李斯林

摘 要：教學是圍繞學生展開活動的，教學要服務于學生的一切需求，因此教師要學會從學生的視角看問題，備課也不例外. 本文從“四個理解”出發(fā)：理解課標，準確定位課時學習目標；理解概念，準確把握內涵與外延；理解文本，準確建構知識發(fā)生發(fā)展的思維框架；理解主體，在元認知基點上引領學生主動探究，談如何備課.

關鍵詞：高中數學；備課；四個理解；實效

備課，是每一位教師課前必做的工作，是教師上好課的前提和保障.為了課堂教學更具針對性，筆者從“四個理解”的角度對備課進行了嘗試，取得一定的成效. 下面以冪函數的備課為例，談如何基于“四個理解”，提高備課實效性.

[?] 理解課標，準確定位課時學習目標

學習目標是教師課堂教學設計的主要依據，是學生學習活動時要達到的預期目標. 學習目標的制訂要依據課程標準、教學內容，同時還要考慮學生的基礎，摸清學情，符合學生的認知規(guī)律，并具有可操作性.

冪函數在《普通高中數學課程標準》（簡稱課標）中是這樣描述的：“通過實例，了解冪函數的概念；結合函數y=x、y=x2、y=x3、y=、y=x的圖象，了解它們的變化情況.” 從中我們可以發(fā)現冪函數的學習，需要通過對實例的感受，逐步歸納出形式化的定義. 問題情境，可以選擇生活中的實例，也可以選擇數學內部的例子，讓學生先從具體開始，歸納出一些共同的特征，再加以科學的抽象，逐步歸納出冪函數的定義，最后結合五個具體冪函數，通過動手操作，感受圖象，觀察、總結出冪函數的變化情況和一些性質.

由此冪函數的學習目標可以確定為：

（1）通過實例直接感知，了解冪函數的概念；會畫五個具體冪函數的圖象，了解它們的變化規(guī)律和性質.

（2）了解冪函數圖象的變化規(guī)律和性質；會用冪函數的單調性比較大小，解決簡單的實際問題.

（3）進一步體會蘊涵在探索過程中的數形結合、分類討論、類比和歸納的思想方法；同時學會合作意識，提升小組共同探究能力.

[?] 理解概念，準確把握內涵與外延

1. 冪函數的形式化定義

必修1教材（蘇教版）對冪函數的概念描述為：“一般地，我們把形如y=xα的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數.” 這個定義包括三個方面：函數的解析式、自變量是x、α是常數. 其中表達式左邊是因變量，右邊是系數為1的指數冪形式，底數是自變量，指數是常數. 在教學時，我們可以列舉一些與冪函數形式上相似的函數，讓學生自主辨認、闡述理由，同時要求學生嘗試寫出幾個“類冪函數”，讓其他學生進行辨認. 這樣學生通過活動理解冪函數的本質，能做到熟練辨認冪函數.

2. 指數的取值范圍

課標要求研究五種類型的冪函數，它們的指數分別是1、2、3、-1、. 然而教科書的練習題、習題中卻出現了其他的指數類型，我們不難發(fā)現這些指數都是有理數，它們的圖象和性質可以類比于這五種類型給出. 據此表明高中階段研究的冪指數α為實數，且冪函數只研究α為有理數的比較簡單的情形，同時要求學生學會通過類比的方法得到所有的冪指數為有理數的冪函數圖象.

3. 冪函數的定義域

常見的函數往往對解析式中涉及的字母做出了嚴格的規(guī)定，比如指數函數y=ax，a>0且a≠1，它的定義域為R. 冪函數的定義中提及函數的自變量和指數，并未涉及冪函數的定義域. 事實上，冪函數要比其他函數復雜一些，根據上面的分析，冪指數為有理數，不妨設α=（p，q是互質的整數），當p，q取不同的整數值時，冪函數的定義域會發(fā)生相應的變化，也就是說冪函數的定義域與指數有很大的關聯. 如冪函數y=x2的定義域為R，冪函數y=x的定義域為[0，+∞），冪函數y=x-1的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）. 我們要教會學生相應的處理辦法，根據分數指數冪的有關知識去求出冪函數的定義域. 由此可以分析，冪函數定義域的復雜程度源自于指數，課標規(guī)定的五種冪指數類型的冪函數具有代表性，能很好地反映定義域的各種情況.

[?] 理解文本，準確建構知識發(fā)生發(fā)展的思維框架

1. 文本內容的組織形式

教材按照四個環(huán)節(jié)組織了冪函數的內容.

第一環(huán)節(jié)：通過某種商品的價格和需求的關系表，得到函數y=114.82x-0.38，它與y=x-0.38是相關聯的，進而提出y=x-0.38是否是指數函數的疑問，引出了冪函數的概念；第二環(huán)節(jié)給出冪函數的形式化定義；第三環(huán)節(jié)通過相應的例題，鞏固和加深對冪函數的理解；第四環(huán)節(jié)作出三個冪函數的圖象，找出冪函數的共同性質. 其中一、二環(huán)節(jié)之間用問題“y=x-0.38是指數函數嗎”相連，三、四環(huán)節(jié)之間則加上了一道思考題：“函數y=x3、y=x、y=x-2的單調性如何”.

這里的編寫意圖主要是讓學生從實例中感受數學，并通過提出問題，思考、碰撞，改變原有的觀念，接納新的知識. 教師在這一環(huán)節(jié)還可加入一些數學中的實例，如：正方體的體積是邊長的函數關系式，正比例函數、反比例函數、頂點在原點的二次函數. 接下來課本通過對幾個常見的冪函數圖象進行觀察、分析、歸納，讓學生總結出規(guī)律. 教師在讓學生做“規(guī)定”動作的同時，要求理解五個具體的冪函數，由此及彼，歸納出不同類型的冪函數圖象和性質. 教材編寫的順序是讓學生在不斷地體驗數學、運用數學的過程中，加深對函數概念的理解和把握，進一步提高數學研究的能力，提升數學素養(yǎng)，同時也激發(fā)了學生不斷學習的興趣.

2. 文本蘊涵的數學思想方法

數學學習的關鍵在于有所感“悟”，在于發(fā)現隱藏在顯性的數學知識背后的數學思想方法，教師要教學生學會反思、感悟，對蘊涵其中的數學思想方法進行提煉，加以理解、為己所用. 冪函數這一節(jié)從文本的字里行間、環(huán)節(jié)之間的留白、思考題的設置，都充分體現了編者在不斷地引領學生探索蘊涵在知識背后的數學思想方法.

（1）類比思想

冪函數的教學安排在指數、對數函數之后，學生已經基本掌握了研究函數性質的一般步驟和方法. 這是學生在高中階段學習的第三種函數模型，學生可以根據前面的活動經驗對新函數加以研究. 因此教師可以設計活動讓學生先回憶指、對數函數的研究方法和步驟，再讓學生嘗試用類比的方式對冪函數加以研究.

（2）數形結合思想

函數的大多數性質一般都是在觀察圖象時直接獲得，冪函數也不例外. 教師引導學生先在坐標系中作出一個冪函數的圖象，小組內的不同學生可以選擇不同的冪函數進行研究，觀察該圖 象的形狀和位置，判斷函數的變化規(guī)律.接下來小組內合作交流，將不同類型的冪函數放入到同一直角坐標系中，總結出五種情形的冪函數圖象的共同特征. 最后教師可以用幾何畫板等數學軟件直接作圖，和學生們一起驗證觀察總結出的結論. 這樣學生親歷冪函數的作圖過程，體會到圖象的變化規(guī)律，直接感知冪函數圖象，從形到數、又由數到形，逐步加深了對冪函數的理解和認識.

（3）歸納思想

在教學時，通過五種不同類型的冪函數圖象，研究一般的有理數指數的冪函數. 教師可以引導學生通過觀察歸納出五個具體的冪函數的共性. 比如在第一象限，所有的冪函數圖象均過定點（1，1）；指數大于0的冪函數都是增函數，且過點（0，0）；y=x-1與其余四個共過定點（1，1），單調性也不相同. 并由此總結歸納出所有的不同類型的冪函數圖象性質.

（4）分類討論思想

冪函數指數的不同取值給其帶來了許多變化，也導致其圖象的多樣化，但變化之中總蘊涵著不變的規(guī)律. 教師可以引導學生通過觀察，對不同的指數合理分類，尋找分類標準，比如按照指數α與1、0的大小關系來分，共分為五類，先研究第一象限內全部的冪函數共有的性質，再根據奇偶性、對稱性研究函數的整體性質.

[?] 理解主體，在元認知基點上引領學生主動探究

1. 確定認知基點

先前學習的知識和活動經驗會對后續(xù)學習產生影響，因此教師在教學活動之前必須摸準學生的基礎. 學生在冪函數學習之前，不是白紙一張. 他們學習過分數指數冪，會熟練運用指數的運算法則. 他們對函數的研究方法、一般步驟也有一定的認識.比如他們已經學習了函數的兩種不同定義，又系統(tǒng)地學習了一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、指數函數、對數函數. 這些知識和他們在活動中積累的經驗都可以看做是冪函數學習的基礎.

2. 基于主體需要

人的一切活動始于需要，學習需要直接推動著學生積極參與學習. 教師通過設置活動情境，激起學生的認知沖突，引導學生分析冪函數與其他函數的異同點. 學生在活動中進行思維碰撞，從發(fā)現問題到解決問題，滿足了學生發(fā)展的需要，極大地激發(fā)了學習數學的興趣.另外冪函數從外在的簡潔形式、曲線之美，到本身知識所蘊涵的內在魅力，吸引了學生求知的眼球，學生在探究過程中又會不斷產生新的需要. 上述需要讓學生產生了要學習冪函數的緊迫感，促使他們對冪函數知識進行全面系統(tǒng)的學習，完善了認知結構，提升了數學素養(yǎng).

3. 引領認知體驗

教師設計活動的初衷不是任務驅動，而是引領學生進行認知體驗. 學生主動參與教師精心設計的活動，經歷了觀察、操作、交流、辨析、否定、論證等過程，對冪函數做出了自己的解釋. 教師在學生活動時，適時地給予鼓勵，在關鍵節(jié)點給予點撥，使其思維趨于理性化.課堂活動的組織改變了學生以往被動的學習方式，把學生從聽講中完全解放出來，成為課堂的主體，讓學生發(fā)揮自己的想象，充分參與活動，體驗知識的產生過程，及時總結活動經驗，感悟數學知識.

綜上所述，教學是圍繞學生展開活動的，教學要服務于學生的一切需求. 因此教師要學會從學生的視角看問題，備課也不例外. 教師在備課時要通過加強四個理解，準確把握教學，切實提高備課實效性. 這樣，教師指導方向會更準確，學生活動會更有效，學習針對性會更強，學生對教學會更滿意.