沈潮海

函數(shù)y=x+ （m>0），很多老師在教學(xué)中會(huì)冠以它一個(gè)響亮的名字——“對(duì)勾”函數(shù)，這樣似乎既形象直觀地刻畫了這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)特征，又能讓學(xué)生加深對(duì)它的印象.但是如果函數(shù)y=x+ （m>0）可以叫“對(duì)勾”函數(shù)，那么y=x+ （m<0）該叫什么呢？筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，所謂的“對(duì)勾”函數(shù)只不過是雙曲線家族的普通一員，若長期冠以“對(duì)勾”這樣的“頭銜”，那么在掩蓋它的真實(shí)身份的同時(shí)，也掩蓋了它的更多的性質(zhì).接下來，就來揭開函數(shù)y=x+ （m≠0）的真實(shí)面紗.

1.庖丁解牛

高中階段主要研究了焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線方程，以下對(duì)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 - =1（a>0，b>0）舉例說明.

因?yàn)殡p曲線 - =1（a>0，b>0）在平移變化和旋轉(zhuǎn)變化下的形狀不發(fā)生變化，其中在平移變化下為： - =1（a>0，b>0），方程結(jié)構(gòu)沒有大的變化，雙曲線的各種性質(zhì)也容易研究，此處不做展開.而在旋轉(zhuǎn)變化下， - =1（a>0，b>0）結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生很大的變化.

引理：點(diǎn)P（x，y）在平面直角坐標(biāo)系下，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變化，記為R ，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)P′（x′，y′）.

（1）R 對(duì)應(yīng)于矩陣，R =cosα -sinα|sinα cosα；（2）x′y′=R xy=cosα -sinαsinα cosαxy，

即：點(diǎn)P（x，y）在R 變化后的點(diǎn)P′（x′，y′）滿足：x′=xcosα-ysinαy′=xsinα+ycosα.

設(shè)P（x，y）為雙曲線 - =1（a>0，b>0）上任意一點(diǎn)，在R 變化后的點(diǎn)為P′（x′，y′），

所以x′=xcosα-ysinαy′=xsinα+ycosα（α為旋轉(zhuǎn)角）…（*）

雙曲線 - =1（a>0，b>0）的兩條漸近線l ：y= 和l ：y=- x，記l 的傾斜角為θ（其中tanθ= ），現(xiàn)將l 繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) -θ，使得l 與y軸重合，取α= -θ，所以有cosα= sinα= 代入（*）得x′= x- yy′= x+ y…（1）

解得x= y= 又 - =1，所以 - =1，整理后得：y′= x′+ ，

令：k= ，m= ，則有：y′=kx′+ （k∈R，m>0）…（2）

2.柳暗花明

通過上述證明，函數(shù)y=kx+ （k∈R，m>0）的圖像可由雙曲線通過旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)然y=kx+ （m>0）的真實(shí)身份就是雙曲線.

結(jié)論：函數(shù)y=kx+ （k∈R，m≠0）的圖像為雙曲線.

注：m<0的圖像，可由m>0時(shí)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱變換得到.

所以所謂的“對(duì)勾”函數(shù)y=x+ （m>0）的圖像，其實(shí)質(zhì)是一雙曲線，當(dāng)然y=x+ （m<0）也是一雙曲線。那么雙曲線y=x+ （m>0）與y=x+ （m<0）它們之間有什么關(guān)系呢？

3.順藤摸瓜

既然函數(shù)y=kx+ （k∈R，m>0）的圖像為雙曲線，當(dāng)然它也具有雙曲線的一些性質(zhì)。

（Ⅰ）根據(jù)（2）k= ，m= ，以及旋轉(zhuǎn)前雙曲線的離心率e= 得，雙曲線y=kx+ （m≠0）的離心率與k的關(guān)系為：k= .

（Ⅱ）由（1）的旋轉(zhuǎn)變化，雙曲線 - =1的另一漸近線l ：y=- x在旋轉(zhuǎn)變?yōu)閥′= x′，即：雙曲線y=kx+ （m>0）的兩條漸近分別為直線x=0和y=kx.

特別地：當(dāng)a=b，即e= 時(shí)，k=0，雙曲線y= （m>0）是由等軸雙曲線 - =1，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到，其中m= ，且兩條漸近分別為直線x軸和y軸.

注：m<0的圖像，可由m>0時(shí)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱變換得到.

結(jié)論：反比列函數(shù)y= （m≠0）的圖像為等軸雙曲線.

（Ⅲ）雙曲線y=kx+ （m≠0），當(dāng)m>0時(shí)，實(shí)軸長=2 ；虛軸長=2 ；當(dāng)m<0時(shí)，實(shí)軸長=2 ；虛軸長=2 ；焦距=4 .

（Ⅳ）y=kx+ （m≠0）與y=kx- （m≠0）互為共軛雙曲線.

反思：雖然函數(shù)的圖像很多情況下可以直觀地刻畫函數(shù)的性質(zhì)，但是圖像畢竟只是函數(shù)的“表象”，我們要通過“表象”看事物的本質(zhì)，只有看透了事物本質(zhì)，才能胸有成竹，百戰(zhàn)不殆，抓住事物本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.