印金風(fēng)

摘 要：解析幾何教學(xué)在一定程度上要將思想方法的教學(xué)滲透進(jìn)去，對(duì)解析幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行結(jié)合教學(xué)，才能使學(xué)生對(duì)其理解透徹，真正明白為什么要學(xué)習(xí)解析幾何？為什么要學(xué)習(xí)思想方法？本文以數(shù)學(xué)思想在解析幾何中的切入為視角，淺要分析解析幾何教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透和運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；解析幾何

解析幾何一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 從知識(shí)層面來(lái)說(shuō)，解析幾何有很多的基本知識(shí)，包含直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等概念及其基本性質(zhì)，這是學(xué)生必須掌握的初級(jí)學(xué)習(xí)目標(biāo)；次級(jí)目標(biāo)是學(xué)生要掌握解析幾何中曲線之間的知識(shí)銜接和整合性問(wèn)題；解析幾何教學(xué)的高級(jí)目標(biāo)是使學(xué)生掌握該版塊中的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)思想方法看到解析幾何最值、范圍類問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

對(duì)稱變換思想

對(duì)稱變換源自函數(shù). 眾所周知在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，函數(shù)的奇偶性是對(duì)稱變換最基本、最原始的形態(tài). 隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的深入，對(duì)稱變換思想也漸漸滲透到高中數(shù)學(xué)的其他章節(jié)，比如：抽象函數(shù)的對(duì)稱變換，排列組合中的位置變換、平均分組，解析幾何中的光線問(wèn)題等.

例1 光線沿直線l1：x-2y+5=0射入，遇直線l：3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.

分析：（1）入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于l對(duì)稱；（2）對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.

解析：法一：由x-2y+5=0，3x-2y+7=0得x=-1，y=2.所以反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2）. 又取直線x-2y+5=0上一點(diǎn)P（-5，0），設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′（x0，y0），由PP′⊥l可知，kPP ′=-=. 而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，Q點(diǎn)在l上，所以3·-2·+7=0.

由=-，（x0-5）-y0+7=0得x0=-，y0=-.

根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x-2y+33=0.

法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x，y），則=-. 又PP′的中點(diǎn)Q，在l上，所以3×-2×+7=0，由=-，（x0+x）-（y0+y）+7=0可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化簡(jiǎn)得29x-2y+33=0，所以所求反射光線所在的直線方程為29x-2y+33=0.

說(shuō)明：（1）綜合利用物理學(xué)知識(shí)，利用對(duì)稱變換的思想方法是求解本題的關(guān)鍵；（2）構(gòu)建方程解方程組是本題的又一重要方法；（3）坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法是對(duì)稱變換中常用的方法之一.

方程思想

方程思想是用代數(shù)的觀念解決幾何問(wèn)題的代表思想. 諸如在解決兩個(gè)函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=x2交點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，我們常?？梢詷?gòu)造新的函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），進(jìn)而研究F（x）的零點(diǎn)即可，這就是將圖形問(wèn)題代數(shù)化的典型體現(xiàn). 另外，此類思想在解析幾何初步、立體幾何教學(xué)（向量法解決角和距離問(wèn)題）都有著重要的作用.

例2 已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且PAPBsin2θ=2.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Q的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)B的直線l與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)C，使·為常數(shù). 若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

分析：（1）本題的突破關(guān)鍵在于雙曲線的定義和余弦定理；（2）由條件·建立起帶參的方程，利用參數(shù)建立的方程解決定值問(wèn)題.

解析：（1）依題意，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos2θ，

即16=PA2+PB2-2PA·PB·（1-2sin2θ）=PA2+PB2-2PA·PB+4PA·PB·sin2θ

=（PA-PB）2+8，所以（PA-PB）2=8，即PA？搖-PB？搖=2<4=AB（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B共線時(shí)也符合上述結(jié)論）.

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，所以軌跡G的方程為x2-y2=2.

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)C（m，0），使·為常數(shù)，

①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=k（x-2），聯(lián)立x2-y2=2得：

（1-k2）·x2+4k2x-（4k2+2）=0，由題意知，k≠±1.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，x1·x2=，

于是·=（x1-m）·（x2-m）+k2（x1-2）·（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2=+m2=+m2+2（1-2m）

要使·是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m=1，此時(shí)·=-1，

②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，易得點(diǎn)M（2，），N（2，-），當(dāng)m=1時(shí)，·=-1，故在x軸上存在定點(diǎn)C（1，0），使·為常數(shù).

說(shuō)明：（1）在解決與解析幾何的軌跡問(wèn)題、離心率問(wèn)題時(shí)，常常借助于解析幾何的概念，往往會(huì)使得求解軌跡方程的思路簡(jiǎn)潔明了；（2）本題中定值解法是用方程思想求m值，即圍繞“列出m的方程”求m值.

函數(shù)思想

解析幾何中的求最值、范圍等常見問(wèn)題可圍繞通過(guò)變量建立函數(shù)關(guān)系的函數(shù)思想來(lái)求解，比如可從函數(shù)的三大性一窺某些函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)等工具解決稍難的最值問(wèn)題、利用扎實(shí)的函數(shù)基本功解決解析幾何的難點(diǎn).

例3 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P，Q且·=-5. （1）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x0；（2）若以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)1，. ①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；②過(guò)點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)=λ，若λ∈[-2，-1]，求+的取值范圍.

分析：求解第2問(wèn)的關(guān)鍵是建立+關(guān)于斜率k的函數(shù)關(guān)系式，即利用函數(shù)思想來(lái)解決+的取值范圍，其本質(zhì)是求解函數(shù)的值域問(wèn)題.

解析：（1）由題意F2（1，0），F(xiàn)1（-1，0），設(shè)P（x0，y0），Q（x0，-y0），則=（x0+1，y0），=（x0-1，-y0）. 由·=-5，得x-1-y=-5，即x-y=-4①. 又P（x0，y0）在拋物線上，則y=4x0②，聯(lián)立①②易得x0=2.

（2）①易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

②容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=ky+1，將直線l的方程代入+y2=1中得：（k2+2）y2+2ky-1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（y1·y2≠0），則由根與系數(shù)的關(guān)系，可得：y1+y2=-③，y1y2= -④. 因?yàn)?λ，所以=λ，且λ<0. 將③式平方除以④式，得：++2=-？圯λ++2=-，由λ∈[-2，-1]？圯-≤λ++2≤0？圯-≤ -≤0，所以0≤k2≤.

因?yàn)?（x1-2，y1），=（x2-2，y2），所以+=（x1+x2-4，y1+y2），又y1+y2= -，

所以x1+x2-4=k（y1+y2）-2= -，

故+2=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=+=16-+.

令t=，因?yàn)?≤k2≤？搖，所以≤≤，即≤t≤，

所以+2=f（t）=16-28t+8t2=8t--. 而≤t≤，所以f（t）∈4，，所以+∈2，.

說(shuō)明：我們知道，本題中最終的函數(shù)關(guān)系是以二次函數(shù)為背景的，涉及二次函數(shù)圖象、性質(zhì)、最值等基本問(wèn)題，這足以體現(xiàn)函數(shù)思想在解析幾何問(wèn)題中的重要運(yùn)用. 筆者一直認(rèn)為，解析幾何最值問(wèn)題的教學(xué)關(guān)鍵是函數(shù)思想教學(xué)，而函數(shù)思想教學(xué)的根本在于加強(qiáng)函數(shù)模型教學(xué)，這是極為重要的環(huán)節(jié)，諸如分式函數(shù)的常規(guī)處理方式分離常數(shù)法，利用基本不等式解決的x+模型，用導(dǎo)數(shù)解決更高次的函數(shù)最值問(wèn)題等，掌握好這些內(nèi)容，對(duì)求解析幾何最值問(wèn)題大有幫助.

總之近年來(lái)，對(duì)高中數(shù)學(xué)思想方法的考查越來(lái)越受到各地高考試卷的重視，教師在解析幾何教學(xué)的初始就要全面滲透數(shù)學(xué)思想方面，提升學(xué)生通過(guò)問(wèn)題看本質(zhì)的能力，使其在掌握扎實(shí)的雙基的同時(shí)，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)的整合，最終上升到思想方法的高度進(jìn)行提煉. 久而久之的磨煉可以提升優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用諾貝爾獎(jiǎng)獲得者李政道教授的話說(shuō)：“我覺得今天取得自己的一點(diǎn)成就離不開數(shù)學(xué)的功底，而數(shù)學(xué)的功底又在于我當(dāng)年中學(xué)時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，其伴隨我研究一生.”