郭桂芳，朱昌杰，彭太樂(lè)，葛方振

（淮北師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

圖像分割在很多領(lǐng)域中起著重要作用，如計(jì)算機(jī)視覺(jué)、模式識(shí)別和醫(yī)療成像［1-2］.模糊C-均值算法（簡(jiǎn)稱(chēng)為FCM）由于將像素的隸屬模糊性應(yīng)用到圖像分割中，在過(guò)去的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，它在模糊分割方法中應(yīng)用較多.與其他方法相比，F(xiàn)CM能夠從原始圖像中獲取更多的信息［3］.但處理對(duì)比度低，噪聲大的圖像存在不足.有的研究者開(kāi)始考慮在FCM引入空間約束信息來(lái)處理對(duì)噪聲敏感的圖像.

近年來(lái)，將核聚類(lèi)算法應(yīng)用于圖像分割成為一種發(fā)展趨勢(shì)，是一種較權(quán)威的具有較好的魯棒性與普適性的方法［4］.來(lái)源于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的核方法是一種較新的方法.該方法利用非線性映射，把樣本映射到高維特征空間.判定樣本的類(lèi)別依據(jù)是樣本與聚類(lèi)中心之間的歐氏距離.對(duì)于線性不可分的數(shù)據(jù)能夠較好地進(jìn)行聚類(lèi)［5］.而其他傳統(tǒng)的FCM算法，在這種情況下不能實(shí)現(xiàn)較好的分類(lèi)效果.FCM聚類(lèi)是基于準(zhǔn)則函數(shù)的非線性迭代優(yōu)化算法，運(yùn)算復(fù)雜度較大，在特征數(shù)和樣本數(shù)較多時(shí)速度慢；并且，初始值的選擇直接影響到聚類(lèi)結(jié)果及收斂速度的好壞程度.選擇不合適的初始值甚至導(dǎo)致非常慢的聚類(lèi)速度或是收斂到錯(cuò)誤的極小點(diǎn)［6-8］.

為了解決傳統(tǒng)方法FCM初始值選擇問(wèn)題，論文中提出基于直方圖信息結(jié)合數(shù)學(xué)期望理論，尋找聚類(lèi)中心的新算法.在圖像直方圖中計(jì)算兩個(gè)相鄰波谷之間的聚類(lèi)中心的灰度級(jí)，作為該算法的先驗(yàn)初始值.本文將分類(lèi)算法分為2步：首先，利用直方圖的信息尋找聚類(lèi)中心；隨后，在初始聚類(lèi)中心的前提下，采用模糊核聚類(lèi)KFCM［9-10］，得到最終分類(lèi)結(jié)果.

1 模糊核聚類(lèi)算法

設(shè)輸入空間的樣本xi∈RN,i=1,2,…,l, 通過(guò)某種非線性映射Φ，映射到特征空間Η，得到Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xl).在高維特征空間中用Mercer核函數(shù)形式表示為

模糊核聚類(lèi)算法的目標(biāo)函數(shù)：

由非線性映射Φ，得

代入Mercer核函數(shù)，可得

在更多的核函數(shù)中，高斯核函數(shù)是普遍使用的核函數(shù)［11］.利用Lagrange乘數(shù)法求解，得到

模糊核聚類(lèi)算法的具體步驟如下：

Step1：初始化聚類(lèi)類(lèi)別數(shù)C和加權(quán)指數(shù)m，從樣本點(diǎn)中C個(gè)構(gòu)成初始聚類(lèi)中心，并設(shè)定一個(gè)小的正數(shù)ε為迭代停止閾值；

Step2：選擇核函數(shù)，一般為高斯核函數(shù)；

Step3：由公式（6）計(jì)算并更新聚類(lèi)中心矩陣Ε；

Step4：由公式（5）更新隸屬度矩陣U；

2 聚類(lèi)中心初始化算法

灰度直方圖表示圖像中具有某種灰度級(jí)的像素個(gè)數(shù)，屬于圖像灰度級(jí)的函數(shù).反映了圖像中某種灰度出現(xiàn)的頻率［12-13］.通常圖像中的一致性目標(biāo)區(qū)域?qū)?yīng)直方圖中含有1個(gè)波峰的鄰域.也就是說(shuō)，要確定圖像中的目標(biāo)區(qū)域，可以在全局直方圖中找到峰值區(qū)域即可.這種閾值技術(shù)即尋找波峰和波谷的方法在圖像分割中已經(jīng)被廣泛運(yùn)用.

大多數(shù)文獻(xiàn)將聚類(lèi)中心視為直方圖中波峰所對(duì)應(yīng)的灰度級(jí)，而本文先統(tǒng)計(jì)直方圖中兩相鄰波谷之間的所有像素總數(shù)，將這些像素的期望值視為“名義波峰值”；然后將所有相鄰波谷之間所有的灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的像素個(gè)數(shù)與這個(gè)期望值比較，把對(duì)應(yīng)像元個(gè)數(shù)與這個(gè)期望值最接近的那些灰度級(jí)作為聚類(lèi)中心.

設(shè)A=f(x,y)是尺度為M×N的8 bit 灰度圖像.其中A=f(x,y)為圖像在像素(x,y)處的灰度值.圖像的灰度直方圖的數(shù)學(xué)定義為：

式中，

假設(shè)圖像中有L個(gè)灰度級(jí)，R(i)表示L中第i個(gè)灰度級(jí)所對(duì)應(yīng)的像素總數(shù)，則

其中0≤i≤L-int(n/2),z是直方圖中與i相鄰灰度值的個(gè)數(shù)，z取整數(shù)值，則Tn(i)表示第i個(gè)灰度級(jí)前后z個(gè)像素灰度值的平均值.

當(dāng)

時(shí)，W即為波谷.

在圖像灰度直方圖中一個(gè)波峰處在兩個(gè)波谷之間，這個(gè)波峰可能就是一個(gè)聚類(lèi)中心，設(shè)2個(gè)波谷的灰度級(jí)為(p,q),(p,q)∈V,則p,q灰度級(jí)之間的所有灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的像素個(gè)數(shù)的期望值為：

平均灰度級(jí)等于（或接近于）期望值的兩個(gè)值作為聚類(lèi)中心.這樣獲得的聚類(lèi)中心個(gè)數(shù)較多，再把所有的聚類(lèi)中心組成新的灰度統(tǒng)計(jì)圖，利用公式（9）-（11）進(jìn)行運(yùn)算，就可以減少聚類(lèi)中心的個(gè)數(shù)，直到聚類(lèi)中心達(dá)到所設(shè)定的初始值.因此，得到聚類(lèi)中心的灰度值即分割閾值.

算法如下：

（1）利用式（7）計(jì)算直方圖的統(tǒng)計(jì)像素個(gè)數(shù)；

（2）利用式（9）計(jì)算z個(gè)i相鄰的灰度值的期望值，滿(mǎn)足式（10）的V即為波谷；

（3）求兩個(gè)波谷之間的期望值（利用式（11）），并得到聚類(lèi)中心，以此類(lèi)推，得到所有的聚類(lèi)中心；

（4）把上步驟得到的所有聚類(lèi)中心，再次利用公式（9）-（11）進(jìn)行運(yùn)算篩選，得到初始聚類(lèi)中心.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)分別選用比較經(jīng)典的Lena.bmp（像素大小為225×225）圖像、像素大小為275×183的Vege.bmp和像素大小為259×194的hill.bmp圖像.為了檢驗(yàn)算法的有效性，從大量實(shí)驗(yàn)中選取3組實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

首先，取聚類(lèi)中心C=4，用本文的核聚類(lèi)算法與標(biāo)準(zhǔn)的FCM算法作對(duì)比，分割的聚類(lèi)中心結(jié)果如表1所示.從表1可以看出，聚類(lèi)中心的差值≤2.669 1.

表1 聚類(lèi)中心（C=4）

其次，用本文算法與其他算法（標(biāo)準(zhǔn)FCM算法、KFCM算法）進(jìn)行分割效果對(duì)比.KFCM算法是假定任意的初始聚類(lèi)中心進(jìn)行分割，而本文算法先對(duì)初始聚類(lèi)中心進(jìn)行優(yōu)化，再進(jìn)行分割.分割效果對(duì)比如圖1、圖2、圖3所示.

在聚類(lèi)方法中，為了更科學(xué)地分析分割效果，評(píng)價(jià)聚類(lèi)效果的標(biāo)準(zhǔn)采用分割系數(shù)（Partition Coeffi?cient，PC）和分割熵（Partition Entropy，PE），這兩個(gè)指標(biāo)基于隸屬度矩陣并最具代表性，其定義如公式（12）-（13）：

圖1 Lena圖分割效果

圖2 Vege圖分割效果

圖3 Hill圖分割效果

在公式（12）-（13）中，C是聚類(lèi)中心的數(shù)目，N是圖像像素總數(shù).當(dāng)Vpc取最大值，Vpe取最小值時(shí)，即兩個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)為最優(yōu)值，聚類(lèi)分割效果較好.本文提出的算法和標(biāo)準(zhǔn)FCM算法兩個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)的對(duì)比結(jié)果及分割消耗的時(shí)間如表2所示.

通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)得到的分割結(jié)果可知，本文提出的算法分割效果比標(biāo)準(zhǔn)的FCM多閾值算法能有效地將目標(biāo)與背景分割開(kāi)，本文的算法能夠增強(qiáng)目標(biāo)聚類(lèi)的正確性，有效提高邊緣的模糊性，使聚類(lèi)結(jié)果更趨于完整，每個(gè)聚類(lèi)的邊緣趨于閉合，分割結(jié)果與實(shí)際情況更為接近.雖然利用迭代尋找聚類(lèi)中心，運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，但得到的最大聚類(lèi)中心之差較小，如表1所示.可見(jiàn)，本文算法有著良好的分割效果.

表2 兩種算法的評(píng)價(jià)結(jié)果

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