劉忠義，張華睿，王妮，劉潔

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266042)

0 引言

目標(biāo)檢測(cè)是防空作戰(zhàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。提高檢測(cè)概率對(duì)提高防空攔截效率、保護(hù)己方目標(biāo)等具有十分重要的意義。然而，由于低空突防戰(zhàn)術(shù)和隱身技術(shù)的發(fā)展，防守方對(duì)攻擊目標(biāo)的檢測(cè)正面臨巨大挑戰(zhàn)。因此，在現(xiàn)有傳感器資源條件下，通過(guò)優(yōu)化傳感器部署方案，使得己方被保護(hù)目標(biāo)達(dá)到最佳防護(hù)狀態(tài)成為一種現(xiàn)實(shí)而有效的途徑，開展這方面的研究也因此具有顯著的實(shí)用價(jià)值。

針對(duì)傳感器的最優(yōu)化部署問(wèn)題，現(xiàn)有的研究工作主要分為2部分，一是傳感器威力范圍對(duì)監(jiān)測(cè)責(zé)任區(qū)的覆蓋最優(yōu)化問(wèn)題[1-4]，預(yù)先設(shè)定傳感器在各種場(chǎng)景下的威力范圍，然后通過(guò)優(yōu)化部署方法使得多部傳感器對(duì)監(jiān)測(cè)責(zé)任區(qū)的覆蓋比例達(dá)到最優(yōu)；二是傳感器對(duì)監(jiān)測(cè)目標(biāo)的定位精度最優(yōu)化問(wèn)題[5-10]，通常目標(biāo)的定位精度與傳感器的運(yùn)動(dòng)軌跡或者傳感器—目標(biāo)的幾何位置關(guān)系有關(guān)，合理規(guī)劃傳感器部署位置可有效提高目標(biāo)定位精度。以上2部分均從不同角度對(duì)傳感器最優(yōu)化部署問(wèn)題進(jìn)行了研究，但是對(duì)于突防目標(biāo)的檢測(cè)卻缺乏深入分析。

本文以航母編隊(duì)防空作戰(zhàn)為背景，從目標(biāo)檢測(cè)的角度對(duì)預(yù)警機(jī)的最優(yōu)化部署問(wèn)題進(jìn)行了探討。由于預(yù)警機(jī)能克服地球曲率的影響，探測(cè)范圍大大優(yōu)于水面艦船搭載的雷達(dá)，因此其主要擔(dān)任航母編隊(duì)防空警戒任務(wù)，用于檢測(cè)早期突防目標(biāo)[11]。在進(jìn)行預(yù)警機(jī)部署時(shí)，一些先驗(yàn)知識(shí)和戰(zhàn)術(shù)規(guī)則也可以作為決策依據(jù)引入到優(yōu)化算法中，如突防目標(biāo)的攻擊意圖、可能出現(xiàn)的攻擊方位等等。本文對(duì)突防目標(biāo)的作戰(zhàn)意圖進(jìn)行分析，建立了目標(biāo)來(lái)襲方位的模型，然后結(jié)合預(yù)警機(jī)探測(cè)性能，推導(dǎo)得到預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)的綜合檢測(cè)概率，最后給出了一種以檢測(cè)概率為優(yōu)化函數(shù)的最優(yōu)部署方法。

1 問(wèn)題描述

在一個(gè)由多艘艦船組成的航母編隊(duì)中，航母作為艦載機(jī)搭載平臺(tái)，其擁有其他水面艦船無(wú)可比擬的重要性。航母編隊(duì)若損失航母，將失去絕大部分戰(zhàn)斗力。因此在部署預(yù)警機(jī)位置時(shí)，首要考慮因素為航母的保護(hù)[12]。航母編隊(duì)的防御范圍為以航母為中心、半徑為R的一個(gè)圓，如圖1所示。角度θ表示突防目標(biāo)T進(jìn)入防御圈的位置，其中正北方向?yàn)?°方位角，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。根?jù)先驗(yàn)知識(shí)，可預(yù)先獲取突防目標(biāo)在各個(gè)方位出現(xiàn)的概率。若艦隊(duì)中部署N個(gè)預(yù)警機(jī)，其性能分別表示為：在一定虛警Pf下，預(yù)警雷達(dá)對(duì)參照目標(biāo)的檢測(cè)概率達(dá)到P0時(shí)，目標(biāo)與雷達(dá)的距離為ri0,i=1,2，…,N。由于預(yù)警機(jī)承擔(dān)的主要探測(cè)任務(wù)為突防目標(biāo)的早期檢測(cè)，本文將以對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)概率為預(yù)警機(jī)部署方案的度量函數(shù)，即綜合檢測(cè)概率越高，部署方案越優(yōu)，同時(shí)為了預(yù)警機(jī)的自身安全，限定其與航母的徑向距離應(yīng)小于預(yù)定值rmax。最終本文問(wèn)題可描述為：在已知預(yù)警機(jī)探測(cè)性能的情況下，如何部署其位置S(xi,yi),i=1,2，…,N，使得其與航母的徑向距離小于rmax時(shí)，對(duì)穿越防御圈的突防目標(biāo)的綜合檢測(cè)效率達(dá)到最優(yōu)。

圖1 航母編隊(duì)防空示意圖Fig.1 Illustration of aircraft carrier formation in antiair battle

2 預(yù)警機(jī)優(yōu)化部署模型

依據(jù)首要保護(hù)目標(biāo)為航母的原則，以預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)的綜合檢測(cè)概率為優(yōu)化函數(shù)，逐步建立預(yù)警機(jī)的優(yōu)化部署模型。本文將從預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)能力和目標(biāo)的可能突防角度這2個(gè)方面分別展開討論。

2.1 預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)檢測(cè)概率

首先考慮單個(gè)預(yù)警機(jī)部署在任意陣位(x,y)時(shí)，對(duì)進(jìn)入防御圈的突防目標(biāo)的檢測(cè)概率。預(yù)警機(jī)的性能描述為：當(dāng)虛警為Pf時(shí)，對(duì)距離為r0的參照目標(biāo)的檢測(cè)概率為P0。假定針對(duì)SwerlingⅠ型目標(biāo)，則檢測(cè)概率和信噪比滿足關(guān)系式[13]

(1)

由式(1)和預(yù)警機(jī)性能可得，目標(biāo)在r0處的信噪比SNR0為

(2)

同時(shí)，目標(biāo)的信噪比與距離的4次方成反比，則對(duì)于距離為r的目標(biāo)，其信噪比可表示為

(3)

將式(3)代入式(1)，得到預(yù)警機(jī)對(duì)距離為r的目標(biāo)檢測(cè)概率為

(4)

其中突防目標(biāo)穿越防御圈時(shí)，其與預(yù)警機(jī)的距離r可通過(guò)預(yù)警機(jī)部署位置(x,y)和目標(biāo)突襲方位θ得到

(5)

基于以上推導(dǎo)，當(dāng)同時(shí)部署N個(gè)預(yù)警機(jī)，且位置分別為xi,yi,i=1,2,…,N時(shí)，對(duì)從方位θ突防的目標(biāo)的聯(lián)合檢測(cè)概率為

(6)

式中：PDθ,xi,yi與ri可分別由式(4)、(5)得到。

(7)

2.2 目標(biāo)出現(xiàn)方位先驗(yàn)知識(shí)模型

若對(duì)敵方目標(biāo)來(lái)襲方位無(wú)任何先驗(yàn)信息的情況下，目標(biāo)可能出現(xiàn)方位的概率在360°上均勻分布。此時(shí)，預(yù)警機(jī)需貼近航母部署，防止目標(biāo)從各個(gè)角度突防。但是，根據(jù)敵方機(jī)場(chǎng)相對(duì)航母編隊(duì)方位、衛(wèi)星圖像與上級(jí)敵情通報(bào)等等，指揮官對(duì)敵方目標(biāo)可能來(lái)襲方位能有大致了解。如圖2a)所示。假設(shè)根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，已知在我方編隊(duì)θ1和θ2方位角上，存在敵方機(jī)場(chǎng)或航母編隊(duì)，將其分別標(biāo)定為威脅1和威脅2。則突防目標(biāo)可能出現(xiàn)方位為敵方機(jī)場(chǎng)和航母的對(duì)應(yīng)方位，并且以θ1和θ2為出現(xiàn)概率值的極大值點(diǎn)，偏離θ1和θ2出現(xiàn)概率值降低。以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為基礎(chǔ)對(duì)目標(biāo)來(lái)襲方位概率進(jìn)行建模，則目標(biāo)來(lái)襲方位概率密度函數(shù)為

(8)

式中：C為歸一化常數(shù)；θi為第i號(hào)威脅的中心方位，Ci為其相應(yīng)的權(quán)重；σi表征目標(biāo)來(lái)襲方位先驗(yàn)知識(shí)。

當(dāng)敵情不明時(shí)，目標(biāo)可能出現(xiàn)方位不明確，σi應(yīng)適當(dāng)調(diào)大。若我方對(duì)敵方可能來(lái)襲方位具有較明確的先驗(yàn)知識(shí)，σi應(yīng)適當(dāng)調(diào)小。指揮官可根據(jù)實(shí)時(shí)戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)，動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)σi大小。Ci則根據(jù)敵方機(jī)場(chǎng)的遠(yuǎn)近、裝備飛機(jī)的數(shù)量和先進(jìn)程度確定。圖2b)為目標(biāo)來(lái)襲方位概率密度函數(shù)示意圖。其中威脅2相對(duì)于威脅1距離我方編隊(duì)更近，威脅程度更高，并且目標(biāo)攻擊方位更明確，所以表現(xiàn)為其權(quán)重C2較大，攻擊方位偏差σ2較小。最終，確定各個(gè)參數(shù)分別為C1=0.6，C2=0.7，σ1=0.3°，σ2=0.2°，θ1=-20°，θ2=30°。

按照這種方法對(duì)先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行建模，當(dāng)敵情不明確時(shí)，仍能提取到部分有用信息，而且當(dāng)情報(bào)不準(zhǔn)確時(shí)，因?yàn)樵摲椒ú捎玫氖歉怕誓Ｐ?，可有效避免硬性判決所帶來(lái)的影響。

2.3 綜合檢測(cè)概率

經(jīng)過(guò)上述分析，得到突防目標(biāo)在各個(gè)方位出現(xiàn)的先驗(yàn)概率和預(yù)警機(jī)對(duì)其的檢測(cè)概率，則由貝葉斯公式推導(dǎo)，當(dāng)N個(gè)預(yù)警機(jī)采取某種部署方案時(shí)，其檢測(cè)到穿越防御圈的突防目標(biāo)的全概率為

(9)

圖2 目標(biāo)出現(xiàn)方位概率Fig.2 Probability of targets’ appearance angle

(10)

優(yōu)化式(10)結(jié)合了具體的戰(zhàn)術(shù)需求，反映了預(yù)警機(jī)在航母編隊(duì)防空作戰(zhàn)中承擔(dān)的任務(wù)，并且其優(yōu)化目的貼近實(shí)際應(yīng)用過(guò)程。相對(duì)于以往的傳感器優(yōu)化部署方法，本文所提出的優(yōu)化函數(shù)具有更高的應(yīng)用價(jià)值。

3 基于粒子群優(yōu)化的近似算法

由于預(yù)警機(jī)部署陣位優(yōu)化函數(shù)非線性化程度較高，且含有積分運(yùn)算，難以得到解析結(jié)果，本文將利用粒子群優(yōu)化算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

粒子群優(yōu)化是一種高效的近似優(yōu)化算法，由Kennedy和Eberhart在1995年提出[14]。其通過(guò)模擬生物界鳥群覓食的行為特性，來(lái)搜索全局最優(yōu)解。由于鳥類具有記憶能力，每一只鳥或稱為粒子都會(huì)記下其運(yùn)動(dòng)軌跡中的最佳覓食位置(適應(yīng)度函數(shù)值)，定義為局部最優(yōu)值p；同時(shí)，整個(gè)種群所找到的最佳位置定義為全局最優(yōu)值g，該值以廣播的形式告知種群中的每個(gè)粒子。粒子依據(jù)p和g調(diào)整當(dāng)前的位置和飛行方向，其速度矢量分為3部分：往全局最優(yōu)位置運(yùn)動(dòng)、往局部最優(yōu)位置運(yùn)動(dòng)和保持原有速度，則粒子的位置更新方程為

(11)

式中：c1，c2為Hooke常數(shù)，也稱為認(rèn)知因子和社會(huì)因子；x，v為粒子的位置和速度矢量；下標(biāo)s表示迭代次數(shù)；η1，η2為服從均勻分布u(0,1)的隨機(jī)數(shù)；w為慣性加權(quán)因子。

為加快收斂速度，w通常取時(shí)變形式[15]

w=wmax-wminsmax-s/smax+wmin，

(12)

式中：wmax，wmin分別為慣性加權(quán)因子的最大值和最小值，取經(jīng)驗(yàn)值wmax= 0.9，wmin= 0.4；smax為最大允許迭代次數(shù)。

為避免粒子收斂到局部最優(yōu)解，認(rèn)知加速因子c1和社會(huì)加速因子c2同樣取時(shí)變形式[16]

(13)

式中：c1max，c1min，c2max，c2min分別為認(rèn)知加速因子和社會(huì)加速因子的最大值和最小值，分別取經(jīng)驗(yàn)值c1max=c2max= 2.5，c1min=c2min= 0.5。

為防止粒子跳出搜索空間[17]，應(yīng)根據(jù)搜索空間大小，設(shè)定最大速度限制vmax，則有||vs|| ≤vmax。

結(jié)合本文內(nèi)容，以預(yù)警機(jī)的部署位置為優(yōu)化變量，對(duì)突防目標(biāo)的檢測(cè)概率作為適應(yīng)度函數(shù)，則粒子群優(yōu)化算法的步驟歸納如下：

步驟1：在搜索空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)初始粒子位置，即預(yù)警機(jī)可能部署位置。

步驟2：判斷預(yù)警機(jī)部署位置是否滿足最大徑向距離約束，若不是，其適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置為0；若是，計(jì)算預(yù)警機(jī)部署在該位置時(shí)對(duì)突防目標(biāo)的檢測(cè)概率，并將其賦予為對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值。

步驟3：根據(jù)各個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)值更新p和g。

步驟4：依據(jù)式(11)～(13)更新粒子速度矢量和位置矢量。

步驟5：判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若滿足則執(zhí)行步驟6，否則執(zhí)行步驟2。

步驟6：選取全局最優(yōu)值對(duì)應(yīng)的位置作為預(yù)警機(jī)部署的優(yōu)化解，算法結(jié)束。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文設(shè)計(jì)了2個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)文中方法的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)1：?jiǎn)瓮{，單預(yù)警機(jī)場(chǎng)景

假設(shè)航母防御圈半徑為600 km，艦隊(duì)部署1架預(yù)警機(jī)，其性能可表述為對(duì)距離為500 km的某型轟炸機(jī)檢測(cè)概率為0.8，虛警為10-5。預(yù)警機(jī)與航母最大徑向距為450 km。粒子群優(yōu)化算法中，產(chǎn)生粒子數(shù)為10 000，粒子在每個(gè)運(yùn)算周期的最大飛行距離為100 m，迭代200次，搜索空域設(shè)定為x軸(-600，600) km和y軸(-600，600) km的范圍。圖3給出了先驗(yàn)知識(shí)σ與綜合檢測(cè)概率P的關(guān)系圖。

圖3 先驗(yàn)知識(shí)σ與綜合檢測(cè)概率P變化關(guān)系Fig.3 Relationship of the priori information and detection probability

從圖3可以看出，若對(duì)目標(biāo)可能來(lái)襲方位有較豐富的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)應(yīng)于σ較小，則對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)概率會(huì)較高；概率值隨著先驗(yàn)知識(shí)的減少而降低，以至于趨近最小極限值0.636。而按照傳統(tǒng)方法，由于不利用對(duì)突防目標(biāo)的先驗(yàn)知識(shí)，只能將預(yù)警機(jī)貼近航母部署，其檢測(cè)概率一直維持在0.636的最低值。

實(shí)驗(yàn)2：雙威脅，雙預(yù)警機(jī)場(chǎng)景

假設(shè)航母防御圈半徑為600 km，艦隊(duì)部署2架預(yù)警機(jī)，其性能均可表述為對(duì)距離為300 km的某型轟炸機(jī)檢測(cè)概率為0.8，虛警為10-5。預(yù)警機(jī)與航母最大徑向距為450 km。粒子群優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)定如實(shí)驗(yàn)1。戰(zhàn)場(chǎng)存在2個(gè)威脅，其模型參數(shù)如圖 2所示。利用本文方法計(jì)算得到預(yù)警機(jī)最優(yōu)部署位置為(-172.68, 398.76) km，(226.28, 388.92) km，檢測(cè)概率為0.968 5。在傳統(tǒng)方法中，一般將預(yù)警機(jī)貼近航母部署或者沿威脅軸方向上前出。按照此思路部署預(yù)警機(jī)位置為(0, 0) km，(0, 450) km，其檢測(cè)概率只有0.789?？梢钥闯觯疚奶岢龅念A(yù)警機(jī)部署方法，有效地提高了對(duì)突防目標(biāo)的檢測(cè)概率。

若設(shè)定預(yù)警機(jī)對(duì)轟炸機(jī)的檢測(cè)概率達(dá)到0.8時(shí)，以此時(shí)轟炸機(jī)與預(yù)警機(jī)的距離作為預(yù)警機(jī)的實(shí)際探測(cè)距離。當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，圖4給出了預(yù)警機(jī)實(shí)際探測(cè)距離與綜合檢測(cè)概率關(guān)系圖。其中實(shí)線為本文方法，虛線為傳統(tǒng)方法。可以看出，利用本文的優(yōu)化部署方法，對(duì)突入航母防御圈的目標(biāo)檢測(cè)概率獲得較大提高。這是通過(guò)將預(yù)警機(jī)的探測(cè)能力從目標(biāo)不太可能出現(xiàn)的方位轉(zhuǎn)移到重點(diǎn)防護(hù)方位上，使得對(duì)目標(biāo)的綜合檢測(cè)效率達(dá)到了最優(yōu)。

圖4 預(yù)警機(jī)實(shí)際探測(cè)距離與綜合檢測(cè)概率關(guān)系圖Fig.4 Relationship of real detection range and detection probability

通過(guò)這2組實(shí)驗(yàn)表明，將目標(biāo)的先驗(yàn)知識(shí)引入到預(yù)警機(jī)優(yōu)化部署問(wèn)題，使得預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)概率大幅提高，并且先驗(yàn)知識(shí)越豐富，檢測(cè)概率越高。仿真結(jié)果符合預(yù)期設(shè)想。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以航母編隊(duì)中預(yù)警機(jī)對(duì)突入防御圈的敵方目標(biāo)的檢測(cè)概率作為優(yōu)化函數(shù)，討論了預(yù)警機(jī)的最優(yōu)部署問(wèn)題。通過(guò)對(duì)目標(biāo)可能出現(xiàn)的方位建模，在優(yōu)化算法中引入已獲取的突防目標(biāo)的先驗(yàn)知識(shí)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，目標(biāo)的先驗(yàn)知識(shí)使得預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)概率有較大的提高。

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