張立宏

有這樣一道例題：同室四人各寫1張賀卡，先集中起來再進(jìn)行分配，規(guī)定每個(gè)人不能拿自己寫的賀卡，問有多少種不同的分配方法？

分析：對于這道題目我們可以從兩個(gè)角度考慮：

4張賀卡編號為A、B、C、D后排成一排，要求A不在第一位，B不在第二位，C不在第三位，D不在第四位。依題意可列樹形圖如下：

B C D

A C D D D A C C A

D D A A B D B A B

C A C B A B A B C

由樹形圖可知：共有9種不同的分配方案。

觀察題目特點(diǎn)，我們可以逆轉(zhuǎn)思路。讓四個(gè)人去拿賀卡，分下列兩步進(jìn)行：第一步：讓第一個(gè)人首先去拿，有3種方法。第二步：第一個(gè)人選中的賀卡是誰的就讓他接著選擇賀卡，有3種方法，剩下的兩個(gè)人的拿法只有1種。由分步計(jì)數(shù)原理可知有3×3=9種不同的方法。

變形引申：（1）我們改變題目中的數(shù)量關(guān)系可得如下問題：將標(biāo)有1、2、3號的小球放到有1、2、3標(biāo)號的盒子中，要求每個(gè)盒子放1個(gè)球，并且球的編號和盒子的編號不同，問有多少種不同的投放方法？

分析：由前面的問題可知：方法有2種。

（2）將（1）中球和盒子的個(gè)數(shù)增加到5個(gè)，有多少種不同的投放方法？

分析：此題若采用樹形圖的話，數(shù)量關(guān)系比較大，不易得出答案，所以我們采用計(jì)數(shù)原理解決。

從整體上分兩步：第一步：先放1號球，有4種不同的方法。第二步：假設(shè)第一步中1號球放入了5號盒，則我們第2次選擇放置5號球。在此我們放置5號球又可分為兩類：第一類：若5號球放入1號盒，則剩下的3個(gè)球的放法有2種。第二類：若5號球不放入1號盒，則我們可知有3種放法，則由前面的分析可知剩下的球有3種方法。

綜合一、二兩步可知有：4×（2+3×3）=44種放法。

總結(jié)：在上面的三道題中，我們充分利用了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，那么我們以后在解決類似問題時(shí)不妨將這三個(gè)結(jié)果當(dāng)成結(jié)論應(yīng)用到解決類似問題中。

練習(xí)：設(shè)有編號為1、2、3、4、5、6、7的7個(gè)球和編號為1、2、3、4、5、6、7的7個(gè)盒子，要求每個(gè)盒子中放入1個(gè)球，并且要求恰有兩個(gè)球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法有多少種？

分析：由題可知分兩步：①選出編號相同的兩個(gè)球有21種選法；②剩下的5個(gè)球的編號與盒子的編號各不相同，由前面的結(jié)論可知有44種不同的方法。

所以，由分步計(jì)數(shù)原理可知有21×44=924種方法。

由以上的介紹可知，我們在解題時(shí)對一些典型問題的處理方法和最后結(jié)論要引起注意，并且要適時(shí)應(yīng)用到解題中，這樣可以拓寬我們的思路，節(jié)省我們的解題時(shí)間。

（河北省遵化市第一中學(xué)）