●馬貞，顧春芹

【教材分析】

蘇教版三年級下冊《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》是以上冊認(rèn)識一個物體、一個圖形幾分之一為基礎(chǔ)的，同時又為五年級教學(xué)單位“1”、分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位埋下伏筆，這部分內(nèi)容在整個教材體系中起著承前啟后的關(guān)鍵作用，學(xué)生若能在頭腦中真正建立起把“一些物體”看做“一個整體”的表象，再把這“一個整體”平均分，其中的一份可以是一個，也可以是幾個，并把它納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中（三年級上冊平均分后得到的每一份都不足一個），同樣的是一份，從不足一個到一個再到幾個，這是為什么？這也從反面驗證了現(xiàn)在平均分的對象不再是“一個”而是“一些”，如何實現(xiàn)新舊知識的遷移， 這是每一個數(shù)學(xué)老師孜孜以求的目標(biāo)。 課標(biāo)教材原主題圖是這樣呈現(xiàn)的（如圖1）

圖1

把4 個蘋果平均分給4 只小猴， 每只小猴分到這堆蘋果的幾分之幾？ 由于桃子個數(shù)和平均分的份數(shù)相同，學(xué)生注意力往往集中在個數(shù)而不在份數(shù)上，個數(shù)和份數(shù)相比，個數(shù)屬于先前知識，對學(xué)生有著潛移默化的強刺激。 當(dāng)桃的總數(shù)和平均分的份數(shù)相同時，平均每只小猴分得這盤桃的1/4，這里的4 到底代表平均分成4 份，還是桃子總數(shù)4 個，這里的1 到底表示1 份還是1 個，容易產(chǎn)生誤解。

再者， 先看到桃子個數(shù)也干擾了學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，4 個桃平均分給4 只小猴，每只小猴分到1 個，這應(yīng)該是學(xué)生潛意識的想法。 課堂上，把4 個桃看做一個整體沒能引起學(xué)生共鳴， 也不構(gòu)成學(xué)習(xí)的一種內(nèi)在需要， 而是教師為了引出每只小猴分到這籃桃的1/4 時的一種告訴，這種告訴較長時間內(nèi)都很難被學(xué)生認(rèn)同。

我曾數(shù)次執(zhí)教該內(nèi)容，也曾多次聽過該內(nèi)容的公開課，對于三年級孩子來說，由于分的是“一些物體”組成的“一個整體”，他們比較關(guān)注個數(shù)與總數(shù)之間的關(guān)系，而忽略份數(shù)與總份數(shù)之間的關(guān)系，這也是習(xí)慣使然。 由分一個物體，到分一些物體，且平均分的份數(shù)和個數(shù)相等， 容易讓學(xué)生將注意力關(guān)注到個數(shù)而不是份數(shù)，忽略對“平均分的份數(shù)”和“分得的份數(shù)”的把握，分?jǐn)?shù)意義的建立落不到實處。

南通市第二附屬小學(xué)戴春老師參加江蘇省2010 小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)課評比，執(zhí)教《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》獲得一等獎的好成績，她的課堂沒有采用書上的情境圖，而是略有改變， 使之更符合兒童的認(rèn)知特點和知識本身內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，通過“魔籃、魔圈、魔布”的有機組合，較好地突破了難點，現(xiàn)結(jié)合課堂片段，嘗試探析教者以及她身后團(tuán)隊鉆研教材的思維軌跡。

【課堂片斷】

師：同學(xué)們都知道，猴子喜歡吃桃。瞧，猴媽媽采回了一籃桃，如果她把這一籃桃平均分給4 只小猴，那每只小猴分得這一籃桃的多少呢？

圖2

生：每只小猴應(yīng)該分到這籃桃的1/4。

師：那其他同學(xué)呢？ 你們覺得？

生：我覺得可以把一籃桃平均分給4 只小猴，每只小猴分到一個桃就是1/4，

師：一定是1 個嗎？

生：不一定。

師：我們現(xiàn)在能知道每只小猴分到幾只桃嗎？

生：不知道。

師：知道為什么嗎？

生：因為猴媽媽籃子里桃的個數(shù)被遮住了。

【賞析】

好的教育一定是符合兒童身心發(fā)展規(guī)律的。 無論何種教育，歸根結(jié)底只有通過兒童自身的選擇與建構(gòu)，才有可能真正形成兒童發(fā)展的現(xiàn)實。”“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的教學(xué)，看起來只是情境圖的“改變”，其實，這是對兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“服從”。圖1 很直白，沒有一點神秘，而圖2 就顯得很神奇。 戴老師在讀懂教材，讀懂兒童的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確把握教學(xué)的起點， 如何實現(xiàn)由“一些物體”到“一個整體”的華麗轉(zhuǎn)身，教者找到一個很好的載體“籃子”。

對比前后兩次情境圖，我們不難發(fā)現(xiàn)，圖1 學(xué)生看到的是實實在在的桃子，而把它看做“一個整體”的構(gòu)想是虛擬的，是老師的一種告訴，學(xué)生頭腦中很難建立起“一個整體”的表象。 反觀圖2，桌面上出現(xiàn)的是“未掀開布的一籃桃”，由于桃子個數(shù)未知，這時學(xué)生關(guān)注的重點不再是個數(shù)而是“一籃”，學(xué)生有且只能把它看做“一個整體”。這樣，“一個整體”不再虛無縹緲，而是可感、可知、可觸摸，有了“一籃桃子”的生活原型，學(xué)生方獲得“一個整體”的表象支撐。

師：你們想知道籃子里有幾個桃嗎？讓我們一起來看一看，幾個？

生：4 個。

師：那你知道每只小猴分得幾個桃嗎？

生：每只小猴分到一只桃。

師：那這一個桃就是這一籃桃的？

生：一個桃就是這一籃桃的1/4。

師：是不是1/4 呢？ 讓我們來分一分。

師：首先把這4 個桃用一個圈圈起來（閃爍），把它們看做一個整體。 接著把這個整體平均分成4 份（閃爍），每只小猴分得其中的幾份？

圖3

圖4

生：每只小猴可以分得其中的一份，

師：這一份就是這一籃桃的？

生：這一份就是一這籃桃1/4。

師：另一份呢？ 一齊說。

生1：也是這一籃桃的1/4。

生2：這里的每一份都是這籃桃的1/4。

【賞析】

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫曾指出：“只要有可能， 數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。 ”總的說來，小學(xué)生的思維以形象思維為主，在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容時，往往需要把內(nèi)容具體化，用形象的方式呈現(xiàn)所學(xué)的內(nèi)容。 從生活原型“一籃桃”到視覺直觀“4 個桃”，從“遮著布”到“圈一圈”，表面看，只是情境發(fā)生了變化，其實它遵循了兒童認(rèn)識事物的一般規(guī)律，從實物（模型）→圖形，從具體→抽象，從感性→理性，學(xué)生學(xué)到的是程序性數(shù)學(xué)。

“你們想知道籃子里有幾個桃嗎？”“把4 個桃用一個圈圈起來。 ”由于4 個桃原來在一個籃子里，是“一個整體”，現(xiàn)在把它移到籃外，還應(yīng)看作是“一個整體”，怎么辦呢？用一個圈圈起來（視頻閃爍），這里銜接非常自然，由于生活原型的“鋪墊”，“一個整體”所依托的載體亦很自然地由“籃子”過渡到“圓圈”，順利實現(xiàn)了概念的第一次抽象。從分4 個桃開始，圓圈內(nèi)桃子的個數(shù)就是平均分的份數(shù)， 每份的個數(shù)就是一個，學(xué)生容易將思維聚焦在“1”和“4”的關(guān)系上，從最低層次上理解1 個桃是4 個桃的1/4。

師：如果籃子里有8 個桃，平均分給4 只小猴，每只小猴又分得這籃桃的幾分之幾呢？ 誰愿意先來分一分？

生：用一個圈把8 個桃圈起來。

師：你們看，他把這8 個桃看做了一個整體。接著

圖5

圖6

生：平均分成4 份。

師：怎么分？

生：中間用小棒隔開。

師：每只小猴分得這一籃桃的幾分之幾呢？仔細(xì)觀察這幅圖，動腦筋想一想，和周圍的小伙伴互相說一說。 （組內(nèi)交流）

生：把8 個桃看做一個整體，平均分成4 份，每份是它的1/4。

師：這一份是它的1/4，那這一份呢（閃爍）？

生：這一份也是它的1/4。

師：依次閃爍第三份、第四份，

生：這里的每一份都是這個整體的1/4。

【賞析】

杜威曾對“經(jīng)驗”作過如下表述：“經(jīng)驗包含一個主動的因素和被動的因素， 這兩個因素以特有的形式結(jié)合著；在主動的方面，經(jīng)驗就是嘗試，在被動的方面，經(jīng)驗就是承受結(jié)果。”經(jīng)驗不會憑空產(chǎn)生，它是在教學(xué)目標(biāo)指引下，通過對具體事物進(jìn)行操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認(rèn)識，把4 個桃平均分給4 只小猴， 每只小猴分得這籃桃的1/4，如果是8 個桃呢？ 學(xué)生嘗試的過程亦是獲得經(jīng)驗的過程，也是創(chuàng)造1/4 的過程。

波利亞說：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！睂嵺`證明，學(xué)生的思維是在有效的數(shù)學(xué)活動中發(fā)生、發(fā)展的。我們應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，不回避學(xué)生原有的表示習(xí)慣：一些物體平均分后，每份都可以用整數(shù)來表示它的個數(shù)，這應(yīng)成為孩子學(xué)習(xí)新知的“墊腳石”。 如果把不同個數(shù)的桃子用圈圈起來看作“一個整體”，然后借助小棒來平均分，學(xué)生做了以后，知道每一份都是這個整體的1/4。 一個整體的1/4，可以是1 個，也可以是2個，這種認(rèn)識是逐層遞進(jìn)的。

師：如果桃的個數(shù)再多些，現(xiàn)在有幾個？

生：現(xiàn)在有12 個。

師：也這樣平均分，每只小猴分得這些桃的

生：每只小猴分得這些桃的1/4。

師：反應(yīng)真快！ 現(xiàn)在有幾個桃？

生：有 16 個桃。

師：也這樣平均分，每只小猴分得這些桃的？ 一齊說。 （答略）

師：如果桃的個數(shù)再多些，每只小猴分得這些桃的？ 一起說！ （答略）

師：仔細(xì)看，4 個、8 個、12 個、16 個等等，還有這里的1/4，看著這幅圖(如圖7），你有什么想說的嗎？

圖7

生：只要把它平均分成4 份，其中的一份就是1/4。

師：說：得真好，真善于總結(jié)！

生：它們都是把一個整體的桃子平均分成4 份，而且都圈的是其中的一份，所以就是1/4。

師：你說的也很完整。

生：只要桃的個數(shù)越多，每只小猴分得的桃就越多。

師：孩子們，為什么桃的個數(shù)不斷在變，而每只小猴卻總是分得這些桃的1/4 呢？

生：因為它們都是平均分成4 份，其中的一份就是它的1/4。

師：真聰明！ 現(xiàn)在我給這幅圖加上省略號，你能聯(lián)想到什么？

生： 還有更多的桃子， 但它們都是平均分成4份，其中的一份就是1/4。

【賞析】

徐利治先生說：“數(shù)學(xué)直覺既是抽象思維的起點，又是抽象思維的歸宿。 通過抽象性思維，對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)有所洞察，有所概括，這樣就形成了更高層次的直覺， 從而又可進(jìn)行更高層次的創(chuàng)造性思維活動。 ”可見，用形象來滋養(yǎng)抽象，用直覺來涵養(yǎng)思維，是幫助學(xué)生清晰地掌握數(shù)學(xué)知識的重要“法寶”。復(fù)習(xí)一個西瓜的1/4——探究一籃桃子的1/4——研究拓展材料（8 個、12 個、16 個、……）的1/4——比較溝通新舊1/4。在對1/4“深加工”的過程中，學(xué)生充分感悟、 體驗和理解： 無論是一個物體還是一些物體，我們都可以把它看做一個整體，只要平均分成4份，每份就是它的1/4[5]；由于“一個整體”個數(shù)不確定，同樣是 1/4，可以是 1 個、2 個、3 個乃至無數(shù)個，在有限中滲透無限。

葉圣陶說過：“教材無非是個例子。”這句話于今天我又有了更深刻的認(rèn)識。剛開始工作那會兒，我們總是迷信教材，對課本頂禮膜拜，每每遇到爭執(zhí)不下的問題， 最后總喜歡來上這么一句：“書上是怎么說的，大綱上是怎么說的”，于是乎一切皆有定論?，F(xiàn)如今，看了幾本書，也喜歡對教材發(fā)一通議論，《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》原教材主題圖在使用時確實遇到過一些問題，但如何改進(jìn)，僅僅是紙上談兵，沒有落實到行動。 直到聽了通師二附戴春老師的課， 我的心才為之一顫，“籃、圈、布”本身并無魔力，可到了二附老師的課堂，就變成了“魔籃、魔圈、魔布”，充滿了魔力和神奇。如何深刻地讀懂教材， 通過合理改編使情境圖更好地為教學(xué)服務(wù)是我們每一個數(shù)學(xué)老師的應(yīng)然追求，看來，二附的老師、二附的團(tuán)隊已經(jīng)行在路上。