林雪嫦

摘要：練習(xí)是檢查數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成果的重要手段，也是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的重要途徑。高質(zhì)量的、有針對(duì)性的習(xí)題，不僅可以使學(xué)生跳出“題海”，而且能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。本文結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐，從五個(gè)方面論述了如何精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)習(xí)題，提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；習(xí)題設(shè)計(jì)；教學(xué)實(shí)效

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）04-0119

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生有將近二分之一的時(shí)間在做練習(xí)。因此，練習(xí)的質(zhì)量?jī)?yōu)劣，直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)的效果好壞。然而，在教學(xué)中，很多教師關(guān)注的比較多的是教學(xué)目標(biāo)定位是否準(zhǔn)確、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)是否科學(xué)、教學(xué)方法是否創(chuàng)新以及教學(xué)課件制作是否精巧。而對(duì)課后習(xí)題的關(guān)注往往很少。我們走進(jìn)數(shù)學(xué)教師的辦公室，普遍看到的是現(xiàn)成的教輔或者是統(tǒng)一征訂的試卷，很少有數(shù)學(xué)教師親自精選或編寫習(xí)題。其實(shí)，練習(xí)是檢查數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成果的重要手段，也是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的重要途徑。高質(zhì)量的、有針對(duì)性的習(xí)題，不僅提高學(xué)生做題的興趣，而且提高學(xué)生數(shù)學(xué)的解題能力。優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì)，能更好地彰顯數(shù)學(xué)魅力，同時(shí)也能引導(dǎo)學(xué)生順利地進(jìn)入數(shù)學(xué)殿堂?？梢哉f(shuō)，習(xí)題是打開(kāi)數(shù)學(xué)大門的一把金鑰匙。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剶?shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)的方法。

一、精心設(shè)計(jì)易錯(cuò)題，打破學(xué)生思維定勢(shì)

學(xué)生在解題的時(shí)候，往往受定勢(shì)思維和解題習(xí)慣的影響，對(duì)于習(xí)題中條件的變化，他們還是會(huì)照搬例題的解題方法和思路，不能做到隨題應(yīng)變。因此，教師應(yīng)通過(guò)易錯(cuò)題來(lái)幫助學(xué)生真正理解和思考問(wèn)題。然后讓學(xué)生總結(jié)錯(cuò)識(shí)的原因，從而讓他們發(fā)現(xiàn)在解題時(shí)思維上的誤區(qū)和方法上的不足。

案例1：《一元二次方程的應(yīng)用》的習(xí)題。

一淘寶商家進(jìn)了一批手機(jī)充電寶，準(zhǔn)備在“雙11”促銷，該充電寶的進(jìn)價(jià)為40元。經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，如果銷售價(jià)標(biāo)為50元，可售出180個(gè)，定價(jià)每增加1 元，銷售量將減少10個(gè)，該商家若準(zhǔn)備在這一天獲利1600元，則應(yīng)該進(jìn)貨多少，定價(jià)為多少？

說(shuō)明：該題與浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第41頁(yè)A1題相似。不同的是，教材中習(xí)題最后求出的兩個(gè)根都是正數(shù)，且都符合題意。而解本題：設(shè)定價(jià)為（50+x）元，則每銷售一個(gè)獲利（50+x-40）元，共銷售（180-10x）個(gè)。根據(jù)題意得（50+x-40）（180-10x）=1600，解得方程的兩個(gè)根x1=-2，x2=10，其實(shí)也符合題意。但是學(xué)生往往會(huì)把x1=-2舍去，以為漲價(jià)不能為負(fù)數(shù)。這是受“人數(shù)”、“長(zhǎng)度”等量不能為負(fù)數(shù)的定勢(shì)思維的影響。因此，設(shè)計(jì)該題的目的是幫助學(xué)生消除定勢(shì)思維的影響，使之清楚地了解進(jìn)價(jià)、定價(jià)、漲價(jià)各種量之間的關(guān)系。避免解一元二次方程在兩根的取舍上出現(xiàn)錯(cuò)誤。設(shè)計(jì)該題，既考慮到課題的主要內(nèi)容，又考慮到學(xué)生的薄弱點(diǎn)。

二、精心選擇針對(duì)性習(xí)題，激活學(xué)生解題思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，不同時(shí)期的作業(yè)應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平和課堂的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行精選，避免出現(xiàn)大量簡(jiǎn)單重復(fù)機(jī)械操作的作業(yè)，那樣就會(huì)讓學(xué)生深陷題海的深淵。因此有針對(duì)性地選擇一些習(xí)題，學(xué)生通過(guò)知識(shí)的同類比較，異同比較，既可以發(fā)揮學(xué)生的主體作用，化解教學(xué)的重難點(diǎn)，又能激活學(xué)生的解題思維，提高學(xué)生的解題能力。

案例2：一次函數(shù)復(fù)習(xí)

例如：在學(xué)習(xí)了一次方程（組） 、一元一次不等式和一次函數(shù)后，把相關(guān)知識(shí)歸納整理如下：

（1） 請(qǐng)你根據(jù)以上方框中的內(nèi)容在下面數(shù)字序號(hào)后寫出相應(yīng)的結(jié)論：

① ；② ；③ ；④ 。

（2）如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1 的解集是 。

說(shuō)明：在一次函數(shù)復(fù)習(xí)中，大部分學(xué)生對(duì)一次函數(shù)概念、圖象位置、增減性都很清楚，真正困難在于：在圖象和表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)有用的信息來(lái)解決問(wèn)題；用不等式、方程、函數(shù)表示現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系；用函數(shù)圖象表示方程、不等式之間的相互關(guān)系等等。因此，設(shè)計(jì)這樣的一組習(xí)題，展開(kāi)對(duì)函數(shù)、方程、不等式之間關(guān)系用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行知識(shí)梳理，有的放矢，化解教學(xué)難點(diǎn)，提高學(xué)生的解題能力。

三、精心設(shè)計(jì)梯度題組，糾正學(xué)生模糊認(rèn)知

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生難免會(huì)在認(rèn)知上出現(xiàn)一些偏差，并且他們自己也不會(huì)察覺(jué)。要澄清這些潛意識(shí)中存在的模糊認(rèn)識(shí)，就要采用一些適當(dāng)?shù)膯?wèn)題和方法，讓學(xué)生加以辨析，這樣有助于學(xué)生明晰知識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化解題思維。

第一，并列式題組：

習(xí)題設(shè)計(jì)要立足于數(shù)學(xué)核心知識(shí)。因?yàn)榫o扣核心知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)題組，就是抓住了教學(xué)的重難點(diǎn)。而隨著這些題組慢慢解開(kāi)，教學(xué)的重難點(diǎn)也就一步一步被攻克。

案例3：在復(fù)習(xí)特殊四邊形時(shí)，筆者設(shè)置了這樣一組題：

判斷下列各題是對(duì)是錯(cuò)。對(duì)的說(shuō)明理由，錯(cuò)誤的舉出反例。

1. 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。（ ）

2. 一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。（ ）

3. 對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形。（ ）

4. 對(duì)角線互相垂直且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。（ ）

5. 一組鄰邊相等，且有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形。（ ）

6. 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。（ ）

7. 兩個(gè)角相等的梯形一定是等腰梯形。（ ）

說(shuō)明：這一組問(wèn)題都設(shè)有“陷阱”，學(xué)生假如沒(méi)有認(rèn)真分析，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，通過(guò)這7個(gè)命題的分析，澄清學(xué)生的模糊認(rèn)知，增強(qiáng)了思辨能力。很多學(xué)生被第2、3、5、7題所蒙蔽。僅僅知道它是錯(cuò)誤的，卻不能舉出反例，表現(xiàn)出思維的膚淺。于是筆者組織學(xué)生對(duì)習(xí)題進(jìn)行充分討論與交流，進(jìn)行反例的構(gòu)建，得出如下結(jié)論：第2題、第3題、第5題的反例分別為：圖1、圖2、圖3，第7題的反例為“直角梯形”。

第二，遞進(jìn)式題組：

數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)的原則之一是由易到難，循序漸進(jìn)，需要有層次性。這樣一步步將問(wèn)題難度加深，讓不同層次的學(xué)生都能達(dá)到有效訓(xùn)練的目的。從而揭開(kāi)題目的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的解題思維。

案例4：為了加深學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的理解，筆者設(shè)計(jì)了下列一組遞進(jìn)式題組：

（1）如果等腰△ABC的一個(gè)底角為70°，那么它的頂角∠A度數(shù)是多少？

（2）如果等腰△ABC的頂角∠A為70°，那么它的底角∠B、∠C度數(shù)是多少？

（3）如果等腰△ABC的一個(gè)內(nèi)角為70°，那么它的其余的內(nèi)角度數(shù)各是多少？

（4）如果等腰△ABC的一個(gè)內(nèi)角為110°，那么它的其余的內(nèi)角度數(shù)各是多少？

（5）如果等腰△ABC的一個(gè)內(nèi)角為n°，那么它的其余的內(nèi)角度數(shù)各是多少？

說(shuō)明：該題組中的（1）、（2）題立足于等腰三角形的兩個(gè)底角相等這一基本性質(zhì)，第（3）題則需要考慮這個(gè)70°內(nèi)角的位置，第（4）題需要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)內(nèi)角為鈍角時(shí)，它的位置只能是頂角。否則，就不符合三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°的性質(zhì)了。第（5）題則是用字母代替數(shù)，需要綜合考慮上述的各個(gè)因素，難度又有所增加。通過(guò)這樣的習(xí)題，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)定理的理解和直接應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生積極思維，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

四、精心設(shè)計(jì)開(kāi)放性習(xí)題，發(fā)展學(xué)生的求異思維

解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，方法往往是多種多樣的。學(xué)生可以從不同的角度、不同的方法去思考。而改變題目的條件或結(jié)論，增加題目的開(kāi)放程度，可以幫助學(xué)生尋找不同的解決途徑和思維方式，從而使學(xué)生掌握解決同類問(wèn)題的方法和規(guī)律，提高學(xué)生的綜合應(yīng)變能力。

案例5：相似三角形復(fù)習(xí)課，筆者設(shè)計(jì)了如下的開(kāi)放性習(xí)題：

（1）如圖4，D、E兩點(diǎn)分別在△ABC的邊AB、AC上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，△ADE與△ABC相似（寫出一個(gè)即可）？

（2）如圖5，銳角△ABC中，AB>AC，過(guò)AB上一點(diǎn)D作直線DE交另一邊于點(diǎn)E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形。

（3）如果將問(wèn)題2中的“銳角△ABC”改為“Rt△ABC”，（如圖6），其他條件不變，畫出滿足條件的圖形。

這種開(kāi)放性的習(xí)題，由于答案不是唯一，學(xué)生就有了想象與創(chuàng)造的空間。他們?cè)趯で蟠鸢傅倪^(guò)程中，發(fā)散思維與求異思維得到了發(fā)展。在講評(píng)習(xí)題的過(guò)程中，全體學(xué)生參與討論，他們各抒己見(jiàn)、互相啟發(fā)、取長(zhǎng)補(bǔ)短，學(xué)習(xí)的積極性得到充分調(diào)動(dòng)，教學(xué)效果比較明顯。

五、精心設(shè)計(jì)變式題，開(kāi)拓學(xué)生解題思路

當(dāng)前，很多學(xué)業(yè)考試的題目是由數(shù)學(xué)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行改編。這類原題知識(shí)覆蓋面廣，同時(shí)又強(qiáng)調(diào)對(duì)“四基”（即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）的考查，適當(dāng)對(duì)教材中的探究、例題、練習(xí)進(jìn)行類比、加工、改造，設(shè)置不同的情境或變換條件，讓習(xí)題盡量多地回歸教材，既能開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，更能培養(yǎng)學(xué)生駕馭教材知識(shí)的能力。

原題1：如圖9，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AE⊥BF，求證：AE=BF。

原題2：如圖10，O是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，EF、GH都過(guò)點(diǎn)O，EF⊥GH，AE=CF。

（1）以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將整個(gè)圖作旋轉(zhuǎn)變換，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少度，所得的像和原圖形重合？

（2）根據(jù)第（1）題的結(jié)果，判斷圖中有哪些全等的四邊形。

（3）若CF=2，CG=6，求圖中每個(gè)四邊形的面積。

在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)，我們可以對(duì)它進(jìn)行變式：

變式1：如圖11，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AE、BF交于點(diǎn)O，∠AOF=90°，求證：BE=CF。

變式2：如圖12，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、H、F、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的長(zhǎng)。

變式3：已知點(diǎn)E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4，直接寫出下列兩題的答案：

（1）如圖13，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)；

（2）如圖14，矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)。（用含n的代數(shù)式表示）。

（上接第120頁(yè)）

說(shuō)明：變式1與原題1基本一樣，只是把結(jié)論改變了一下。變式2是在變式1的基礎(chǔ)上，把兩條線段進(jìn)行平移，而這兩條線段的長(zhǎng)度保持不變。學(xué)生弄清楚變式1的思路，該題就能迎刃而解。變式3又在變式2的基礎(chǔ)上，把1個(gè)正方形變成2個(gè)全等的正方形和n個(gè)正方形讓學(xué)生分析兩條線段的關(guān)系。因此，在教學(xué)中，精心選擇一些例題、習(xí)題或數(shù)學(xué)題材，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)耐卣够蚋木?，引?dǎo)學(xué)生深入數(shù)學(xué)的本質(zhì)來(lái)理解知識(shí)，從而訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性。

實(shí)踐證明，選用與設(shè)計(jì)的習(xí)題，既要考慮涵蓋教材的內(nèi)容，注重各知識(shí)點(diǎn)的考查，又要關(guān)注學(xué)生的學(xué)情，考慮作業(yè)的難度與層次。設(shè)計(jì)的題型精一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)學(xué)得活一點(diǎn)。習(xí)題設(shè)計(jì)得新一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)做得有趣一點(diǎn)。由此觀之，精心設(shè)計(jì)習(xí)題是輕負(fù)提效、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑。

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（作者單位：浙江省永嘉縣甌北第五中學(xué) 325102）