馮建梅

摘 要：主要在介紹數(shù)學“再創(chuàng)造”的基礎上，通過具體舉例來體會如何在數(shù)學課堂上有效指導學生進行“再創(chuàng)造”，不斷提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：數(shù)學課堂；再創(chuàng)造；理論依據；必要性；策略

在多年的數(shù)學教學工作中，發(fā)現(xiàn)學生學習數(shù)學的過程中普遍存在著這樣的一些現(xiàn)象，對大部分學生而言，他們學習數(shù)學的方法仍然習慣于上課不停地做筆記，到做作業(yè)時，同筆記上的內容進行對照，這樣就形成了一種循環(huán)。老師上課講得越多、覆蓋面越廣，則學生會的就越多，但是一旦脫離了教師，遇上一些富有拓展性或是研究性的問題就顯得力不從心、無從下手，這一現(xiàn)象體現(xiàn)了學生在系統(tǒng)知識的理解運用能力上還是比較欠缺。因此如何從這樣的一種現(xiàn)狀中擺脫出來，值得我們深思。它需要我們師生共同努力，而在教學中逐步滲透“再創(chuàng)造”的教學法則是一種較為合理的方式。

一、數(shù)學“再創(chuàng)造”教學的理論依據

數(shù)學“再創(chuàng)造”是由世界著名教學教育權威弗賴登塔爾提出的，他認為：

1.數(shù)學是最容易創(chuàng)造的一種學科，它實質上是人們常識的系統(tǒng)化，教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學生，而應該創(chuàng)造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學生在實踐的過程中，自己去發(fā)現(xiàn)或是“再創(chuàng)造”出各種法則和各種定律。

2.歷史上很多數(shù)學原理是在世界各個地方獨立發(fā)現(xiàn)的，數(shù)學發(fā)展的歷史進程是如此，個人學習數(shù)學的進程也是如此，每個人都應該在學習數(shù)學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關的數(shù)學知識。

3.每個人有不同的“數(shù)學現(xiàn)實”，因而可達到不同的水平。教師應當針對各個學生數(shù)學現(xiàn)實和思維水平的不同，通過適當?shù)膯l(fā)，引導學生加強反思，使學生的創(chuàng)造活動由不自覺的狀態(tài)發(fā)展為有意識的活動。

4.“再創(chuàng)造”應當貫穿于數(shù)學教育的全過程。數(shù)學教育的整個過程學生都應該積極參與，教師的任務就是為學生提供廣闊的天地，讓各種不同的思維、不同的方法自由發(fā)展，這樣在數(shù)學“再創(chuàng)造”的過程中，可以讓學生發(fā)現(xiàn)自己的潛力與標準，在教師一定的指導下，抓住機會去鉆研、去探索通向這個標準的道路，從而達到他們力所能及的高度與深度。

另外，從教育學、心理學的角度來看，在數(shù)學教學中實施“再創(chuàng)造”還有以下幾點好處：

1.學生通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，便于知識的遷移、能力的發(fā)展，一般來說，還可以保持較長久的記憶。

2.“再創(chuàng)造”包含了發(fā)現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進行學習能引起學生的興趣，并激發(fā)學生深入探索研究的學習動力。

3.“再創(chuàng)造”方式，可以進一步促使人們借助自身的體驗形成這樣的觀念：數(shù)學是一種人類的活動，數(shù)學教學也是一種人類的活動。

二、教學中要對學生進行有指導的“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認為：“學一個活動的最好方法是實踐?！边@一提法的目的是強調教學的重點從教轉向學，從教師的行為轉向學生的活動。

在“再創(chuàng)造”的過程中，對于學生各種獨特的解法，要讓他們充分發(fā)展，充分享有“再創(chuàng)造”的自由，同時教師要在適當?shù)臅r機引導學生加強反思，鞏固已經獲得的知識，以提高學生的思維水平，尤其必須有意識地啟發(fā)，使學生的“創(chuàng)造”活動逐步由不自覺或無目的的狀態(tài)，進而發(fā)展成為有意識、有目的的創(chuàng)造活動，以便盡量促使每個人所能達到的水平盡可能地提高，這也正是有指導的“再創(chuàng)造”的真正含義所在。因為有指導的“再創(chuàng)造”意味著在創(chuàng)造的自由性和指導的約束性之間以及在學生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，達到一種微妙的平衡。

在講解選修1-2類比推理時，類比圓的概念和性質，推理球的概念和性質時，很多學生不知從何下手，很是困惑。此時，我問學生：“大家想想，由圓形怎樣得到球體呢？”學生異口同聲地說：“圍繞圓的直徑旋轉一周可以得到?！蔽矣终f：“那么，圓的這些性質隨著圓的旋轉成為球的什么性質呢？”這一下子激活了學生的思維，有的還拿著圓在不停地旋轉、體會，很快學生類比得到了球的概念和性質。這樣的有指導的“再創(chuàng)造”教學，不僅讓學生再創(chuàng)造了知識，還讓學生體會到遇到問題要尋找事物之間的內在聯(lián)系，同時教師也較好地完成了教學任務。

三、如何有效地對學生指導“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認為，“再創(chuàng)造”教學就是讓學生“參與到一種活動中去”。在這整個活動過程中，在教師的有效引導下，學生以積極、創(chuàng)造的狀態(tài)參與這個活動，感覺到創(chuàng)造的需要，然后進行“再創(chuàng)造”。在這個過程中，教師怎樣有效地指導學生呢？

1.從學生的“數(shù)學現(xiàn)實”出發(fā)，選擇適當契機提出問題，促進學生橫向與縱向的數(shù)學“再創(chuàng)造”。

在一般的課堂里，教師通常有預先設計好的教學計劃，這樣在實施教學的過程中，教師可以憑直覺和經驗利用班級平時表現(xiàn)的情境，自由地掌握這種情境，使之適合于“再創(chuàng)造”教學。

如，在教學必修五圓錐曲線中的拋物線時，有的學生提出，拋物線的開口由什么決定呢？橢圓的圓扁、雙曲線開口的寬窄都是由離心率決定的，拋物線開口的寬窄也是由離心率決定的嗎？很快很多學生就否定了，因為根據拋物線的定義可知所有的拋物線離心率都是1，那是由什么決定的呢？學生陷入沉思中，此時我提示學生，初中我們就學習過拋物線的有關知識，是由什么決定拋物線開口呢？很快就有很多學生受到啟發(fā)，說是由2p（p>0）決定的，2p越大，■越小，開口越大，反之，2p越小，■越大，開口越窄。此時，學生露出了會心的笑容。

2.教師要及時地肯定和鼓勵學生自己的成果。這顯然是“再創(chuàng)造”學習方式中的一條基本原則。教師是否肯定并鼓勵學生自己的成果，是反映教師對“再創(chuàng)造”原理的認識、理解程度的試金石，也是能否真正貫徹“再創(chuàng)造”原理的試金石。在承認和鼓勵學生自己成果的同時，教師明顯地從傳統(tǒng)的“傳授”地位上退隱下來，從而更有力地鼓舞了學生的主動參與性。

已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值。

有一個學生的解法很有新意，是在原有知識的基礎上再創(chuàng)造來解決問題的。他是這樣講解的：我們之前學習直線系方程和圓系方程時有這樣的結論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿造上述結論設為：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；聯(lián)立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩講解獲得了同學和老師的掌聲，在這個過程中，老師與同學，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越來越多的學生會更積極地參與到數(shù)學的“再創(chuàng)造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教學體系——學案教學

這里的相互作用不僅體現(xiàn)在一種班級與教師關系的意義上，甚至可能更多地體現(xiàn)在學生與學生之間的一種相互關系上，讓幕后的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。

“學案導學”教學能夠真正地將課堂教學中心由“教”轉到“學”，使學生真正成為學習的主體，他們在課堂上通過討論、爭辯，使得知識越來越清晰，老師也能更好地發(fā)現(xiàn)學生中集中的問題，采取針對性的措施。

總之，實施數(shù)學“再創(chuàng)造”教學，有利于培養(yǎng)學生的觀察能力和創(chuàng)新精神，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)。讓我們繼續(xù)踐行，探索其中的奧妙。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學.上海教育出版社，1995-01.

[2]邱學華，蘇春景.邱學華與嘗試教學法.中國青年出版社，2002.

（作者單位 山西省太原市并州東街2號太原市實驗中學）

？誗編輯 張珍珍

已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值。

有一個學生的解法很有新意，是在原有知識的基礎上再創(chuàng)造來解決問題的。他是這樣講解的：我們之前學習直線系方程和圓系方程時有這樣的結論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿造上述結論設為：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；聯(lián)立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩講解獲得了同學和老師的掌聲，在這個過程中，老師與同學，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越來越多的學生會更積極地參與到數(shù)學的“再創(chuàng)造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教學體系——學案教學

這里的相互作用不僅體現(xiàn)在一種班級與教師關系的意義上，甚至可能更多地體現(xiàn)在學生與學生之間的一種相互關系上，讓幕后的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。

“學案導學”教學能夠真正地將課堂教學中心由“教”轉到“學”，使學生真正成為學習的主體，他們在課堂上通過討論、爭辯，使得知識越來越清晰，老師也能更好地發(fā)現(xiàn)學生中集中的問題，采取針對性的措施。

總之，實施數(shù)學“再創(chuàng)造”教學，有利于培養(yǎng)學生的觀察能力和創(chuàng)新精神，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)。讓我們繼續(xù)踐行，探索其中的奧妙。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學.上海教育出版社，1995-01.

[2]邱學華，蘇春景.邱學華與嘗試教學法.中國青年出版社，2002.

（作者單位 山西省太原市并州東街2號太原市實驗中學）

？誗編輯 張珍珍

已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值。

有一個學生的解法很有新意，是在原有知識的基礎上再創(chuàng)造來解決問題的。他是這樣講解的：我們之前學習直線系方程和圓系方程時有這樣的結論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿造上述結論設為：（x2+y2-2x-4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；聯(lián)立①②，解得λ=■，m=■

他的精彩講解獲得了同學和老師的掌聲，在這個過程中，老師與同學，包括他自己都受到了很大的鼓舞，相信越來越多的學生會更積極地參與到數(shù)學的“再創(chuàng)造”。

3.有一套行之有效的相互作用的教學體系——學案教學

這里的相互作用不僅體現(xiàn)在一種班級與教師關系的意義上，甚至可能更多地體現(xiàn)在學生與學生之間的一種相互關系上，讓幕后的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。

“學案導學”教學能夠真正地將課堂教學中心由“教”轉到“學”，使學生真正成為學習的主體，他們在課堂上通過討論、爭辯，使得知識越來越清晰，老師也能更好地發(fā)現(xiàn)學生中集中的問題，采取針對性的措施。

總之，實施數(shù)學“再創(chuàng)造”教學，有利于培養(yǎng)學生的觀察能力和創(chuàng)新精神，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)。讓我們繼續(xù)踐行，探索其中的奧妙。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學.上海教育出版社，1995-01.

[2]邱學華，蘇春景.邱學華與嘗試教學法.中國青年出版社，2002.

（作者單位 山西省太原市并州東街2號太原市實驗中學）

？誗編輯 張珍珍