法確實差別很大，但是從更深層次來說，離散與連續(xù)是一個事物的兩面。

3.數(shù)學期望中的數(shù)學統(tǒng)一性。在講解數(shù)學期望的時候，將數(shù)學分析中的數(shù)列求和以及定積分與之聯(lián)系起來，有助于理解為何在定義離散隨機變量的數(shù)學期望要求絕對收斂以及連續(xù)隨機變量要絕對可積。此外，特別向?qū)W生闡明連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望中所蘊含的數(shù)學思想與定積分則有著驚人的統(tǒng)一：“以直代曲”。從方法論角度來看，它們之間在方法上更是驚人的一致：分割、求和、取極限。由此讓學生明白，以后的很多概率論問題均可利用定積分中的分部積分、換元積分、變上限的積分等內(nèi)容來解決。這體現(xiàn)了數(shù)學分析與概率論這兩個不同領(lǐng)域在某種方面的相互轉(zhuǎn)化以及和諧一致性，它們之間具有統(tǒng)一性。

4.概率密度函數(shù)與分布函數(shù)的數(shù)學統(tǒng)一性。連續(xù)性隨機變量分布函數(shù)與概率密度函數(shù)是學生經(jīng)常容易混淆的一個知識點。特別是概率密度函數(shù)這個概念，學生一般不好理解。此時，利用物理中體積、密度與質(zhì)量之間的關(guān)系啟發(fā)學生思考概率與概率密度之間的關(guān)系。事實上，如果將某一區(qū)間上的概率看成“物體的質(zhì)量”，其長度看作“物體的體積”，兩者之比值正好是“物體的密度”。因此概率密度函數(shù)在某點值的大小反映了隨機變量落在該點附近概率的大小，而連續(xù)型隨機變量落在某區(qū)間上的概率可轉(zhuǎn)化為其密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分，完全轉(zhuǎn)化為已學過的數(shù)學分析中的定積分問題。此時，學生會恍然大悟，數(shù)學來源于物理，一些物理背景知識常常有助于理解數(shù)學概念，它們之間是和諧統(tǒng)一的。

二、啟示

20世紀最偉大的數(shù)學家戴維·希爾伯特曾說：數(shù)學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是各個部分之間的聯(lián)系。數(shù)學的發(fā)展必然是逐步統(tǒng)一的過程。因此，作為數(shù)學教師，如果沒有站在數(shù)學統(tǒng)一性高度去教授數(shù)學，呈現(xiàn)的必然只是一堆枯燥無味的數(shù)字、字母以及呆板的“定理—引理—證明”之步驟。因此，在概率論教學乃至其他數(shù)學教學中，教師應(yīng)該正確處理好教學內(nèi)容與其他知識點的統(tǒng)一性，闡明其中蘊含的辯證關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化，注重其中對立統(tǒng)一性的討論與分析。將統(tǒng)一性思想具體融入到數(shù)學課堂教學中，這不僅能提高學習能力，促進學生對概率論以及數(shù)學知識的理解，提高學生知識點的融會貫通能力，而且在傳授知識的同時，對學生進行馬克思主義哲學思想的教育，使教書與育人結(jié)合起來，對培養(yǎng)辯證思維能力有著重要的作用。

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基金項目：本研究受桂林理工大學博士基金以及賀州學院2012年度院級科研項目“教育資源分配視角下城鄉(xiāng)義務(wù)教育均等化研究（項目編號：2012SKKY22）”資助。

作者簡介：王彬（1980-），湖南邵陽人，博士研究生，研究方向：概率論。endprint