蔣國(guó)慶

摘 要：筆者參加了2013年江蘇高考數(shù)學(xué)閱卷，其間所見所聞引發(fā)了筆者對(duì)高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一些思考，主要有：（1）注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性；（2）注意解題過程的自我監(jiān)控；（3）注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)；（4）注意解題書寫的規(guī)范性.

關(guān)鍵詞：高考閱卷；解題教學(xué)

筆者有幸參加了2013年江蘇省高考數(shù)學(xué)閱卷，面對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)試卷及其出現(xiàn)的問題，感觸頗多. 下面就其中幾點(diǎn)與大家探討，希望能對(duì)今后的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)有所啟發(fā).

[?] 注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性

2013年江蘇數(shù)學(xué)高考題考查證明的主要是第16題和第20題，前者為立體幾何，后者為代數(shù)推理論證. 從閱卷情況來看，多數(shù)考生對(duì)這兩道題的證明過程存在“對(duì)而不全”的現(xiàn)象，尤其是第20題，學(xué)生的實(shí)際得分與估分相距甚遠(yuǎn).下面就以第20題為例，談?wù)劰P者對(duì)證明題教學(xué)的一些想法.

從以上解答可以看出，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確實(shí)求正確了，但以此作為證明過程卻有問題，這是典型的“以形代證”. 而本題所要求的絕不是從圖象上的直觀判斷，而是要經(jīng)過嚴(yán)密的推理把這幾個(gè)零點(diǎn)都找出來，這就要用到必修一所學(xué)的“零點(diǎn)存在性定理”. 多數(shù)一線教師對(duì)本題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)頗有微詞，也有教師對(duì)能否使用分離變量產(chǎn)生疑惑，其實(shí)分離變量的方法并不錯(cuò)，是后續(xù)證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)出現(xiàn)了問題.

我們一定要避免一種傾向：對(duì)證明過程嚴(yán)謹(jǐn)性的輕視. 數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值最重要的方面在于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.對(duì)數(shù)學(xué)文化中的理性精神，齊民友先生做出了如下的精辟論述，他說：“每個(gè)論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之以理，除了邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令，還是流行的風(fēng)尚，統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的. 這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力，用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎——宇宙和人類的真面目是什么？是人類文化發(fā)展到高度的標(biāo)志.這個(gè)偉大的理性探索是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的文化背景，反過來也是數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)于文化最突出的功績(jī)之一.” 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中對(duì)證明的處理一定要上升到“理性”的高度，即使帶有功利色彩，也應(yīng)重視其邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性. 如上述高考題，命題專家的初衷不乏對(duì)學(xué)生“理性精神”的考查，而結(jié)果卻很遺憾.

本題是一道數(shù)列題，盡管相比較以往的高考題，今年的數(shù)列題容易了許多，但解答情況也不盡如人意，其第二問80%的學(xué)生的解法是取n=1，2，3，由2b2=b1+b3列出了方程，卻算不出結(jié)果.本題較好的解法是設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為關(guān)于n的一次函數(shù)，然后利用等式恒成立做.按道理說，今年的試卷學(xué)生做到第19題時(shí)間上還是很寬裕的，應(yīng)該有時(shí)間進(jìn)行深入思考. 然而從學(xué)生的解答來看，當(dāng)取n=1，2，3解不出結(jié)果時(shí)，很少有學(xué)生能及時(shí)調(diào)整解題思路. 有教師說學(xué)生可能對(duì)等差數(shù)列的幾種表征形式不熟練，事實(shí)上有幾個(gè)學(xué)生不知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？他們真正缺乏的是對(duì)解題過程進(jìn)行自覺地監(jiān)察、檢查、評(píng)價(jià)、反饋、控制和調(diào)節(jié)，也就是解題過程的自我監(jiān)控.

自我監(jiān)控屬于元認(rèn)知范疇，在平時(shí)教學(xué)中可采用“自我提問法”和“出聲思維法”來培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控能力. 常見的自我提問問題有：?jiǎn)栴}的特征是什么？問題的條件是什么？問題的結(jié)論是什么？解決問題的計(jì)劃、步驟、方法如何？為什么采取這樣的方法？有沒有其他方法？還有什么問題可以用這種方法？通過自我提問激發(fā)學(xué)生思考，促使學(xué)生自覺地圍繞目標(biāo)制訂計(jì)劃，在解題過程中進(jìn)行有意識(shí)的檢驗(yàn)和反饋，并進(jìn)行有意識(shí)的調(diào)節(jié)和矯正. 出聲思維是指伴隨著學(xué)生的思維過程而出現(xiàn)的言語活動(dòng).它可能是學(xué)生的自言自語，也可能是由他人引發(fā)出來的言語活動(dòng). 根據(jù)夸美紐斯的教學(xué)原理“教一個(gè)活動(dòng)的最好方法是演示”，一般開始時(shí)，教師要進(jìn)行相關(guān)的示范，通過言語將自己對(duì)某個(gè)問題的思考過程呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生慢慢體會(huì)并加以模仿，逐步掌握自我監(jiān)控的技能.

[?] 注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)

江蘇省2013年數(shù)學(xué)《考試說明》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查有明確要求：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或近似計(jì)算. 雖然一線教師也清楚運(yùn)算能力的重要性，并作出了不少的努力，但從閱卷情況來看，學(xué)生的運(yùn)算能力仍然存在很大問題，應(yīng)該說學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)“任重而道遠(yuǎn)”.

第18題 如圖2，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min. 在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)膭蛩俨叫械紺. 假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1260 m，經(jīng)測(cè)量，cosA=，cosC=.

本題原型來源于課本，語言通俗易懂，建模難度不大. 筆者閱卷發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生題意是理解了，運(yùn)算能力卻不過關(guān)，導(dǎo)致失分.由上述參考解答可以看出，本題運(yùn)算量并不太大，只是運(yùn)算步驟略多，有些數(shù)據(jù)看上去比較復(fù)雜. 學(xué)生看到大一點(diǎn)、復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)據(jù)，就沒有信心算下去了.

運(yùn)算能力的培養(yǎng)是一個(gè)大課題，限于水平，筆者僅就非智力因素方面提幾點(diǎn)建議，供大家參考.

1. 樹立正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算觀

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，是運(yùn)算技能與邏輯思維能力等的一種獨(dú)特的結(jié)合. 一些學(xué)生把“運(yùn)算”錯(cuò)誤地看成“死算”，不需要?jiǎng)幽X筋，是純粹的“體力活”，做題目只注重研究思路，而不動(dòng)手算一遍，從而導(dǎo)致在解題中“眼高手低”，久而久之，在考試中“一算就錯(cuò)”、“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生. 學(xué)生對(duì)運(yùn)算的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，直接影響了自身運(yùn)算能力的提高.要改變這些現(xiàn)狀，就要經(jīng)常強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手算”的重要性. 只有親自算一遍，才能知道哪些地方被卡住算不下去；只有親自算一遍，才能體會(huì)其中的一些算理、技巧、難點(diǎn).

2. 改進(jìn)教學(xué)，讓學(xué)生樂于運(yùn)算

在許多學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)運(yùn)算是枯燥無味的. 在教學(xué)中，教師可通過設(shè)疑置難，使學(xué)生的思維經(jīng)常處于“心憤憤口悱悱”的狀態(tài)，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲. 例如，教師在運(yùn)算時(shí)，偶爾故意寫錯(cuò)一些步驟或者假裝算不下去等，啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤或幫助教師算下去，而學(xué)生因?yàn)橛邪l(fā)現(xiàn)教師錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)，或者勝過教師的機(jī)會(huì)，則會(huì)對(duì)相應(yīng)的題目變得感興趣，從而全身心投入到運(yùn)算中去；也可在教學(xué)中進(jìn)行各種解題比賽，讓學(xué)生和其他學(xué)生比，甚至和教師比，以此激發(fā)學(xué)生興趣，使他們樂于運(yùn)算.

3. 培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)

在解題中，一些學(xué)生一旦碰到復(fù)雜一點(diǎn)的運(yùn)算，就“舉手投降”， 意志品質(zhì)薄弱. 李明振對(duì)意志品質(zhì)與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系作了研究，并得出結(jié)論：意志品質(zhì)水平的高低與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的優(yōu)劣有著極為密切的內(nèi)在聯(lián)系，即成績(jī)優(yōu)秀組學(xué)生的各項(xiàng)意志品質(zhì)的均分均高于成績(jī)不良組學(xué)生各項(xiàng)意志品質(zhì)的均分；對(duì)學(xué)業(yè)成績(jī)影響較顯著的兩種意志品質(zhì)為自覺性和堅(jiān)持性. 培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)，教師要在學(xué)生的自覺性和堅(jiān)持性上下工夫.尤其是堅(jiān)持性，教師可有意識(shí)地選擇運(yùn)算繁一點(diǎn)的題目加以訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生敢于運(yùn)算，迎難而上，永不言棄.

4. 注意解題書寫的規(guī)范性

規(guī)范書寫，這是一個(gè)老生常談的話題，也是一個(gè)怎么強(qiáng)調(diào)都不為過的問題.這里的“規(guī)范”有兩層含義，一是態(tài)度上要認(rèn)真，二是表述要到位.

認(rèn)真書寫，卷面整潔，讓閱卷教師非常容易地看清楚答案，確保不被誤判. 雖然高考閱卷有2評(píng)、3評(píng)，但若學(xué)生寫得太潦草了，幾個(gè)教師都看不清的概率還是存在的. 不光作文有印象分，數(shù)學(xué)也有，并不是我們想象那樣，數(shù)學(xué)一定不是對(duì)就是錯(cuò).因?yàn)榻獯痤}的評(píng)分有允許誤差，為了盡可能確保所評(píng)閱試卷與其他教師成功配對(duì)，閱卷教師往往在能確認(rèn)給分的基礎(chǔ)上，根據(jù)允許的誤差作適當(dāng)?shù)母?dòng). 如果考生能把過程寫得規(guī)范、易認(rèn)，那自然容易得到評(píng)卷教師的認(rèn)可，適當(dāng)加分的幾率就增大；反之，如果學(xué)生寫的內(nèi)容要閱卷教師仔細(xì)辨認(rèn)一番才能確認(rèn)正確與否，自然不容易被認(rèn)可，被扣分的幾率就增大.

本題評(píng)分時(shí)主要看兩個(gè)結(jié)論，A-1正確得5分，A-1B正確得5分；其中矩陣中四個(gè)數(shù)字對(duì)3個(gè)得3分；若A-1求錯(cuò)，則不往下看. 按理說，本題比較簡(jiǎn)單，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)明確，應(yīng)該是一道好改的題，而事實(shí)并非如此，在評(píng)卷過程中出現(xiàn)了許多意想不到的問題，特別是由于書寫不規(guī)范而導(dǎo)致被扣分的情形令人記憶猶新. 主要有兩種情形，一是學(xué)生將矩陣符號(hào)寫成豎線（行列式），二是將“A-1=”中等號(hào)寫得太短，看上去像冒號(hào). 在制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，專家認(rèn)為如果連最基本的書寫都馬虎的話，就不具備進(jìn)一步深造的素質(zhì)，這兩種情形相應(yīng)步驟的得分全部扣去. 閱卷時(shí)筆者就發(fā)現(xiàn)有一考生結(jié)論全對(duì)而得了零分，就是因?yàn)閷⒌忍?hào)寫成了冒號(hào)，可憐且可恨！

sinα+sinβ=1 后就直接寫出答案，閱卷教師看不出解方程的思路和過程從而扣分. 南師大寧連華教授強(qiáng)調(diào)，解答題的過程一定要突出關(guān)鍵，要讓人看得清解題思路在哪里，不能只是看看、猜猜，關(guān)鍵處要說明理由，本題尤其強(qiáng)調(diào)計(jì)算推理過程，絕不能跳步驟.

另外，立體幾何的解答也是書寫不規(guī)范的重災(zāi)區(qū). 許多學(xué)生“想當(dāng)然”，亂用條件，有部分學(xué)生把由圖看出的結(jié)論直接拿來當(dāng)條件使用，或者用結(jié)論推條件再證明結(jié)論而出現(xiàn)循環(huán)論證等等. 南師大葛軍教授認(rèn)為，規(guī)范的書寫應(yīng)該包含以下幾方面的要求：（1）正確，邏輯上沒有問題；（2）表述簡(jiǎn)明；（3）符合文本格式.其中，最重要的是一定要正確，但考生立體幾何書寫筆誤較多. 2013年高考閱卷不承認(rèn)筆誤，若某個(gè)步驟出現(xiàn)筆誤，則后續(xù)解題不得分.

解答題的書寫是許多學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，“花點(diǎn)時(shí)間”讓學(xué)生練習(xí)規(guī)范書寫也是值得的，對(duì)于一道題，可以嘗試讓學(xué)生多寫幾遍，最終再與比較規(guī)范的書寫對(duì)照，找出問題所在，反復(fù)練習(xí)，最終使學(xué)生潛移默化地養(yǎng)成規(guī)范書寫的習(xí)慣.