黃麗芳

摘 要：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不光要重視概念的運(yùn)用，更應(yīng)該注重概念的形成過(guò)程，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程.創(chuàng)造類(lèi)比發(fā)現(xiàn)問(wèn)題情境的應(yīng)用，采用類(lèi)比的方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新的概念，較好地解決了這個(gè)問(wèn)題，但也容易使新的概念，在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化與建設(shè).在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以用很多類(lèi)比。本文就以三個(gè)實(shí)例介紹了如何使用類(lèi)比法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：類(lèi)比；發(fā)現(xiàn)；引申；建構(gòu)

1 目前課堂數(shù)學(xué)概念引入的現(xiàn)狀

教學(xué)中的數(shù)學(xué)概念，一般都要經(jīng)過(guò)展示概念背景， 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景， 啟迪發(fā)現(xiàn)過(guò)程， 表述論證階段。然而，在教學(xué)中，很多教師對(duì)概念都是一語(yǔ)帶過(guò)，沒(méi)有背景，沒(méi)有平鋪，沒(méi)有引導(dǎo)，讓學(xué)生感覺(jué)突兀和生硬，機(jī)械地接受數(shù)學(xué)概念，無(wú)法實(shí)現(xiàn)自主性，失去對(duì)事物認(rèn)知應(yīng)有的一個(gè)正確過(guò)程，以及失去了在這過(guò)程中創(chuàng)造力的發(fā)展。

2 數(shù)學(xué)概念引入現(xiàn)狀產(chǎn)生的原因

造成這種現(xiàn)象形成的原因，一個(gè)方面是因?yàn)榻處熍f的教學(xué)理念，不重視在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維活動(dòng)，沒(méi)有以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自己去探索，從而達(dá)到認(rèn)知再締造的目的，實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，理解，創(chuàng)造和運(yùn)用的目標(biāo)。另一方面是許多教師不懂得如何去創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探索活動(dòng) [1 ]。

3 用類(lèi)比引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的重要性

在教學(xué)中如何建立有效的問(wèn)題情境，如何利用類(lèi)比的數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三的觀察，分析，猜測(cè)，抽象，概括這樣一種思想的傳播，探索規(guī)律，提高數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過(guò)程，提高學(xué)生認(rèn)知水平，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，這是需要改革的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念的最重要的問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)全新理念 [2 ]。

4 用類(lèi)比來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方法

4.1 問(wèn)題情景的設(shè)計(jì)

回顧已學(xué)過(guò)的相似概念，設(shè)置問(wèn)題情景，用類(lèi)比來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念。有很多類(lèi)似性質(zhì)的概念，在這些概念的教學(xué)中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生歸納已學(xué)過(guò)的概念，然后創(chuàng)建類(lèi)比問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想，試圖挖掘一個(gè)新的概念 [2 ]，這個(gè)新的概念是很容易讓學(xué)生吸收和建立在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。下面將根據(jù)本人在教學(xué)實(shí)踐中的體驗(yàn)與積累，談一談如何創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景，用類(lèi)比的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新概念。如高中數(shù)學(xué)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的教學(xué)、二面角的概念及其平面角的教學(xué)就可采用這種方法。

4.2 課堂例題展示

4.2.1 等比數(shù)列的教學(xué)

4.2.1.1 展示概念背景

向?qū)W生指出：我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，知道了處理后一項(xiàng)比前一項(xiàng)的差相等的數(shù)列，此時(shí)，我們會(huì)相應(yīng)地想到，如果是后一項(xiàng)比前一項(xiàng)的比相等，這樣的數(shù)列又是什么數(shù)列呢？

4.2.1.2 設(shè)置問(wèn)題情景

先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下等差數(shù)列的概念（包括概念的形成，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式），然后羅列出幾條等比數(shù)列的例子，如（1）3，9，27，81，243，…；（2） …；（3） -1，2，-4，8，-16，32， （4）6，6，6，6，6， …，讓學(xué)生通過(guò)這幾個(gè)例子，再通過(guò)與等差數(shù)列概念形成的類(lèi)比， 去挖掘規(guī)律。

4.2.1.3 發(fā)現(xiàn)啟蒙階段

等比數(shù)列的定義必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：等比數(shù)列的概念特征，類(lèi)比等差數(shù)列的概念，從而自己歸納出等比數(shù)列的概念如下：

進(jìn)一步誘導(dǎo)：類(lèi)比等差數(shù)列概念，上述例子中，

從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的什么是同一個(gè)常數(shù)？

因?yàn)橛辛说炔罡拍畹念?lèi)比，學(xué)生自然會(huì)先從“差”入手，發(fā)現(xiàn)差不一樣，接著他們就會(huì)把加減乘除各試一遍，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值是同一個(gè)常數(shù)。這樣，概念形成的過(guò)程就水到渠成，學(xué)生也容易理解與記住。

4.2.1.4 表述論證階段

最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)公式的推導(dǎo)來(lái)進(jìn)一點(diǎn)論證概念的正確性。

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)，是通過(guò)概念中后一項(xiàng)減前一項(xiàng)等于同一個(gè)常數(shù)，從而得出遞推公式，再根據(jù)累加法的思想把公式推導(dǎo)出來(lái)。然后讓學(xué)生類(lèi)比等差數(shù)列，思考如何得出等比數(shù)列的遞推公式。（此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從等差的公差d，思考等比的q） 再類(lèi)比累加法的思想，引導(dǎo)學(xué)生討論，應(yīng)用什么方法把等比遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式。學(xué)生自然而然還是想到嘗試加減乘除四則運(yùn)算，就慢慢探索出累乘法，從而推出等比的通項(xiàng)公式。

4.2.1.5 結(jié)果與分析

以上經(jīng)過(guò)指導(dǎo)學(xué)生鉆研等差數(shù)列概念的內(nèi)在特征，即孕育出新的概念的“延伸” [3 ]，以類(lèi)比方法獲得等比數(shù)列的定義，學(xué)生覺(jué)得這一個(gè)定義是原有定義的一種自然發(fā)展，不感到別扭，學(xué)習(xí)起來(lái)也容易理解和應(yīng)用。有很多這樣的概念，如長(zhǎng)方形對(duì)角線與長(zhǎng)方體和對(duì)角線的類(lèi)比、三角形面積和三棱錐體積的類(lèi)比、二次函數(shù)與二次方程的類(lèi)比等等。下面再來(lái)說(shuō)說(shuō)立體幾何中二面角及其平面角的概念教學(xué)。

4.2.2 二面角概念的教學(xué)

4.2.2.1 展示概念背景

前面我們學(xué)過(guò)直線與直線、直線與平面所成的角，但在實(shí)際問(wèn)題的解決中光有線線角和線面角是不夠的。如為了使堤壩堅(jiān)固耐用，大壩的上游面必須與水平面建造出適當(dāng)?shù)慕嵌?；又如飛機(jī)的起飛和下降的平面要和水平面計(jì)算好精準(zhǔn)的角度，這樣才能保證乘客的安全，為了解決像這類(lèi)的實(shí)際問(wèn)題，人們需要研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角的問(wèn)題。那么，該怎么定義兩個(gè)平面所成的角呢？

4.2.2.2 類(lèi)比發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一下，初中平面幾何中的“角”是如何定義的？

初中“角”的定義：從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。

然后再讓學(xué)生去類(lèi)比：

兩直線相交，交點(diǎn)把每一條直線分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都是一條射線。

兩平面相交，交線把每一個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫半平面。

該如何給兩相交平面所成的角下定義呢？用類(lèi)比的辦法，通過(guò)和角的概念的類(lèi)比，探討了兩個(gè)相交的平面的角度（角）的定義。

4.2.2.3 類(lèi)比擴(kuò)展階段

從二維繪圖到三維空間，即可得“從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角?！蓖瑫r(shí)用平面角表示法類(lèi)比出二面角的表示法。

4.2.2.4 表述論證階段

通過(guò)高一學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，我們知道平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形；那么，類(lèi)似地，二面角可以看作是一個(gè)半平面繞其界線旋轉(zhuǎn)到一定位置所得到的圖形。

4.2.2.5 結(jié)果與分析

用類(lèi)比的方法來(lái)學(xué)習(xí)，既能鞏固原有的知識(shí)，又能有新的發(fā)展，即所謂的“溫故知新”；也符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)原理，跳一跳夠得著；同時(shí)用類(lèi)比的方法來(lái)學(xué)習(xí)也符合建構(gòu)理論，人的認(rèn)識(shí)不是對(duì)于客觀實(shí)在的被動(dòng)的反映，而是主體以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為依托所進(jìn)行的主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，用類(lèi)比去學(xué)習(xí)可以把新知識(shí)納入原有的知識(shí)體系，并形成新的有機(jī)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)。

4.2.3 二面角的平面角的教學(xué)

4.2.3.1 展示概念背景

為了反映組成二面角的兩個(gè)半平面的相對(duì)位置即它們的開(kāi)合程度，我們有必要來(lái)研究二面角的度量問(wèn)題。

4.2.3.2 創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景：

前面我們學(xué)過(guò)兩異面直線所成的角、斜線與平面所成的角，并研究過(guò)它們的度量問(wèn)題，那么，對(duì)于二面角的大小又該如何去度量呢？我們以往是如何度量?jī)僧惷嬷本€所成的角、斜線與平面所成的角的？分別通過(guò)“取點(diǎn)、平移（相交）”（對(duì)異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對(duì)斜線與平面所成的角）去度量的。這些做法的共同點(diǎn)都是將空間角化為平面角。

4.2.3.3 類(lèi)比引申階段

將二面角的度量轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)度量。再次用類(lèi)比的方法來(lái)學(xué)習(xí)二面角的度量問(wèn)題，同時(shí)也滲透了轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法。

5 結(jié)論與總結(jié)

在數(shù)學(xué)科的學(xué)習(xí)中能用類(lèi)比的地方還有很多，如空間向量與平面向量，異面直線所成的角等等。用類(lèi)似于大家熟悉的概念（類(lèi)比的形式可以是多種多樣，如三維和二維類(lèi)比，一元二次不等式與一元二次方程的類(lèi)比，和同構(gòu)類(lèi)例，屬性類(lèi)例，方式類(lèi)例等等）讓學(xué)生能了解，理解，掌握新的數(shù)學(xué)概念。不過(guò)，類(lèi)比出的結(jié)論不一定正確，所以一定要引導(dǎo)學(xué)生去論證，不能為了節(jié)省課堂時(shí)間而跳過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，否則學(xué)生也會(huì)在做題中相應(yīng)地用這種思路而不驗(yàn)證，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

類(lèi)比教學(xué)蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)思想和方法，能激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地去探索、去比較、去分析、去歸納、去認(rèn)識(shí)新事物、去發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，維護(hù)學(xué)生的創(chuàng)造力，從而滿足素質(zhì)教育的要求。

參考文獻(xiàn)：

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