王云創(chuàng) 劉俊杰 邢 娟

(濱州醫(yī)學(xué)院物理學(xué)教研室 山東 煙臺 264003)

1 引言

在凸透鏡成像過程中，物距、像距之間的變化關(guān)系受透鏡成像高斯公式[1～3]的約束，調(diào)節(jié)透鏡成像時，透鏡和像的速度之間保持一個動態(tài)的關(guān)聯(lián)關(guān)系[4～6].若物固定不動而透鏡沿主光軸做勻加速直線運動時，像也必然隨著透鏡做相應(yīng)的運動，那么像的速度和加速度隨時間的變化規(guī)律如何？下面將推導(dǎo)這種變化規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式，并且結(jié)合繪制的函數(shù)關(guān)系曲線對其物理意義進(jìn)行分析探討.

2 公式的導(dǎo)出

建立如圖1所示的坐標(biāo)系.

圖1 成像光路圖

物P固定于坐標(biāo)原點O處，物經(jīng)凸透鏡成像P1.設(shè)x為物距即透鏡L的位置坐標(biāo)，s(x)為像的位置坐標(biāo)，則像距為s(x)-x.令透鏡自x=x0>f處(成實像)以恒定加速度a0沿x軸正方向做初速度為零的勻加速直線運動.顯然，透鏡的速度為v0(t)=a0t，物距為

據(jù)薄透鏡成像公式

整理可得像的位置坐標(biāo)為

(1)

對式(1)分別求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得像的速度v(t)和加速度a(t)的表達(dá)式為

(2)

(3)

為了能定量地看出v(t)、a(t)隨t的變化規(guī)律，不妨取a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，分別代入式(2)、(3)，繪得像的速度v(t)和加速度a(t)隨時間t的變化規(guī)律曲線，如圖2，3所示.從圖2,3 可見，速度v(t)和加速度a(t)的大小和方向均隨時間t發(fā)生變化，都有一個極值點，并且經(jīng)過一定時間后速度v(t)與時間t成線性關(guān)系，而加速度a(t)趨向恒定值.

圖2 v(t)-t曲線

圖3 a(t)-t曲線

3 分析討論

3.1 像的速度v(t)的極值

為推導(dǎo)方便，令Δ=x0-f.對v(t)求導(dǎo)即利用式(3)令a(t)=0，整理可得

Δ(Δ2-f2)=0

令y=t2,代入上式整理得

令

代入上式整理得

則上述方程的有效解為

利用上述有關(guān)變換關(guān)系式可得

(4)

將式(4)代入式(2)可得速度極值的一般表達(dá)式，但公式太煩瑣，此處僅以具體數(shù)據(jù)來驗證，即將a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，代入式(4)可得速度v(t)極值點處對應(yīng)的時間的平方數(shù)值為

即

t2≈0.519 s2t≈0.720 s

將該時間值代入式(2)、(3)，可得像的速度極值和該時間對應(yīng)的像的加速度值分別為v≈-16.834 cm/s和a=0，從圖2,3也可看出.

3.2 像的加速度a(t)的極值

將式(3)求導(dǎo)并令其等于零，整理得像的加速度極值點處對應(yīng)的時間為

或

(5)

將式(5)分別代入式(2)、(3)，可得加速度極值時對應(yīng)的像的速度和加速度的一般式為

(6)

(7)

將a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，代入式(5)、(6)、(7)，可得像的加速度a(t)的極值點對應(yīng)的時間t2=2 s2，即t≈1.41 s，此時對應(yīng)的加速度的極值為a=16.25 cm/s2，該時間對應(yīng)的像的速度為v=-8.839 cm/s，從圖2,3可看出這種對應(yīng)關(guān)系.

3.3 像的速度和加速度的趨向值

3.4 像的速度和加速度方向發(fā)生改變的轉(zhuǎn)折點

對于速度v(t),令式(2)等于零可解得對應(yīng)的兩個時間為

取a0=5 cm/s2，x0=20 cm，f=15 cm，可得t=2 s.圖2可見，tt2時，v(t)>0 ，即像的速度與透鏡的速度方向相反；t>t2時，v(t)>0 ，即像的速度與透鏡的速度方向相同.將t2代入物距公式，可得x=2f，說明像的速度方向發(fā)生改變的轉(zhuǎn)折點在兩倍焦距處.

對于加速度a(t),當(dāng)

時，a(t)<0，即像的加速度與透鏡的加速度方向相反.當(dāng)時，a(t)>0，即像的加速度與透鏡的加速度方向相同.

4 小結(jié)

由于物距和像距受到透鏡成像公式的約束，或者說物和像的速度、加速度間的關(guān)系也必然相互制約，因此像的運動規(guī)律不但復(fù)雜且很難想象，通過上述公式描述、圖形化處理以及關(guān)鍵點的分析，對像的運動規(guī)律給出了比較清晰的全貌情況，對于學(xué)生理解透鏡成像規(guī)律具有一定的指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)

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