谷建生 李 宏 魏 環(huán) 莫文玲

(河北聯(lián)合大學(xué)理學(xué)院 河北 唐山 063000) (河北聯(lián)合大學(xué)以升創(chuàng)新教育基地 河北 唐山 063000)

靜止電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)電荷還能產(chǎn)生磁場(chǎng)，這是大學(xué)物理教材中的基本教學(xué)內(nèi)容.但兩者之間的相對(duì)性，一般的大學(xué)物理教材不涉及，或者雖有涉及，但幾乎無(wú)一例外地是在狹義相對(duì)論基礎(chǔ)上，先得到電磁場(chǎng)的相對(duì)論變換，然后再討論運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)的聯(lián)系.物理專業(yè)用的電磁學(xué)教材[1,2]和一些文獻(xiàn)[3,4]也基本上是按這個(gè)思路對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行討論.本文以運(yùn)動(dòng)電荷相對(duì)導(dǎo)體圓環(huán)運(yùn)動(dòng)為例，在麥克斯電磁理論的體系下，闡明運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的聯(lián)系，以展示電磁場(chǎng)的相對(duì)性.

圖1 點(diǎn)電荷和導(dǎo)體圓環(huán)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同參考系感受到電場(chǎng)和磁場(chǎng)的不同

如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)電荷相對(duì)導(dǎo)體圓環(huán)以速度v向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同參考系會(huì)感受到不同的電場(chǎng)和磁場(chǎng).若以圓環(huán)為慣性參考系，如圖1(a)所示，該系不僅感受到了電場(chǎng)E，而且也一定會(huì)感受到磁場(chǎng)B，因?yàn)殡姾蛇\(yùn)動(dòng)就形成了能激發(fā)磁場(chǎng)的電流.若以點(diǎn)電荷為慣性參考系，相當(dāng)于圓環(huán)向左運(yùn)動(dòng)，如圖1(b)所示，該系只感受到靜電場(chǎng)E′，不會(huì)感受到磁場(chǎng)B′，即B′=0.那么圓環(huán)系下所感受到的這個(gè)磁場(chǎng)B是獨(dú)立的嗎？還是與電場(chǎng)E有什么聯(lián)系呢？下面在圓環(huán)系下展開(kāi)討論.

在圓環(huán)系下，由麥克斯韋位移電流假說(shuō)，有如下的安培環(huán)路定理

(1)

其中L是圓環(huán)本身所構(gòu)成的回路，S是以圓環(huán)為邊界所構(gòu)成的曲面，上式可展開(kāi)為

?SE(t)?dS

(2)

其中的E(t)和E(t+dt)為圓環(huán)系不同時(shí)刻感受到的電場(chǎng)，如圖2中(a)和(b)所示.麥克斯韋方程組在不同慣性系下都成立，所以圓環(huán)系下電場(chǎng)要滿足高斯定理，但要注意圓環(huán)系下電場(chǎng)是隨時(shí)間變化的，所以我們要用某一時(shí)刻電場(chǎng)的高斯定理，這里用時(shí)刻t+dt電場(chǎng)E(t+dt)的高斯定理

?側(cè)面E(t+dt)?dS+?SE(t+dt)?dS+

?S(t+dt)E(t+dt)?dS=0

(3)

高斯面的選擇如圖2(c)所示，其中的S(t+dt)是假設(shè)圓環(huán)與電荷一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，t+dt時(shí)刻圓環(huán)所圍的曲面，圖中用虛線表示，高斯面內(nèi)顯然不包圍電荷.高斯定理中S(t+dt)和S的正方向都是沿高斯面的外法線方向，現(xiàn)在改變S(t+dt)的正方向以與S的正方向一致，則由式(3)有

?側(cè)面E(t+dt)?dS=-?SE(t+dt)?dS-

?S(t+dt)E(t+dt)?dS

(4)

圖2

注意比較圖2(c)和(a)可以看出，t+dt時(shí)刻電場(chǎng)E(t+dt)通過(guò)S(t+dt)的電通量等于t時(shí)刻電場(chǎng)E(t)通過(guò)S的電通量，即

?S(t+dt)E(t+dt)?dS=?SE(t)?dS

(5)

將式(2)、(4)和(5)三式聯(lián)立，就可得到

(6)

由矢量運(yùn)算法則有

E(t+dt)?dS=dS?E(t+dt)=

-dl×vdt?E(t+dt)

(7)

將式(7)代入式(6)，式(6)右面的面積分化為沿圓環(huán)的線積分，得到

(8)

將式(8)中的前兩個(gè)dt直接消去并令最后一個(gè)dt→0，就得到

∮LB?dl=μ0ε0∮Ldl×v?E(t)=

μ0ε0∮Ldl×v?E=

μ0ε0∮Lv×E?dl

(9)

上式中的E(t)直接換為E，因?yàn)檫@就是電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的瞬時(shí)關(guān)系，再利用光速c與μ0，ε0的關(guān)系，由式(9)可得

(10)

上式表明，圓環(huán)系雖然感受到了磁場(chǎng)B，但這磁場(chǎng)并不是獨(dú)立的，與該系感受到的電場(chǎng)E有關(guān)，且滿足式(10).實(shí)際上，無(wú)論是點(diǎn)電荷動(dòng)還是圓環(huán)動(dòng)，都只是參考系選擇的不同，按相對(duì)性原理，兩種情形就不應(yīng)該有根本的差別.既然點(diǎn)電荷系肯定沒(méi)有感受到磁場(chǎng)，而圓環(huán)系卻肯定感受到了磁場(chǎng)，那么磁場(chǎng)的有無(wú)就只能成為相對(duì)的了.式(10)的結(jié)論也支持了這點(diǎn)，這說(shuō)明電場(chǎng)和磁場(chǎng)實(shí)際上是同一客體——電磁場(chǎng)在不同參考系下的不同反應(yīng)而已.此例在麥克斯韋電磁理論的體系下，既給出了運(yùn)動(dòng)電荷所產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的聯(lián)系，也很好地展示了電磁場(chǎng)的相對(duì)性.

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)(上冊(cè))(第二版)．北京：高等教育出版社，1985

2 賈起民，鄭永令，陳暨耀．電磁學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，2001

3 鄭永令．運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)與畢奧-薩伐爾定律. 大學(xué)物理，1993(4):3～6

4 張貴銀，陳素敏．簡(jiǎn)析運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng). 物理通報(bào)，1998(8)：42