吳長理

【摘 要】高中數(shù)學(xué)課程是義務(wù)教育后普通高級中學(xué)的一門主要課程，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中對二次函數(shù)應(yīng)用顯得十分重要。首先，要進一步深入理解函數(shù)概念；其次，要理解二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象；最后，二次函數(shù)的知識，可以準確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；函數(shù)概念；數(shù)學(xué)思維

《高中數(shù)學(xué)新課程標準》明確規(guī)定，高中數(shù)學(xué)課程是義務(wù)教育后普通高級中學(xué)的一門主要課程，它包含了數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容，是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有基礎(chǔ)性。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容，因此，在高中數(shù)學(xué)中對二次函數(shù)應(yīng)用顯得十分重要。那么，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何深入研究應(yīng)用二次函數(shù)呢？

一、要進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：

類型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1）

這里不能把?（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

二、要理解二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，-b2a]及[-b2a，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅱ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）y= x2+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類型Ⅲ：設(shè)二次函數(shù)?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當(dāng)X∈（0，x1）時，證明X

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)?（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0< x2。

解題思路：

本題要證明的是x

（Ⅰ）先證明x

因為00，又a>0，因此?（x） >0，即?（x）-x>0.至此，證得x

根據(jù)韋達定理，有x1x2=ca∵ 0?（0），所以當(dāng)x∈（0，x1）時?（x）

（Ⅱ）∵?（x）=ax2+bx+c

=a（x+-b-2a）2+（c-b2—4a），（a>0）

函數(shù)?（x）的圖象的對稱軸為直線x=-b-2a，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b-2a，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-b--1-a，∵x2-1-a<0，∴x0= -b-2a=12（x1+x2-1-a）

二次函數(shù)有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

總之，二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，只有在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中多關(guān)注這方面知識，才能對它的研究更深入。