楊 光 邱國民

（海南師范大學(xué)，海南 ?？?571158）

高中物理學(xué)習(xí)的內(nèi)容，延續(xù)初中物理對一些基本量的定性研究，逐步滲入更多的定量計算，介紹一些基本定律，并研究如何帶領(lǐng)學(xué)習(xí)者把基本定律用于解決生活實際問題，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者應(yīng)用物理理論知識解決現(xiàn)實問題的素養(yǎng)。其間，在掌握物理量與物理定律的基本含義的基礎(chǔ)上，解題過程中通過建立數(shù)學(xué)模型，加深對物理知識的理解。一個物理問題的解決，經(jīng)歷分析理解、簡化假設(shè)、數(shù)學(xué)建模、求解驗證幾個過程[1]，下面以實例進行演示分析。

一、物理學(xué)習(xí)中的比例關(guān)系建模

許多物理定律和規(guī)律都存在一個物理量與另一（或幾個）物理量之間的比例關(guān)系。如萬有引力定律、胡克定律（F=k·x）、初速為零的勻變速直線運動的位移與時間的變化規(guī)律 （X=at2）、庫侖定律、電阻定律、氣體三定律和理想氣體的狀態(tài)方程等等，類似這樣的比例關(guān)系在中學(xué)物理中不勝列舉，理解了它們的物理意義，運用數(shù)學(xué)的比例關(guān)系來解決有些物理問題非常方便。

圖1

例證：如圖1所示，三根粗細一樣上端開口的長玻璃管，其中都有一段水銀柱封閉下面氣體，且 V1=V2＞V3，h1＜h2=h3， 三者原先溫度相同，后來又緩慢升高相同溫度，則管中水銀柱向上移動最小的是哪一管[2]。

解析：由于三管中氣體上方水銀柱長度不變，大氣壓一定，故三管中被封氣體均作等壓膨脹。

因C管V初最小，所以△Vc最小，即C管中水銀向上移動最少。

此題的結(jié)論就是通過比例關(guān)系，利用數(shù)學(xué)的分比定律求得，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的在解決物理問題的作用。

應(yīng)用比例關(guān)系進行建模，一般步驟：一是要理解分析，二是依題意列出各物理量間的比例關(guān)系，三是利用數(shù)學(xué)建模尋求問題突破，五是求解驗證。

二、物理學(xué)習(xí)中的幾何圖形建模

運用幾何圖形表達、推導(dǎo)某些物理過程和結(jié)論，在考試說明中有明確的要求，且在歷年高考物理題中都有所體現(xiàn)。如：帶電粒子進入有界的磁場中運動就是要通過建構(gòu)幾何圖形解決物理問題。

例證：一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于OX軸的速度V從Y軸上的a點射入圖2的圖中。為了使該點能從x軸上的b點以垂直于OX軸的速度V射出，可在適當(dāng)?shù)胤郊右粋€垂直于XY平面的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域最小半徑。重力忽略不計[2]。

解析：帶電質(zhì)點在勻強磁場的洛倫茲力作用下做勻速圓周運動發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

題設(shè)質(zhì)點自a點射入，從b點射出，兩方向垂直，因此在磁場區(qū)域中它的徑跡應(yīng)是半徑等于R的圓上的圓周，并分別與Va、Vb方向相切，過a點作平行X軸直線，過b點作平行Y軸直線，則與兩直線均相距為R的點O′就是上述圓的圓心。質(zhì)點在磁場區(qū)域中的徑跡就是以O(shè)′為圓心，R為半徑的圓上的圓弧，M點和N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上 （如圖2所示）。

圖2

以 M、N兩點連線 MN為弦可以作許多圓。其中圓面積最小的一個是以MN為直徑的圓，圓心為O″。

這個圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：

此題就是較強地運用幾何圖形結(jié)合物理過程進行數(shù)學(xué)建模，從而求得結(jié)果。在幾何光學(xué)中更大量地用到幾何知識，這里就不列舉例證。

三、物理學(xué)習(xí)中的不等式關(guān)系建模

圖3

物理量經(jīng)常要求指出它的上限或下限，有時要指出它可能存在范圍，這往往要運用不等式進行建模。

例證：如圖3所示，在當(dāng)光滑的絕緣水平面上，有一不導(dǎo)電的輕質(zhì)彈簧，彈簧兩端分別與金屬小球A和B（均可視為質(zhì)點）相連，若讓它們帶上等量同種電荷，彈簧伸長量為X1，若讓它們電量均增加為原來2倍，則不管彈簧的原長和X1關(guān)系如何，此時彈簧的伸長量X2的值應(yīng)在什么范圍。

解析：設(shè)彈簧原長為L0（自由長），勁度系數(shù)為k，設(shè)A、B兩球原來的帶電量都為q，根據(jù)題意，由庫侖定律得下列方程：

所以：X2<4X1。

因X2>X1，

此題是典型的物理問題利用等式經(jīng)過合理處理轉(zhuǎn)化為不等式，從而求得物理量的取值范圍。這也是解決物理量極值問題的有效方法。

四、物理學(xué)習(xí)中的函數(shù)圖象建模

用函數(shù)圖象表述物理規(guī)律是研究物理問題常用的一種方法，在2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試安徽卷考試說明理科綜合物理部分中對應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題能力闡述的最后一句話是：“必要時能運用幾何圖形函數(shù)圖象表達分析”，有些復(fù)雜的物理問題只有用函數(shù)圖象才能解析。例如波在中學(xué)階段尚不能用解析式來描述，應(yīng)用波的圖象來表達、分析是重要的也是唯一的數(shù)學(xué)手段。

例證：在xy平面內(nèi)有一沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，波速為1米/秒，振幅為4厘米，頻率為7.5赫茲，在t=0.1時刻，P點位于其平衡上方最大位移處，則距P為0.2米的Q點（如圖4所示）。

A.在0.1秒時位移是4厘米

B.在0.1秒時的速度最大

C.在0.1秒時的速方向向下

D.在0到0.1秒時間內(nèi)路程為4厘米

解析：先畫出t=0時刻波形，要畫波形必須求波長λ，根據(jù)公式和題給條件有：λ=v·f=1/2.5米=0.4米。

圖4

按照題意，t=0時波形圖如圖5中實線表示，P點位于平衡位置上方最大位移處，即Yp=4厘米，與其相距0.2米 （恰好相距為半波長），Q點顯然應(yīng)在YQ=-4厘米處，又該波的周期T=1/f=1/2.5秒=0.4秒，所以T=0.1秒時，即在0到1/4T時，根據(jù)波向右（X軸正方向）傳播，此時波形圖如圖虛線表示，P、Q兩質(zhì)點分別在P′、Q′位置，且Q點經(jīng)4厘米路程后正在通過平衡位置以最大速度向上運動。

綜上所述，選項B、D正確。

應(yīng)用函數(shù)圖象解題，形象、直觀、思路清楚，即能達到化難為易的目的，又訓(xùn)練了學(xué)習(xí)者靈活多變的思維能力。

通過以上物理學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模實例分析,我們不難看出,數(shù)學(xué)建模是解決物理問題的一種重要思想方法。運用數(shù)學(xué)建模處理物理問題既是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)能力體現(xiàn)，又是提高學(xué)習(xí)者有效學(xué)習(xí)的重要途徑。當(dāng)然，除以上物理問題用到數(shù)學(xué)的比例關(guān)系、幾何圖形、不等式關(guān)系和函數(shù)圖象建模外，還有一些物理問題用到數(shù)學(xué)的極值、三角函數(shù)、相似三角形、等比數(shù)列、等差數(shù)列等知識進行建模。因此，在物理學(xué)科教學(xué)中一定要培養(yǎng)學(xué)習(xí)者建立數(shù)學(xué)建模的思想方法。

[1]殷堰土.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考[J].蘇州教育，2003，（3）.

[2]孫 偉.高中物理解題方法[M].延吉：延邊大學(xué)出版社，2013.