羅惠尹

【摘 要】幾何學(xué)作為反映現(xiàn)實世界空間的一門學(xué)科，是學(xué)生認(rèn)識現(xiàn)實世界的銳利武器?！翱臻g與圖形”提供了現(xiàn)實世界的一個基本模型教學(xué)中應(yīng)聯(lián)系實際，注重空間與圖形的概念的形成過程，培養(yǎng)抽象、概括的能力；注重揭示定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、類比、聯(lián)想、推廣的思維能力；注重強(qiáng)化基本圖形的識別，培養(yǎng)空間觀念和幾何直覺的思維能力；注重體驗解題的探索過程，在操作中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。使學(xué)生在一個充滿探索的過程中感悟?qū)W習(xí)，從中感受數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)的樂趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

【關(guān)鍵詞】空間與圖形；探索過程；幾何直覺

在認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系方面，“空間與圖形”的作用是不可替代的。圖形的直觀不僅為學(xué)生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，有助于學(xué)生獲得相應(yīng)的知識和技能，而且為學(xué)生自主探索圖形的性質(zhì)提供了方便，有助于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體驗數(shù)學(xué)推理的力量和證明的意義，發(fā)展空間觀念和自主創(chuàng)新的意識。根據(jù)空間與圖形的自身特點，“要讓學(xué)生親自經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”，這不僅與學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)緊密相連，而且是學(xué)生體驗、探索、經(jīng)歷獲取知識的重要途徑.我就空間與圖形的教學(xué)作了如下探索：

一、聯(lián)系實際，注重空間與圖形的概念的形成過程，培養(yǎng)抽象、概括能力

空間與圖形的概念是從客觀世界中直接或間接抽象出來的，其定義大多采用“問題情景—抽取本質(zhì)屬性—推廣到一般”的方法給出。在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，參與空間與圖形概念的形成的揭示過程，使其思維親身經(jīng)歷一個由具體到抽象、概括事物本質(zhì)的認(rèn)知過程，領(lǐng)悟知識形成過程中隱藏的思維方法，則學(xué)生獲得的不僅是圖形的概念，更重要的是拓寬了思維空間，在掌握空間與圖形概念的同時，其概括能力也得到訓(xùn)練。如“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計：通過多媒體觀看雜技《獨輪車過鋼絲》，引起學(xué)生的興趣，播放車輪在鋼絲上的特寫，提出問題：你能把這一現(xiàn)象用幾何圖形來表示嗎？引起學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。通過動手畫圖實踐，小組合作交流等形式，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，并合理分類。第一次通過直線與圓的交點的個數(shù)定量的刻畫直線與圓的位置關(guān)系。接著引導(dǎo)學(xué)生用語言描述三種位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表達(dá)能力。進(jìn)而探索圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系：①引導(dǎo)學(xué)生類比點與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，通過畫圖、測量、分析等數(shù)學(xué)活動發(fā)現(xiàn)圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，第二次定量刻畫直線與圓的位置關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；②通過小組交流與合作，交流學(xué)生自主探索的結(jié)果；③通過直線與圓的相對運動，揭示直線與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的運動變化的辯證唯物主義觀點。最終解決引例中的問題。

二、揭示定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、類比、聯(lián)想、推廣的思維能力

空間與圖形中的定理的形成大致分為兩種情況：一是經(jīng)過觀察分析，用不完全歸納法、類比方法等得出猜想，而后再尋求邏輯證明：二是從理論推導(dǎo)出發(fā)得到結(jié)論。如何在揭示定理過程中培養(yǎng)學(xué)生的能力，教學(xué)中要“推陳出新”，引導(dǎo)學(xué)生遵循從特殊到一般，從實踐到理論的認(rèn)知規(guī)律。源于生活，創(chuàng)設(shè)問題情景，激活學(xué)生的思維，調(diào)動學(xué)生的自主性和創(chuàng)造性，探究討論，最終使問題得到解決。例如，等腰三角形性質(zhì)的引入，可讓學(xué)生利用對折等腰三角形紙片，來發(fā)現(xiàn)等腰三角形的等邊對等角及底邊上的高線、底邊上的中線、頂角平分線互相重合這兩個事實，這一猜想對于不等邊三角形是否也具備？是不是所有等腰三角形都具有這兩個特點呢？再次實驗操作得出結(jié)論。然后分析證明猜想，形成定理。通過探究→猜想→歸納→論證，使學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)真理的方法，體會證明的必要性。

三、強(qiáng)化基本圖形的識別，培養(yǎng)空間觀念和幾何直覺的思維能力

就初中生而言，“空間觀念”一般是指：能夠由實物的形狀想象出幾何圖形或由幾何圖形想象出實物形狀；能夠由復(fù)雜的平面圖形分解出簡單的、基本的圖形；能夠在基本的圖形中找出基本元素及其關(guān)系；能夠根據(jù)條件作出或畫出圖形，進(jìn)行幾何體與圖形之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型；能描述實物或幾何圖形的運動與變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考。例如：圖1是由若干個小正方體搭成的幾何體，圖2是從圖1的上面看這個幾何體看到的圖形，那么從圖1的左邊看這個幾何體所看到的圖形是（ ）

學(xué)生可通過觀察、分析、思考與圖形有關(guān)的知識進(jìn)行整理，能想象出實物與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

“幾何直覺”是具有意識的人腦對于數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及規(guī)律性的敏銳的空間想象和迅速的判斷，是想象和判斷的有機(jī)結(jié)合。幾何直覺以熟悉的知識及其結(jié)構(gòu)為依據(jù)，使思維者可能實現(xiàn)跳躍、越級和采取捷徑并需要比較、分析、驗證結(jié)果，它是創(chuàng)造的先聲。創(chuàng)新，源于“問題”，往往發(fā)端于直覺。幾何圖形以直觀形象為學(xué)生進(jìn)行自主探索、創(chuàng)新活動提供了更有利的條件，在借助圖形直觀進(jìn)行合情推理的過程中，學(xué)生能增強(qiáng)探索的好奇心，加深對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力，逐步形成創(chuàng)新意識。例3：圖3，△ABC中，∠C=Rt，AC=4，BC=8，D是BC的中點，點M、N分別在BD、AC上，BM=CN=a，MN交AD于E，若以M、D、E為頂點的/角形與△ABD相似，則a的值為（ ）

此題若用常規(guī)的解法，不少學(xué)生感到困難。如果由點M、N的位置和我們所熟悉的知識就能得到MN與AB有平行和不平行兩種位置關(guān)系，可猜想選（C）或（D），再由當(dāng)a=4時，點M與點D重合，則△DME不存在，排除（C），從而選（D）。此解法利用幾何直覺和合理推理，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何直覺有時能產(chǎn)生意想不到的、甚至是奇妙的數(shù)學(xué)意境，幾何直覺的培養(yǎng)，將使思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)造性品質(zhì)得到有益的發(fā)展。

重視培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直覺對學(xué)生學(xué)好整個中學(xué)教學(xué)有著重要的意義。在學(xué)習(xí)過程中，圖形的直觀性起著重要的作用。例3：一個扇形的半徑為R，一個圓的半徑為r，若扇形的弧長等于圓的周長，則（ ）

如果從條件：扇形的弧長等于圓的周長來聯(lián)想，我們可以構(gòu)造一個圓錐模型，從而巧妙地把R和r聯(lián)系起來，即把扇形作為圓錐的側(cè)面，圓作為圓錐的底面，做成一個圓錐（如圖4，則R變成圓錐母線，r為底面半徑，在Rt△OAB中易得R>r），此解法能培養(yǎng)學(xué)生動手、動腦的能力，有利于學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造力和想象力。

實際上，數(shù)學(xué)通過數(shù)與形的聯(lián)系成為一個有機(jī)的整體，從某種意義來說，整個數(shù)學(xué)與圖形密切相關(guān)，所以，在幾何教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直覺。

四、體驗解題的探索過程，在操作中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

空間與圖形具有豐富的直觀背景，通過動手實踐，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，自主探索知識的發(fā)展過程，形成主動的學(xué)習(xí)活動，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力起到較好的作用。如折紙活動就是一種動手動腦的益智游戲。小小紙片本身易于操作，在一定程度上適合中學(xué)生好玩好動的習(xí)性，妙趣驅(qū)動著學(xué)生的思維，使數(shù)學(xué)知識面的考查情趣化、生活化，貼近了現(xiàn)實。例如取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖（1）；第二步：再把點B疊在折痕線上，折痕為AE，點B在MN上的對應(yīng)點為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）；第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖（3）；利用展開圖（4）探究：①△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論。②對于任一矩形，按照上述方法是否能折出這種三角形？請說明理由。

題目給出實踐操作過程，然后探究新問題，此過程可以憑數(shù)學(xué)知識在頭腦中想，也可動手折紙操作，而學(xué)生更樂于接受后者，通過分組合作，折疊幾種不同類型的矩形紙片會發(fā)現(xiàn)：①△AEF是正三角形，②結(jié)論不一定，觀察圖（4）可知只有當(dāng)矩形的長AD大于或等于正△AEF的邊長時才能折出。再通過證明歸納出當(dāng)寬AB≤AD時一定能折出正三角形，當(dāng)AD

新課標(biāo)不僅關(guān)心知識、技能，而且強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)的育人功能，按新課標(biāo)的要求，空間與圖形的教學(xué)將更加關(guān)心學(xué)生的“態(tài)度、情感、經(jīng)驗、生活、探究”，大力倡導(dǎo)“學(xué)生活動、自主發(fā)展、引導(dǎo)探究、合作交流、實踐創(chuàng)新”的學(xué)習(xí)方式，以真正體現(xiàn)“空間與圖形”的教育價值。

參考文獻(xiàn)：

[1]浙江省教育委員會.《義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)綱要》.浙江教育出版社，1997年11月9第二版

[2]王子興.《中學(xué)數(shù)學(xué)教育心理研究》.湖南師范大學(xué)出版社，1999年5月9第一版