冉 芳

(鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 遼寧鐵嶺 112000)

1 隨機(jī)積分概述

1.1 布朗運(yùn)動(dòng)

1828年英國(guó)植物學(xué)家羅伯特·布朗在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文，描述自己在顯微鏡下觀察到的花粉粒在液體中不停運(yùn)動(dòng)，拉開(kāi)了人了對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)的序幕．而后經(jīng)過(guò)多名科學(xué)家的努力，證實(shí)了除了生命體細(xì)小的無(wú)機(jī)顆粒也存在著這種運(yùn)動(dòng)，從而將布朗運(yùn)動(dòng)從生物學(xué)引申到了物理學(xué)領(lǐng)域．

在物理學(xué)中，大多數(shù)物理現(xiàn)象使用微分方程來(lái)描述其模型，微分方程的建立是從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，根據(jù)微分和積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程．可是，隨著物理學(xué)的發(fā)展，由于自然界的“不可預(yù)測(cè)”因素的出現(xiàn)，普通的微分方程已經(jīng)無(wú)法滿足相應(yīng)的物理模型，所以需要新的微積分模型出現(xiàn)解決這一問(wèn)題．

1.2 布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表述

對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表述，可以用連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)表述如下:

對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(t)，考慮區(qū)間 ［0，T］的劃分:

把f(t)的梯形近似函數(shù)寫作fn(t)為:

因此，可以定義如下積分和:

那么就有新的定義如果 (0，T］的子區(qū)間(si，ti］(i=1，2，…，m)兩兩不相交，則稱

對(duì)于任意固定的ω，梯形函數(shù)對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的積分定義為:

簡(jiǎn)單記做:

2 It積分

伊藤積分得名于日本數(shù)學(xué)家伊藤清，是將微積分概念擴(kuò)展到隨機(jī)過(guò)程中一種數(shù)學(xué)方法．借助這個(gè)積分，可以把一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 (被積函數(shù))對(duì)另一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 (積分變量)進(jìn)行積分．積分變量一般屬于布朗運(yùn)動(dòng)范疇．積分結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)

3 Stratonovich積分和it積分

對(duì)于伊藤積分和斯特拉托諾維奇積分之間的關(guān)系，可以通過(guò)以下例題來(lái)表述．

例:求值變量，這個(gè)隨機(jī)變量定義為一特定隨機(jī)變量序列的極限．

伊藤積分的構(gòu)造也是根據(jù)黎曼和的形式定義出來(lái)的，但是由于被積函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程，所以不同于一般的黎曼積分的構(gòu)造方式．這里首先要明確，積分對(duì)象，也就是什么函數(shù)可以為伊藤可積．令V=V(S，T)表示一個(gè)函數(shù)集合，里面函數(shù)滿足f(t，ω)∶［0，∞)× Ω － ＞ R 滿足:

(1)循序可測(cè)性;

(2)關(guān)于給定的自然流是適應(yīng)的;

(3)f在S到T上關(guān)于變量t是平方可積的．

對(duì)于可以寫為離散求和形式的函數(shù)，可先直觀的寫為為伊藤積分的黎曼和形式，剩下的可以分為3個(gè)步驟，即:

(1)對(duì)于v中有界且固定ω時(shí)關(guān)于變量t連續(xù)的g給出積分定義．找到初等函數(shù)列逼近此g，并證明其在L2空間中收斂到g，并證明L2空間中收斂到g．

(2)對(duì)于V中有界的函數(shù)h給出積分定義．方法是做局部光滑化，回到步驟1中函數(shù)．

(3)對(duì)于V中一般函數(shù)f，找一個(gè)有界函數(shù)列逼近它．

所以，伊藤積分是對(duì)半鞅X以及隨機(jī)過(guò)程H的積分為:

解:

用函數(shù)v(t)來(lái)近似w(t)，則設(shè)

a=t0＜t1＜ … ＜tn，h=(b－a)/n，

且 v(t)= λw(tk)+(1 － λ)w(tk－1)，tk－1≤t≤tk，?0≤ λ ≤1，

則將上式帶入整理得:

滲瀝液A/O系統(tǒng)O池為好氧處理工藝，O池的曝氣量與除臭風(fēng)量及加蓋密封效果有直接的關(guān)系。在方案確定前對(duì)曝氣量進(jìn)行了實(shí)地監(jiān)測(cè)，依據(jù)實(shí)際運(yùn)行的曝氣量乘以1.2倍的安全系數(shù)，確定除臭系統(tǒng)的風(fēng)量，以保證加蓋后的O池在運(yùn)行過(guò)程中處于微負(fù)壓狀態(tài)。

而當(dāng)上式λ取值不同時(shí)，所求的積分值也不同．

當(dāng) λ = 0.5 時(shí)，τi= 0.5(τi－1+ τi)，

由上面可以看出，可以定義兩類積分．其中時(shí)，所得積分為伊藤 (It)積分;當(dāng)λ=0.5時(shí)，所得的積分稱為斯特拉托諾維奇 (Stratonovich)積分．兩者雖有差別，但是在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換．

而通常隨機(jī)微分方程的積分形式為:

從例題可以看出，伊藤積分和通常積分不同，按照通常積分法則式，右端只有第一項(xiàng)，而伊藤積分的結(jié)果還要加上修正項(xiàng) －(b－a)/2，這是為了保證伊藤積分是一個(gè)鞅，也就是:

所以，It微分方程和Stratonovich微分方程存在以下關(guān)系:

在標(biāo)量形式下令:

在矢量形勢(shì)下令:

所以，

又因?yàn)楫?dāng)通常隨機(jī)方程中的第二個(gè)積分為Stratonovich積分時(shí)，其對(duì)應(yīng)的微分形式為:

所以，在一定條件下的Stratonovich和it積分可以相互轉(zhuǎn)換．作為拓展，把Stratonovich的多重積分記為:

其中，ji∈{0，1，…，d}對(duì)應(yīng)標(biāo)號(hào)不同的d個(gè)維納過(guò)程，并且。dw0(si)≡ dsi．為了方便，可以將Jj1，j2，…jl(t)簡(jiǎn)單寫作 J(j1，j2，…，jl)，其積分形式寫作

例如:

j10多重積分記做:其中其中ji∈{0，1，…，d}，對(duì)應(yīng)標(biāo)號(hào)不同d個(gè)維納過(guò)程并且dw0(si)≡ dsi。在本文中I(j1，j2，…，jl)(t)可以簡(jiǎn)單記為I(j1，j2，…，jl)，該積分可寫作

由于上述文章中的高階數(shù)值方法使用了兩種隨機(jī)積分，［t，t+h］上的J1和J10/h，它們可以通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)數(shù)得到u，v～N(0，1)得到

所以，常見(jiàn)的Stratonovich積分和it積分之間的關(guān)系有: