屠傳焱

摘 要：讓數(shù)學(xué)課堂成為思維的課堂，就是把數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心. 本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，從“設(shè)”問(wèn)題、“說(shuō)”數(shù)學(xué)兩個(gè)方面論述如何訓(xùn)練思維，以增強(qiáng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞：思維訓(xùn)練；課堂教學(xué)；？搖“說(shuō)”問(wèn)題；？搖“說(shuō)”數(shù)學(xué)

■問(wèn)題提出

經(jīng)常有這樣一個(gè)現(xiàn)象：某學(xué)生在高一、高二時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不理想，到了高三，該學(xué)生刻苦勤奮，遨游題海，于是數(shù)學(xué)成績(jī)“突飛猛進(jìn)”，家長(zhǎng)、教師、學(xué)生本人總認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)得到了大幅度的提高，可是高考成績(jī)出來(lái)以后數(shù)學(xué)成績(jī)又回到原來(lái)的水平. 似乎高三一個(gè)學(xué)年的幾千道題目失去了它的實(shí)際作用.于是遺憾加迷茫，不知道高三一年來(lái)的幾千道題目效用何在？有教師給學(xué)生做的練習(xí)比別人少得多，平時(shí)成績(jī)也一般，但高考卻考的很好，尤其是高分很突出.

事實(shí)上，訓(xùn)練雖然可以調(diào)整人的行為反應(yīng)，但卻遺忘了反應(yīng)主體對(duì)外來(lái)意外事件的理解力. 大量訓(xùn)練只能解決熟悉問(wèn)題的反應(yīng)速度，不能解決新問(wèn)題.高考題目都是新問(wèn)題.如果你對(duì)這一現(xiàn)象做過(guò)調(diào)查，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)所謂“高考回歸原點(diǎn)”的這類學(xué)生往往在做題時(shí)，就題論題. 因此，他們的思維沒(méi)有得到真正的訓(xùn)練，或者思維沒(méi)有得以發(fā)展和優(yōu)化，瓶頸就沒(méi)有辦法突破，高考成績(jī)自然就不會(huì)提高.

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)課堂是訓(xùn)練學(xué)生思維最集中的場(chǎng)所. 讓數(shù)學(xué)課堂成為思維的課堂，就是把數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心. 課堂教學(xué)過(guò)程就是訓(xùn)練優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程.只有這樣，才能使數(shù)學(xué)課堂成為高效的課堂，充滿活力和創(chuàng)造力的課堂！

如何做好思維體操，增強(qiáng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力？下面談?wù)劰P者在課堂教學(xué)實(shí)踐中的具體做法.

■“設(shè)”問(wèn)題

數(shù)學(xué)教學(xué)中要形成自然的流程、高質(zhì)量的思維過(guò)程，我們要設(shè)計(jì)一連串好的問(wèn)題來(lái)引領(lǐng)學(xué)生思維的發(fā)展與優(yōu)化. 這一連串有直接或間接內(nèi)在聯(lián)系的問(wèn)題稱之為“問(wèn)題鏈”. 設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題鏈可以讓學(xué)生在自由、民主的合作、交流活動(dòng)中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).設(shè)置怎樣的問(wèn)題能訓(xùn)練學(xué)生的思維呢？筆者研究了兩種設(shè)計(jì)：“由高向低，分層設(shè)計(jì)”與“由淺入深，逐級(jí)設(shè)計(jì)”.

1. 由高向低，分層設(shè)計(jì)

所設(shè)問(wèn)題在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，從高層次的元認(rèn)知問(wèn)題到低層次的知識(shí)再現(xiàn)問(wèn)題，可以設(shè)置成幾個(gè)層次來(lái)問(wèn)，層次越高，問(wèn)題就越開放，涉及知識(shí)越少，探究能力要求就高，訓(xùn)練思維能力就越高；層次越低，涉及具體知識(shí)越多，訓(xùn)練思維能力就越低. 教學(xué)操作時(shí)，先寬后窄.思維從開放、猜想、直覺(jué)、靈感到邏輯推理、分析綜合，再到具體數(shù)學(xué)思想方法.

案例1 同角三角函數(shù)關(guān)系導(dǎo)入

先復(fù)習(xí)一下sinx，cosx，tanx三個(gè)三角函數(shù)的定義，然后可分成以下幾個(gè)層次提問(wèn). 第一層：接下來(lái)我們能做些什么呢？這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有指明目標(biāo)，自己尋找方向，要學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，屬探索、發(fā)現(xiàn)級(jí)別，教師只是提供意識(shí)上的提示；第二層：你能發(fā)現(xiàn)sinx，cosx，tanx之間有什么關(guān)系嗎？這個(gè)問(wèn)題具體到三角函數(shù)，教師提供原材料，沒(méi)提供具體方向，但指明了關(guān)系，有等量和不等量的暗示，屬探究級(jí)別；第三層：sinx，cosx，tanx之間有什么等量關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題指明方向，但沒(méi)有指明方法，有一定操作指向；第四層：利用定義或單位圓，你能發(fā)現(xiàn)什么，他們之間有什么等量關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題指明了方向，提供可能的操作工具，涉及具體的知識(shí)與方法，留給學(xué)生的只是具體地解決問(wèn)題，能力要求也就偏低. 可以看出以上每問(wèn)都是為了同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，但問(wèn)法不同，要求也就不同，教學(xué)效果也就有差異.

案例2 求y=■值域

案例1是新知識(shí)引入，這個(gè)案例是解題思路的引出，所有的知識(shí)學(xué)生都已經(jīng)學(xué)過(guò). 因此第一層是讓學(xué)生自己思考，自己研究如何解決問(wèn)題，這是第一層，屬探究級(jí)別；第二層問(wèn)：你能想到相關(guān)內(nèi)容嗎？提示要學(xué)會(huì)聯(lián)想相關(guān)可能的內(nèi)容，沒(méi)有指明方向，只是作出策略上的暗示，學(xué)生可以聯(lián)想三角函數(shù)、分式函數(shù)及結(jié)構(gòu)上類似的斜率等具體知識(shí)；第三層問(wèn)：這是什么樣的結(jié)構(gòu)形式，你會(huì)想到什么？這里指明了結(jié)構(gòu)：分式形式，暗示與分式函數(shù)相關(guān)，可以用反函數(shù)分離變量法求值域，也可以用數(shù)形結(jié)合但不具體；第四層問(wèn)：這個(gè)式子類似反比例函數(shù)及解析幾何中的斜率，你能用他們來(lái)解答嗎？這個(gè)問(wèn)題直接指明了具體的方法. 這四問(wèn)對(duì)學(xué)生提示是不同的，對(duì)學(xué)生的思維要求是由高到低.

2. 由淺入深，逐級(jí)設(shè)計(jì)

教材中有些內(nèi)容學(xué)生的經(jīng)歷少，感悟不深，尤其是起始概念、方法和思想.為了增加學(xué)生的體驗(yàn)，我們使用由低級(jí)到高級(jí)逐級(jí)鋪墊深入的設(shè)計(jì)方法，為學(xué)生提供歸納、總結(jié)的情景，讓學(xué)生在這個(gè)問(wèn)題鏈情景中體會(huì)如何步步深入探究問(wèn)題；讓學(xué)生在體驗(yàn)中逐步領(lǐng)悟知識(shí)的內(nèi)涵，從而提升學(xué)生的領(lǐng)悟與理解能力，感受問(wèn)題的解決過(guò)程.

案例3 直線與平面平行的判定引入

問(wèn)題1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B1與面ABCD是什么關(guān)系？還有類似與面ABCD平行的直線嗎？（可以問(wèn)教室頂上的直線與地面之間的位置關(guān)系）

問(wèn)題2：你會(huì)定義直線與平面平行嗎？

問(wèn)題3：任畫一直線與面ABCD平行嗎？在平面A1B1C1D1內(nèi)畫A1C1和其他比較特殊的直線呢？（可以用一個(gè)木棒比畫一下與地面是否平行？）

問(wèn)題4：用定義判定起來(lái)困難，需要找新的判定工具嗎？

這種案例設(shè)計(jì)要從學(xué)生的實(shí)際生活、學(xué)生熟悉的背景、學(xué)生已有的知識(shí)和能力出發(fā)設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)問(wèn)題鏈，讓學(xué)生有建構(gòu)的時(shí)間和經(jīng)歷.

案例4 由平行四邊形ABCD作背景設(shè)計(jì)向量減法，練習(xí)問(wèn)題鏈.

■

圖1

已知O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，若■=a，■=b，■=c，則

問(wèn)題1：■=_______，■=_______；

直接表示，讓學(xué)生熟悉向量的基本運(yùn)算及向量的平移不變性，知識(shí)單一.

問(wèn)題2：■=_______；

需要綜合問(wèn)題1的知識(shí).

問(wèn)題3：■+■=_______；

需要綜合問(wèn)題1、2及加法知識(shí).

問(wèn)題4：證明b+c-a=■；

不僅涉及背景多（向量的加法），思維方法要改進(jìn)，還涉及轉(zhuǎn)化思想與分步處理的方法.

問(wèn)題5：若P滿足■+■+■=0，則P處于△ABD的什么位置？

這個(gè)問(wèn)題不僅在運(yùn)算方法上有變化，而且解決方向是開放的，增強(qiáng)了探究的意識(shí).

這種案例設(shè)計(jì)要考慮兩個(gè)方面：一是知識(shí)、技能設(shè)計(jì)由單一知識(shí)點(diǎn)到兩個(gè)或兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)、操作與應(yīng)用；二是思維方式的設(shè)計(jì)，由直接到間接，由具體到抽象，由正向到逆向，由收斂到發(fā)散，逐步提高思維層次.

要說(shuō)明的是，兩種設(shè)計(jì)方式可以同時(shí)交叉使用，問(wèn)題的跨度可以根據(jù)自己學(xué)生能力及課堂學(xué)生思維的反應(yīng)進(jìn)行調(diào)整.

一個(gè)好的問(wèn)題，對(duì)于所授內(nèi)容來(lái)講是具有啟發(fā)意義的問(wèn)題；對(duì)教學(xué)活動(dòng)來(lái)講是具有探索和拓展意義的問(wèn)題；對(duì)學(xué)生的情感來(lái)講又是學(xué)生熟悉或感興趣的問(wèn)題；對(duì)長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)來(lái)講是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的問(wèn)題，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與創(chuàng)造性的問(wèn)題. 在平常的教學(xué)過(guò)程中，我們一方面要用新課程理念武裝自己的教育、教學(xué)觀念，學(xué)習(xí)一些教育、教學(xué)理論，用全新理念和理論分析一些好的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)，從中學(xué)習(xí)、體會(huì)其藝術(shù)性，提高自己的設(shè)計(jì)技巧與能力，另一方面我們要自己動(dòng)腦創(chuàng)作一些好的問(wèn)題設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)我們對(duì)課程資源的再創(chuàng)造，逐步提升自己的問(wèn)題設(shè)計(jì)的能力.

■“說(shuō)”數(shù)學(xué)

維果斯基說(shuō)：語(yǔ)言是思維的外殼.通過(guò)語(yǔ)言，可以了解學(xué)生的思維狀況，打開思維之門，推動(dòng)思維的發(fā)展. 在交流與表達(dá)中，“說(shuō)”數(shù)學(xué)是一個(gè)重要的方式. 所謂的“說(shuō)”數(shù)學(xué)，就是用自己的語(yǔ)言說(shuō)出數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法及解決問(wèn)題的過(guò)程與策略等數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種學(xué)習(xí)方式. 教師通過(guò)學(xué)生“說(shuō)”數(shù)學(xué)來(lái)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的應(yīng)用水平以及學(xué)生的情感、態(tài)度等等. 學(xué)生自己在“說(shuō)”數(shù)學(xué)的過(guò)程中要整理自己的知識(shí)、思路及方法，把原來(lái)不連續(xù)的、散亂的思維整理清楚，培養(yǎng)學(xué)生的歸納整理，系統(tǒng)優(yōu)化，數(shù)與符號(hào)應(yīng)用、想象、分析綜合等思維能力；學(xué)生也能從“說(shuō)”數(shù)學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步的深入思考；學(xué)生也能從“說(shuō)”數(shù)學(xué)中鍛煉自己用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與別人交流的能力，提高自己自由表達(dá)數(shù)學(xué)思想方法的自信心. 數(shù)學(xué)不同于語(yǔ)文、英語(yǔ)等文科課程. 它是以文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言組成的邏輯體系較強(qiáng)的學(xué)科，要求學(xué)生語(yǔ)言敘述要準(zhǔn)確. 大家知道，教師的語(yǔ)言表達(dá)能力會(huì)影響教學(xué)效果，同時(shí)學(xué)生的表達(dá)水平也會(huì)影響教學(xué)效果. 一個(gè)教師水平再好，若學(xué)生不說(shuō)話，老師就不能清楚學(xué)生的思維情況，教學(xué)反饋就不到位. 因此，在養(yǎng)成學(xué)生想“說(shuō)”、有話可“說(shuō)”的基礎(chǔ)上，還要加強(qiáng)學(xué)生“會(huì)說(shuō)”的訓(xùn)練，讓學(xué)生能準(zhǔn)確表達(dá)自己的思想，促進(jìn)學(xué)生各種思維的優(yōu)化.

1. “說(shuō)”概念

學(xué)生用自己的語(yǔ)言說(shuō)清概念、定理、公式等知識(shí)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)它們的記憶、理解以及提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力. 數(shù)學(xué)是用一系列的概念、定理、公式等支撐起來(lái)的具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)的體系. 學(xué)生要想說(shuō)清楚，必須要對(duì)它們理解. 有一些學(xué)生背得很熟，但讓他們用自己的語(yǔ)言說(shuō)清楚就不行了. 在教學(xué)中，我們要學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)說(shuō)所學(xué)的知識(shí)，不僅說(shuō)清楚內(nèi)含，而且說(shuō)清楚與其他知識(shí)的聯(lián)系以及它的使用范圍、注意點(diǎn)，有必要時(shí)可以讓學(xué)生舉一個(gè)例子. 通過(guò)這樣的訓(xùn)練，學(xué)生不僅理解、復(fù)習(xí)以前的知識(shí)，促進(jìn)與之相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系，而且同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力. 例如，學(xué)習(xí)了余弦定理，可以讓學(xué)生用自己的自然語(yǔ)言敘述這個(gè)定理，而不是用字母來(lái)敘述，然后再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)應(yīng)用范圍，舉一個(gè)例子. 這樣，學(xué)生就會(huì)基本應(yīng)用這個(gè)公式了，不會(huì)導(dǎo)致一些學(xué)生雖然會(huì)背，但到實(shí)際的題目中就不知道對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能正確應(yīng)用它.

2. “說(shuō)”思路

人們常常會(huì)有這種感覺(jué)：在說(shuō)話的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)自己原來(lái)的想法或思路有問(wèn)題. 事實(shí)上，人的語(yǔ)言與思維不一定是同步的. 思維有時(shí)是跳躍的，不連續(xù)的，因此在敘述的過(guò)程中，總是要思考一下如何表達(dá)；想的不一定能說(shuō)清楚，所以有時(shí)需要整理一下思路，完善自己的思路，使思路清晰. 在解題教學(xué)中，教師要求學(xué)生在過(guò)程中用玻利亞的解題順序表（“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”）來(lái)提示自己，從而提高解題的思維意識(shí)，促進(jìn)思維的連貫性. 教學(xué)中，教師僅僅要求學(xué)生寫出答案或者運(yùn)算步驟是不夠的，主要的是讓學(xué)生描述他們獲得答案的過(guò)程以及他們解決問(wèn)題時(shí)所遇到的困難，不斷鼓勵(lì)學(xué)生弄清想法，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述.

通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生往往能發(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤，比如寫錯(cuò)了、運(yùn)算錯(cuò)誤等等，也能在整理思路的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新的或更好的解法，教師也能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題，并進(jìn)行及時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥.

案例5 一次測(cè)驗(yàn)中求方程log■■+log■■=3的解集的答對(duì)率為100%，但有5人將解集寫成了解的形式. 評(píng)講教師覺(jué)得有蹊蹺，讓其中一個(gè)板演，結(jié)果是這樣的：

log■■=3，log■=3，2x=8，x=4.代入檢驗(yàn)成立，所以x=4 .

這位教師再讓學(xué)生說(shuō)理由，學(xué)生說(shuō)對(duì)數(shù)的加法法則：log■+log■=log■.

教師再問(wèn)：那么你是怎么記住對(duì)數(shù)的加法法則呢？

學(xué)生說(shuō)：記得以前我們學(xué)過(guò)的一個(gè)公式是ab+ac=a（b+c）.

試想如果教師不去問(wèn)，不去讓學(xué)生說(shuō)出自己的思考過(guò)程，就失去了了解學(xué)生的思維的機(jī)會(huì)，就不能反思自己的教學(xué)過(guò)程.

3. “說(shuō)”體會(huì)

孔子說(shuō)“學(xué)而不思則罔”，在解題結(jié)束后、在課堂內(nèi)容結(jié)束后、在章節(jié)小結(jié)處，教師要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述一下自己的體會(huì)，以促進(jìn)學(xué)生梳理知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生總結(jié)歸納的表達(dá)能力. 例如，筆者常讓學(xué)生記錄一些典型問(wèn)題，并要求寫出點(diǎn)評(píng)，點(diǎn)評(píng)這個(gè)問(wèn)題好在哪里，解題關(guān)鍵在哪里，哪些地方容易出錯(cuò)，有哪些地方值得借鑒，通過(guò)這些讓學(xué)生學(xué)會(huì)自我思維監(jiān)控，學(xué)會(huì)思考，甚至可以讓學(xué)生寫小論文，比如寫：章節(jié)總結(jié)，集合中容易出錯(cuò)的問(wèn)題；函數(shù)最值的求法，怎樣使自己思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，通過(guò)“寫”促進(jìn)深入思考.

此外，在課堂教學(xué)中可以通過(guò)參透數(shù)學(xué)思想提升思維深度，也可以從哲學(xué)角度提升思維高度.

數(shù)學(xué)思想中又蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)思維.例如，數(shù)形結(jié)合突出形象思維與抽象思維相結(jié)合的訓(xùn)練，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)劃歸映射思維等等. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的靈魂，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，它能使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和處理問(wèn)題，是學(xué)習(xí)知識(shí)、發(fā)展智力和培養(yǎng)能力相結(jié)合的法寶，教師要讓數(shù)學(xué)思想方法成為由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，促使學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成和發(fā)展.

哲學(xué)是從自然科學(xué)中總結(jié)出來(lái)的，它又可以反過(guò)來(lái)指導(dǎo)自然學(xué)科，數(shù)學(xué)當(dāng)然也不例外. 正數(shù)與負(fù)數(shù)是對(duì)立統(tǒng)一的，復(fù)數(shù)是矛盾運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，從割線到切線，分類討論是量變到質(zhì)變，抽象問(wèn)題具體化是一般與特殊等等.

在新課程教學(xué)背景下發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維品質(zhì)的學(xué)生是教育的必然和改革的需要. 只有開滿思維之花的課堂，才能讓每一個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)思維，享受學(xué)習(xí)，體驗(yàn)成功，培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維的聰明的學(xué)習(xí)者. 只有這樣的課堂，才能使師生從題海中解脫出來(lái).