卓澤朋，崇金鳳，杜翠真，王 慧

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科專業(yè)一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，其基本概念、理論和方法具有很強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的應(yīng)用性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、抽象思維能力和邏輯推理能力等方面發(fā)揮著重要的作用.隨著我國(guó)高等教育的快速發(fā)展，地方院校的在校生人數(shù)急劇增加，諸多原因?qū)е聦W(xué)生的素質(zhì)參差不齊，給教師的教學(xué)帶來(lái)了一定的困難.從教學(xué)實(shí)踐看，由于線性代數(shù)學(xué)時(shí)較少、概念抽象，產(chǎn)生教師難教學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象.為此，相關(guān)專家、學(xué)者在線性代數(shù)的教學(xué)方面進(jìn)行了深入探討和研究，得到了豐富的研究成果［1-8］.文章結(jié)合我校線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)際，以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《線性代數(shù)》［9］為例，介紹筆者在多年來(lái)授課過(guò)程中的一些經(jīng)驗(yàn).

1 線性代數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀

在我校，理學(xué)、工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)的所有專業(yè)和部分文科專業(yè)開(kāi)設(shè)線性代數(shù)，涉及專業(yè)達(dá)30個(gè)之多，表1列出我校各學(xué)院開(kāi)設(shè)線性代數(shù)的情況.

表1 各學(xué)院開(kāi)設(shè)線性代數(shù)課程

不可否認(rèn)的是，目前我校線性代數(shù)教學(xué)存在不少問(wèn)題，這些問(wèn)題的產(chǎn)生既有教學(xué)方法和學(xué)習(xí)的原因，也有教材內(nèi)容等方面的原因.為了體現(xiàn)“寬口徑”的辦學(xué)思想，各專業(yè)必須增設(shè)一些選修課程，從而使得一些重要基礎(chǔ)課的課時(shí)被壓縮，但教學(xué)內(nèi)容卻不能被刪減，這直接導(dǎo)致“填鴨式教學(xué)”的加劇；現(xiàn)有的教材體系、教學(xué)內(nèi)容對(duì)相關(guān)專業(yè)的交叉滲透不夠充分，甚至沒(méi)有應(yīng)用類的習(xí)題，這導(dǎo)致學(xué)生不了解線性代數(shù)對(duì)后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)有什么作用，產(chǎn)生線性代數(shù)在自身的專業(yè)中應(yīng)用不深不廣或沒(méi)有用處的錯(cuò)覺(jué)等，影響專業(yè)課的學(xué)習(xí)質(zhì)量；缺乏具有專業(yè)特色的線性代數(shù)的教學(xué)模式.

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 知識(shí)結(jié)構(gòu)的分析

我國(guó)現(xiàn)行的線性代數(shù)［9，11］教材中，內(nèi)容主要涉及：行列式、矩陣、向量、線性方程組和二次型5部分，其中，線性方程組大一新生稍微熟悉，而其他內(nèi)容都是第一次接觸，所以很多學(xué)生把它們認(rèn)為是5個(gè)孤立的小島，學(xué)習(xí)起來(lái)非常困難.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師一定要分析5部分內(nèi)容間的關(guān)系，讓這些內(nèi)容聯(lián)系起來(lái).認(rèn)真思考，可以看到“線性方程組的求解問(wèn)題”是一條主線，它們間的主要關(guān)系可以用圖1給出：

圖1 線性代數(shù)5部分內(nèi)容的關(guān)系

由求解二元和三元線性方程組，引入了二階和三階行列式，在此基礎(chǔ)上引入了n階行列式的定義，并給出相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算方法；利用行列式，根據(jù)克拉默法則可以求解線性方程組.但是，該法則只適應(yīng)于未知量個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)且方程組的系數(shù)行列式不等于零的線性方程組，同時(shí)，計(jì)算量較大.而當(dāng)系數(shù)行列式為零，或未知量個(gè)數(shù)不等于方程個(gè)數(shù)時(shí)，就不能使用克拉默法則，為此，將借助矩陣的行初等變換解一般的線性方程組.利用矩陣，齊次線性方程組的求解問(wèn)題得到了解決，當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)限多解時(shí)，由于通解中的參數(shù)可任意取值，所以方程組的解要多少有多少，自然產(chǎn)生個(gè)問(wèn)題：在無(wú)限多解中，解與解之間有無(wú)關(guān)系？有無(wú)規(guī)律可循？為了解決這個(gè)問(wèn)題，自然地引出第4部分的向量，主要包括：向量的線性表示、向量組、向量組的線性相關(guān)性、最大無(wú)關(guān)組等概念，由此得到齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，齊次和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).第5部分二次型和相關(guān)的特征值、特征向量問(wèn)題是行列式、矩陣、線性方程組的應(yīng)用.行列式和矩陣雖然在形式上有些類似，但它們的意義是截然不同的.一個(gè)行列式是一個(gè)確定的數(shù)或代數(shù)式，而一個(gè)矩陣僅是一個(gè)數(shù)表；行列式中的行數(shù)列數(shù)必須相同，矩陣的行數(shù)列數(shù)可以不同，但二者可以通過(guò)方陣的行列式、矩陣的子式等聯(lián)系起來(lái).

2.2 結(jié)合專業(yè)，設(shè)置例題

線性代數(shù)是信息安全、通信工程等專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，因此，在日常的教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)自己的研究方向和學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，設(shè)置具有一定專業(yè)特色的例題，以加強(qiáng)專業(yè)知識(shí)的滲透，讓學(xué)生體會(huì)到線性代數(shù)在本專業(yè)的作用，從而提高他們學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣.如，在計(jì)算機(jī)與科學(xué)技術(shù)學(xué)院的信息安全專業(yè)，講授矩陣的乘法和求逆時(shí)，設(shè)置的例題是Hill密碼問(wèn)題［12］.Hill密碼是數(shù)學(xué)家Lester Hill于1929年研制的，它將明文分成m個(gè)字母一組的明文組，若最后一組不夠m個(gè)字母就加上一些字母湊夠m個(gè)字母，每個(gè)組用m個(gè)密文字母代換，這種代換由m個(gè)線性方程決定，其中字母a，b，…，z分別用數(shù)字0，1，…，25表示.若m=3，該系統(tǒng)可以用矩陣表示為：

或

其中C和P分別是密文向量和明文向量，K是密鑰矩陣，操作要執(zhí)行模26運(yùn)算.例如，用密鑰

來(lái)加密明文july.將明文分成兩個(gè)組ju和ly，分別為（9，20）和（11，24），計(jì)算如下：

因此，july的加密結(jié)果為DELW.為了解密，必須先計(jì)算密鑰矩陣K的逆矩陣

然后計(jì)算

因此，得到了正確的明文july.

設(shè)置這樣的例題，不僅讓學(xué)生直觀地掌握矩陣相乘和求逆運(yùn)算，而且了解一定的專業(yè)知識(shí)，提高了教學(xué)效果，同時(shí)也激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.3 MATLAB的引入

信息技術(shù)的飛速發(fā)展及計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用為大學(xué)理工科數(shù)學(xué)教學(xué)模式提出了新的改革思路，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，達(dá)到學(xué)以致用.線性代數(shù)理論性強(qiáng)且計(jì)算繁瑣，在教學(xué)中，如果只要求學(xué)生用筆算，既費(fèi)時(shí)又易錯(cuò)，學(xué)生感到枯燥無(wú)味.因此，在教學(xué)中積極指導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)，合理應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件來(lái)完成繁雜的計(jì)算，提高學(xué)生的動(dòng)手能力、計(jì)算能力和實(shí)踐能力.

MATLAB 是一種功能強(qiáng)大的科學(xué)與工程計(jì)算軟件，它的名字由“Matrix Laboratory”（矩陣實(shí)驗(yàn)室）的縮寫(xiě)而來(lái)，可見(jiàn)它的研究初衷是為了線性代數(shù)服務(wù)的，它具有以矩陣為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)計(jì)算與分析功能、便捷的程序設(shè)計(jì)功能，是目前最好的科學(xué)計(jì)算軟件.在教學(xué)中，在合適的時(shí)間為學(xué)生增加MATLAB的有關(guān)知識(shí)，主要包括MATLAB軟件如何解決線性代數(shù)中的問(wèn)題和MATLAB中線性代數(shù)基本的運(yùn)算命令，并要求學(xué)生上機(jī)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生切身感受到MATLAB軟件的強(qiáng)大功能.因此，將在今后的線性代數(shù)教學(xué)中，增加一定的上機(jī)實(shí)驗(yàn)課時(shí)，更好地提高教學(xué)效率和質(zhì)量，提高學(xué)生應(yīng)用軟件的能力，實(shí)現(xiàn)理論和應(yīng)用的有機(jī)結(jié)合，為學(xué)生今后的工作打下良好的基礎(chǔ).文獻(xiàn)［11］的最后一章給出MATLAB簡(jiǎn)述與應(yīng)用，在國(guó)內(nèi)的教材中還是為數(shù)不多的，這為我們開(kāi)設(shè)上機(jī)課，提供了方便.

2.4 傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)的有機(jī)結(jié)合

線性代數(shù)中，行列式、矩陣和方程組書(shū)寫(xiě)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且占用較多的空間，傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”式的教學(xué)，導(dǎo)致繁重的板書(shū)任務(wù)占據(jù)教師不少的課堂時(shí)間.因此，在實(shí)際教學(xué)中，適當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w教學(xué)，減少教師的板書(shū)時(shí)間，有更多的時(shí)間進(jìn)行講解和分析，學(xué)生有更多的時(shí)間去思考，從而優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率.現(xiàn)行的線性代數(shù)教材都有配套的課件，但基本上都是教科書(shū)的翻版，缺乏一定的靈活性和特色.針對(duì)這種情況，我校線性代數(shù)課程組的全體老師在認(rèn)真?zhèn)浜媒滩牡幕A(chǔ)上，在某些知識(shí)點(diǎn)的講授中，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平和專業(yè)特點(diǎn)，制作了具有一定特色的課件.如，在進(jìn)行行列式、矩陣和線性方程組等內(nèi)容的教學(xué)中，利用多媒體教學(xué)可以節(jié)約很多的課堂時(shí)間，提高課堂的教學(xué)效率.當(dāng)然，多媒體教學(xué)能調(diào)節(jié)演示內(nèi)容的快慢與多少，可以根據(jù)上課進(jìn)度自行控制，計(jì)算的正確性已在課下準(zhǔn)備過(guò)程中得到驗(yàn)證，不僅保證較高的準(zhǔn)確性，還提高效率，可以在有限的時(shí)間內(nèi)向?qū)W生傳達(dá)更多的內(nèi)容和信息.在進(jìn)行第四章和第五章關(guān)于向量有關(guān)知識(shí)的教學(xué)中，由于向量組線性相關(guān)性的判定、推導(dǎo)和證明，邏輯性強(qiáng)，用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，更易講清知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生易于接受.

2.5 實(shí)行教考分離

教考分離一直是我校高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程實(shí)行的考試制度.任課教師不參與課程的期末試卷的命題、試卷分析，嚴(yán)格實(shí)行流水閱卷，借助學(xué)校的教務(wù)系統(tǒng)，建立一套包括試卷庫(kù)、考試分析和成績(jī)管理等各種制度完整的考核系統(tǒng).通過(guò)實(shí)行教考分離，使教師自覺(jué)地按照課程教學(xué)大綱進(jìn)行教學(xué)，注重教學(xué)研究，主動(dòng)改進(jìn)教學(xué)方法，力求好的教學(xué)效果；使學(xué)生樹(shù)立端正的學(xué)習(xí)態(tài)度，努力學(xué)習(xí)并掌握課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)受課程學(xué)習(xí)結(jié)束后的考試檢驗(yàn)，形成重教重學(xué)的良好氛圍，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

3 建議

3.1 教師的自身水平

教學(xué)的主體是學(xué)生，教師為主導(dǎo)，搞好教學(xué)的關(guān)鍵在于要有一支高素質(zhì)的教師隊(duì)伍，這不僅要求教師具備較高的知識(shí)水平，而且要有敬業(yè)精神.在眾多高校，線性代數(shù)的任課教師都是出身數(shù)學(xué)專業(yè)，他們要面對(duì)整個(gè)學(xué)校開(kāi)設(shè)該課程的所有本科生，雖然這些教師擁有較高的數(shù)學(xué)知識(shí)，但缺乏相應(yīng)專業(yè)知識(shí)的了解，從而導(dǎo)致在教學(xué)中針對(duì)性不強(qiáng).為了改變這種情況，建議邀請(qǐng)相關(guān)專業(yè)資深教師對(duì)線性代數(shù)的任課教師進(jìn)行培訓(xùn)，主要介紹線性代數(shù)在該專業(yè)的具體應(yīng)用.同時(shí)，每年在安排教學(xué)任務(wù)時(shí)，相關(guān)專業(yè)的線性代數(shù)任課教師盡量固定，這樣任課教師能充分地了解學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，從而在備課中更具有針對(duì)性，真正做到因材施教.經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的積累，這些任課教師的教案可以形成具有專業(yè)特色的線性代數(shù)講義，以供后來(lái)的教師和學(xué)生使用和參考.

3.2 教材建設(shè)

要積極進(jìn)行地方院校的線性代數(shù)教材建設(shè)，編寫(xiě)適合地方院校實(shí)際的教材.關(guān)于線性代數(shù)的教材問(wèn)題，文獻(xiàn)[3，15]比較和分析中外線性代數(shù)的區(qū)別，從中可以看出，國(guó)內(nèi)線性代數(shù)教材內(nèi)容和系統(tǒng)比較完整、理論性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯清晰、敘述詳細(xì)；而國(guó)外教材與國(guó)內(nèi)教材相比，其內(nèi)容緊密結(jié)合生產(chǎn)生活實(shí)際、信息量大、較強(qiáng)的時(shí)代感和現(xiàn)代性、習(xí)題內(nèi)容豐富、新穎等特點(diǎn)，這也是地方院校在線性代數(shù)教材的改革中要注意的問(wèn)題.

雖然現(xiàn)在出版一些面向地方院校的線性代數(shù)教材，但這些教材的水平參差不齊，有的具有一定的功利性，如為了評(píng)職稱；同時(shí)，即使有好的教材，在地方院校由于評(píng)估等種種原因也很難推廣，而不得選擇面向重點(diǎn)高校的規(guī)劃教材.我校目前使用的線性代數(shù)教材［9］，是國(guó)內(nèi)高校廣泛使用、考研指定參考書(shū)目,經(jīng)過(guò)多年教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)和多次修訂，在內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、應(yīng)用等各方面都更加成熟和完善，具有一定的特色，概念引進(jìn)時(shí)盡量做到簡(jiǎn)明、自然和淺顯；教材淡化了定理的推導(dǎo)；強(qiáng)調(diào)了方法的訓(xùn)練、簡(jiǎn)明扼要，贏得多數(shù)教師和學(xué)生的喜愛(ài)［15］.但必須看到，在使用這些教材的高校中，有很多是重點(diǎn)高校.而地方院校無(wú)論是生源還是培養(yǎng)目標(biāo)及學(xué)校的地位都不同于重點(diǎn)高校，絕大多數(shù)畢業(yè)生都將直接走向社會(huì)，因此在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中必須強(qiáng)調(diào)知識(shí)產(chǎn)生和應(yīng)用，使學(xué)生掌握知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用，才符合地方院校學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo).

4 結(jié)語(yǔ)

“數(shù)學(xué)正突破傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向幾乎所有的人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，并越來(lái)越直接地為人類物質(zhì)生產(chǎn)與日常生活做出貢獻(xiàn).同時(shí)，數(shù)學(xué)作為一種文化，已成為人類文明進(jìn)步的標(biāo)志”［16］.作為地方院校的數(shù)學(xué)工作者，肩上擔(dān)負(fù)著重要的責(zé)任，我們一定要結(jié)合學(xué)校和學(xué)生實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為他們終身學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)、做準(zhǔn)備.

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