曹勝龍

摘 要：類比四邊形內(nèi)角的正弦性質(zhì)的研究，從n（n≥2）為偶數(shù)或奇數(shù)進行討論出發(fā)，得出四邊形內(nèi)角的余弦關(guān)系的三個定理和兩個推論，進而得到四邊形內(nèi)角的余弦性質(zhì)，進一步完善四邊形內(nèi)角具有的性質(zhì).

關(guān)鍵詞：四邊形；內(nèi)角；余弦性質(zhì)

田富德老師在《數(shù)學教學通訊》2011年5月下半期中探討了四邊形內(nèi)角的正弦性質(zhì)，筆者讀后深受啟發(fā)，進一步聯(lián)想到四邊形內(nèi)角的余弦是否也具有類似的性質(zhì)呢？經(jīng)過探究于是有如下定理：

證明：由α，β，γ，φ為某四邊形的四個內(nèi)角知α+β+γ+φ=2π，從而有+=nπ. 又n為偶數(shù)，則cos=cos.

cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0?2coscos+2cos·cos=0?2coscos+2coscos=0?cos=0，或cos=-cos.

（1）若cos=0，則=+kπ（k∈Z），即有α+β=（k∈Z）.又0<α+β<2π，則0<<2π，解之得-

（2）若cos=-cos，則=+π+2kπ或+=π+2kπ（k∈Z）.

由于α+β+γ+φ=2π，則有α+φ=π+或α+γ=π+（k∈Z）.

當α+φ=π+（k∈Z）時，又0<α+φ<2π，則有α+φ=，，…，. 類似可得α+γ=，，…，.

綜合（1）（2），α，β，γ，φ至少存在兩個角之和在集合

特別地，有如下推論和定理：

推論1 設α，β，γ，φ為某四邊形的四個內(nèi)角，若α，β，γ，φ滿足cos2α+cos2β+cos2γ+cos2φ=0，則它們之中必存在兩個角之和為.

定理2 設α，β，γ，φ為某四邊形的四個內(nèi)角，設n（n≥1）為奇數(shù)，若α，β，γ，φ滿足cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0，則它們之中必存在兩個角之和在集合

證明：由α，β，γ，φ為某四邊形的四個內(nèi)角知α+β+γ+φ=2π，從而有+=nπ. 又n為奇數(shù)，則cos= -cos.

cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0?2coscos+2cos·cos=0?2coscos-2coscos=0?cos=0，或cos=cos.

（1）若cos=0，由定理1中的情形（1）有α+β=，，…，.

（2）若cos=cos，則=+2kπ或= -+2kπ（k∈Z）.

由于α+β+γ+φ=2π，則有α+φ=π+或α+γ=π+（k∈Z）.

當α+φ=π+（k∈Z）時，又0<α+φ<2π，則有α+φ=，，…，.

同理得α+γ=，，…，.

綜合（1）（2），α，β，γ，φ至少存在兩個角之和在集合

注意到n為奇數(shù)，故π在上面的集合中，又因為+=2π，結(jié)合四邊形的內(nèi)角之和為2π，因此α，β，γ，φ至少存在兩個角之和在集合

推論2 設α，β，γ，φ為某四邊形的四個內(nèi)角，若α，β，γ，φ滿足cosα+cosβ+cosγ+cosφ=0，則它們之中必存在兩個角之和為π.

結(jié)合定理1與定理2，我們可以得到以下定理：

定理3 設α，β，γ，φ為某四邊形的四個內(nèi)角，設n（n≥2），若α，β，γ，φ滿足cosnα+cosnβ+cosnγ+cosnφ=0，則它們之中必存在兩個角之和在集合

由上述推理過程及四邊形的外角和為2π可知，上述性質(zhì)也可推廣到四邊形的外角上.