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一種考慮先驗(yàn)信息可靠性的新算法

2020-05-17 06:16柳翠明
礦山測(cè)量 2020年2期
關(guān)鍵詞:參數(shù)估計(jì)先驗(yàn)幅度

趙 哲,柳翠明

(廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,廣東 廣州 510000)

Bayes估計(jì)在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中充分利用了未知參數(shù)的先驗(yàn)信息[1-2],但仍有以下局限:其一,需要獲知參數(shù)的驗(yàn)前分布,但測(cè)量學(xué)中的先驗(yàn)信息來(lái)源多樣且復(fù)雜,導(dǎo)致先驗(yàn)信息大多充斥著不確定性。這種不確定性既包含數(shù)值誤差,也包含概念誤差,既包含可度量誤差,也包含不可度量誤差[3-5]。導(dǎo)致許多先驗(yàn)信息沒(méi)有統(tǒng)計(jì)性質(zhì),也不是一個(gè)具體數(shù)值,只能用參數(shù)的可行空間,噪聲范圍等來(lái)描述[6-7];其二,先驗(yàn)信息的可靠性直接影響著估計(jì)結(jié)果,可靠的先驗(yàn)信息可以提高估計(jì)效率,不可靠的先驗(yàn)信息反而會(huì)降低估計(jì)精度[8-10]。目前常采用相容性檢驗(yàn)方法對(duì)先驗(yàn)信息進(jìn)行取舍[11],認(rèn)為先驗(yàn)信息完全可信或完全不可信,這一作法一定程度上提高了先驗(yàn)信息利用的科學(xué)性。但在測(cè)量學(xué)中,先驗(yàn)信息是指提前獲取的信息,具有一定可信度,其可信度必不會(huì)單純?yōu)?或1,而是分布于該閉區(qū)間[0,1]內(nèi)。為此,許多專(zhuān)家提出了先驗(yàn)信息可靠性的度量方法并給出了可信度的計(jì)算公式[12-16]。但這些方法都是建立在概率論的基礎(chǔ)上,對(duì)于大地測(cè)量學(xué)中廣泛存在的充滿(mǎn)不確定性的先驗(yàn)信息無(wú)能為力。針對(duì)以上問(wèn)題,本文引入模糊理論,用模糊數(shù)集來(lái)描述測(cè)量學(xué)中的先驗(yàn)信息,依據(jù)小概率事件原理[17]構(gòu)造參考信息,用先驗(yàn)信息與參考信息的模糊貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性,將其以權(quán)陣的形式納入估計(jì)過(guò)程以平衡不同可靠度的先驗(yàn)信息在參數(shù)估計(jì)中的作用。適用于測(cè)量學(xué)中不確定性信息的數(shù)值化及其可靠性評(píng)估等問(wèn)題。

1 模糊數(shù)與貼近度

文獻(xiàn)[18]給出了對(duì)稱(chēng)模糊數(shù)的貼近度公式:

(1)

2 可靠性的度量

本文通過(guò)構(gòu)造一種近似完全可靠信息作為參考信息,用先驗(yàn)信息與參考信息的模糊貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性。

2.1 構(gòu)造參考信息

由于完全可靠信息難以獲取,文獻(xiàn)[19]基于小概率事件原理構(gòu)造了近似完全可靠信息,即以參數(shù)的最小二乘解XLS作為對(duì)稱(chēng)中心,以3倍中誤差作為模糊幅度。如圖1所示,在誤差理論中,X?[XLS-3δXLS,XLS+3δXLS]的概率為0.3%,屬于小概率事件[17]。因此將參數(shù)X的參考信息構(gòu)造為[XLS-3δXLS,XLS+3δXLS],模糊數(shù)形式寫(xiě)為[XLS,3δXLS]。

圖1 可靠信息分布

2.2 可信度的計(jì)算

可信度R是衡量先驗(yàn)信息可靠性的指標(biāo),將其引入?yún)?shù)估計(jì)時(shí),應(yīng)滿(mǎn)足以下條件:

(1)0≤R≤1;

(2)當(dāng)R越大,先驗(yàn)信息越可靠,在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中起的作用越大;反之,R越小,先驗(yàn)信息越不可靠,在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中起的作用越??;

(3)當(dāng)R=0時(shí),先驗(yàn)信息完全不可靠;R=1時(shí),先驗(yàn)信息完全可靠。

模糊理論中貼近度q表示兩模糊集的接近程度,引申到測(cè)量學(xué)中,若先驗(yàn)信息與參考信息越接近,則可認(rèn)為先驗(yàn)信息的可信度越高,且貼近度q完全符合以上條件,因此采用貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性是合理的,即令

R=q

(2)

上文中構(gòu)造參數(shù)的參考信息為[XLS,3δXLS],將參數(shù)X的先驗(yàn)信息記為[X0,δx]結(jié)合式(1)與式(2),若XLS>X0,可得出先驗(yàn)信息可信度的計(jì)算公式為:

(3)

若XLS

(4)

式中,X0為先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值,δx為模糊幅度,表示其變動(dòng)范圍。XLS和δXLS為參數(shù)最小二乘解及其中誤差。

3 模型解算

建立附有模糊先驗(yàn)信息的平差模型為:

L=AX,X∈[X0,δx]

(5)

式中,L為n維觀測(cè)向量,A為n×m維系數(shù)矩陣,X為m維參數(shù)向量,X0和δx表示先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值以及模糊幅度。建立估計(jì)準(zhǔn)則:

min:f(X)=(AX-L)TP(AX-L)TP(AX-L)+(X-X0)TPX(X-X0)

(6)

式中,P為觀測(cè)信息權(quán)陣,PX表示參數(shù)的先驗(yàn)權(quán)陣,X0為先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值。本文將可信度R以先驗(yàn)權(quán)陣PX的形式納入到參數(shù)估計(jì)過(guò)程中,以平衡不同可信度先驗(yàn)信息在參數(shù)估計(jì)中的作用,具體步驟如下:

第一步:求得參數(shù)X的最小二乘解:

XLS=(ATPA)-1ATPL

(7)

及其相應(yīng)的中誤差陣[20]為:

(8)

式中,δ0為單位權(quán)中誤差,δXLS為參數(shù)X的中誤差;

第二步:根據(jù)上文所述,構(gòu)造參考信息,記為模糊數(shù)形式為[XLS,3δXLS];

第三步:將先驗(yàn)信息記為模糊數(shù)形式并根據(jù)式(3)或式(4)求解先驗(yàn)信息與參考信息的貼近度R1,2,…m;

第四步:將第三步計(jì)算得到的貼近度R1,2,…m,構(gòu)成為先驗(yàn)權(quán)陣PX,即令PX=diag(R1,R2,…,Rm),將式(6)對(duì)參數(shù)X求偏導(dǎo)并令其等于零得:

2(AX-L)TPA+2(X-X0)TPX=0

(9)

令N=ATPA+PX,由上式推導(dǎo)得參數(shù)X的計(jì)算公式為:

X=N-1(ATPL+PXX0)

(10)

其協(xié)因數(shù)陣為:

Qxx=N-1

(11)

式中,X0為先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值,PX為先驗(yàn)信息權(quán)陣。該算法的實(shí)質(zhì)是充分利用最小二乘估計(jì)的結(jié)果對(duì)先驗(yàn)信息的可靠性進(jìn)行評(píng)估與度量,選取更加合理的先驗(yàn)權(quán)陣來(lái)合理利用先驗(yàn)信息中的可靠成分并抑制不可靠成分的影響。

4 算例分析

4.1 模擬算例

為了驗(yàn)證算法的有效性,本文通過(guò)直線(xiàn)方程y=1.6x生成一個(gè)不含誤差的數(shù)據(jù)列,然后在這些數(shù)據(jù)列中加入隨機(jī)誤差,得到一組模擬觀測(cè)值列于表1內(nèi)。

表1 模擬數(shù)據(jù)

由表1產(chǎn)生的數(shù)據(jù)構(gòu)造觀測(cè)向量L=[y1y2y3y4y5]T和設(shè)計(jì)矩陣A=[x1x2x3x4x5]T并建立平差模型為:

L=AX

(12)

(1)求得最小二乘解及其偏差為:

(2)利用本文所提加權(quán)算法進(jìn)行解算,過(guò)程如下:

σXLS=0.266 7

第二步:構(gòu)造參考信息為[1.706 8,0.800 1];

第三步:確定先驗(yàn)信息可信度R=0.607 4;

第四步:取觀測(cè)權(quán)陣P=I,令PX=diag(R),代入式(10)得參數(shù)解及其偏差:

(3)取PX=I,認(rèn)為先驗(yàn)信息完全可靠。代入式(10)得到參數(shù)解及其偏差:

圖2 擬合直線(xiàn)

圖3 數(shù)據(jù)點(diǎn)殘差分布

由上面計(jì)算結(jié)果可得如下結(jié)論:

(1)由圖2、圖3可知,本文所提顧及先驗(yàn)信息可靠性的加權(quán)算法擬合直線(xiàn)效果明顯優(yōu)于最小二乘擬合以及不考慮先驗(yàn)信息可靠性擬合;

4.2 先驗(yàn)信息的不確定度約束

先驗(yàn)信息的可信度用來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠程度,不確定度用來(lái)衡量先驗(yàn)信息的精度。先驗(yàn)信息的可靠性對(duì)參數(shù)估計(jì)有著重要影響,而先驗(yàn)信息的精度約束同樣是參數(shù)估計(jì)中的關(guān)鍵問(wèn)題,隨著先驗(yàn)信息模糊幅度的增大,由式(3)及式(4)可知,先驗(yàn)信息的可靠性會(huì)逐步增大,但同時(shí)先驗(yàn)信息約束效力也會(huì)隨之減弱。因此為了探究先驗(yàn)信息不確定度與先驗(yàn)信息可信度及參數(shù)估計(jì)精度之間的關(guān)系,本文通過(guò)多次改變先驗(yàn)信息的模糊幅度進(jìn)行參數(shù)平差,得到先驗(yàn)信息模糊幅度與先驗(yàn)信息可信度及參數(shù)估計(jì)解殘差的關(guān)系如圖4所示。

圖4 模糊幅度與可信度及參數(shù)殘差之間的關(guān)系

當(dāng)不考慮先驗(yàn)信息進(jìn)行最小二乘平差時(shí),最小二乘解的殘差為0.106 8。由圖4分析可知:

(1)先驗(yàn)信息的可信度與不確定度正相關(guān),當(dāng)模糊幅度趨于無(wú)窮大時(shí),先驗(yàn)信息可信度雖然趨近于1,但此時(shí)先驗(yàn)信息已沒(méi)有約束效力,因此在顧及先驗(yàn)信息的可靠性進(jìn)行加權(quán)平差時(shí),還需考量先驗(yàn)信息的精度;

(2)隨著先驗(yàn)信息的模糊幅度增大,雖然先驗(yàn)信息可信度增高,但此時(shí)參數(shù)估計(jì)殘差也隨之緩慢增漲,說(shuō)明先驗(yàn)信息的精度與可靠同時(shí)對(duì)參數(shù)估計(jì)精度有著影響;

(3)當(dāng)先驗(yàn)信息模糊幅度小于2.5時(shí),先驗(yàn)信息可信度位于0.7左右,本文所提加權(quán)算法可顯著提高參數(shù)估計(jì)精度;當(dāng)模糊幅度大于10以后,可信度對(duì)于參數(shù)估計(jì)精度提高效果均不明顯;當(dāng)模糊幅度大于20以后,考慮先驗(yàn)信息進(jìn)行平差計(jì)算已沒(méi)有意義,說(shuō)明此時(shí)先驗(yàn)信息的不確定度對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響已遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于先驗(yàn)信息可靠性的影響。

因此可知,先驗(yàn)信息的精度對(duì)參數(shù)估計(jì)精度也有著重要影響,在先驗(yàn)信息精度不足的情況下考慮先驗(yàn)信息可靠性是沒(méi)有意義的。本文分析討論了先驗(yàn)信息可靠性對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響,但未考慮先驗(yàn)信息不確定度的作用,如何進(jìn)一步將先驗(yàn)信息不確定度與可靠性同時(shí)納入?yún)?shù)估計(jì)過(guò)程以提高參數(shù)估計(jì)效率,有待進(jìn)一步研究。

4.3 工程實(shí)例

本文選取某工程2013年變形監(jiān)測(cè)所布設(shè)的監(jiān)測(cè)網(wǎng)如圖5所示。其中,M1,M2為兩個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn),坐標(biāo)分別為(27.288,92.588)/m和(132.072,57.400)/m,JC1,JC2,JC3為三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)。該工程在監(jiān)測(cè)期間,采用徠卡TC402型全站儀(測(cè)角精度為2 S,測(cè)距誤差為2 mm+2 ppm)進(jìn)行周期性重復(fù)測(cè)量,觀測(cè)邊長(zhǎng)列于表2。要求根據(jù)觀測(cè)距離確定各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖5 測(cè)邊網(wǎng)

邊號(hào)觀測(cè)距離/m129.145 32105.051 63115.993 9496.812 0562.457 1636.166 9731.509 7878.636 6994.238 6

依照上文所述步驟進(jìn)行網(wǎng)平差。

第一步:進(jìn)行最小二乘估計(jì),結(jié)果及點(diǎn)位如表3所示。

第二步:構(gòu)造參考信息,寫(xiě)為模糊數(shù)形式為:

圖6 點(diǎn)JC1分布圖

圖7 點(diǎn)JC2分布

圖8 點(diǎn)JC3分布

則可將先驗(yàn)信息表示為:

由式(3)和式(4)計(jì)算得到先驗(yàn)信息XZ與第三步構(gòu)造的參考信息XK的貼近度為:

R=[0.692 2 0.715 4 0.937 5 0.627 1

0.819 9 0.869 2]T;

表3 最小二乘平差結(jié)果/m

表4 加權(quán)算法平差結(jié)果/m

通過(guò)表3、表4分析比較,顧及先驗(yàn)信息可靠性的加權(quán)算法平差結(jié)果較之經(jīng)典最小二乘,監(jiān)測(cè)點(diǎn)JC1、JC2、JC3的坐標(biāo)中誤差及點(diǎn)位誤差均有大幅度減小,顧及先驗(yàn)信息可靠性的加權(quán)算法可以有效提高參數(shù)估計(jì)精度。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)大地測(cè)量學(xué)中先驗(yàn)信息存在的不確定性以及可靠性問(wèn)題,嘗試采用模糊數(shù)集來(lái)描述先驗(yàn)信息,用模糊幅度表征其不確定性,并基于小概率事件原理構(gòu)造參考信息,運(yùn)用先驗(yàn)信息與參考信息的模糊貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性并論證了其合理性,給出了可信度的計(jì)算公式,將其以權(quán)陣的形式納入估計(jì)過(guò)程以平衡不同可信度的先驗(yàn)信息在參數(shù)估計(jì)中的作用,實(shí)例驗(yàn)證了本文所提算法不僅能夠合理的利用先驗(yàn)信息,提高參數(shù)估計(jì)精度,且一定程度上抑制了不可靠成分對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。

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