吳新建

摘 要：數(shù)學中的推理包括演繹推理和合情推理. 以往數(shù)學課中忽視合情推理.合情推理對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維具有重要的價值. 在教學中，通過整合教材的典型案例，讓學生通過歸納、類比、猜想等合情推理方式讓學生經(jīng)歷數(shù)學結論的發(fā)現(xiàn)過程， 發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

關鍵詞：整合；合情推理；創(chuàng)新能力

“為什么我們的學?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才？”這就是著名的“錢學森之問”. 這是我們每一位教育工作者面臨的共同課題. 我國的基礎教育過分強調了邏輯思維與演繹推理，卻忽視了對學生進行創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 而合情推理則是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力最有效的途徑之一.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱為《新課標》）將合情推理作為一個重要內容列入選修2-2，就是一種十分理性的選擇了.

[?] 什么是合情推理

合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結果的推理過程. 歸納推理和類比推理都是數(shù)學活動中常用的合情推理. 猜想是合情推理的最普遍、最重要的一種思維方法，歸納與類比首先都包含有猜想的成分，所以我們在教學中提到的直覺、猜想、歸納與類比都屬于合情推理的范疇.

[?] 例析如何利用教材培養(yǎng)學生的合情推理能力

怎樣教學生猜想？怎樣教學生合情推理？這里并沒有現(xiàn)成的、模式化的教學方法.波利亞說：“教學中最重要的就是選取一些典型數(shù)學結論的創(chuàng)造過程，分析其發(fā)現(xiàn)動機和合情推理，然后再讓學生模仿范例去獨立實踐，在實踐中發(fā)展合情推理能力.”

1. 類比推理與數(shù)學直覺

在傳統(tǒng)數(shù)學課程內容設計中，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維軌跡往往被掩蓋，以至學生在學習過程中常常會問，當初的數(shù)學家是怎樣想到這個問題的？他們是怎樣發(fā)現(xiàn)證明方法的？新課標指導下的《普通高中課程標準實驗教科書》在此方面則有很大的改善.

案例1 在蘇教版必修1第14頁的閱讀材料中，介紹了德國數(shù)學家康托爾運用“一一對應”思想給出了兩個集合“等勢”的概念：若兩個無限集的元素之間能建立起一一對應，則稱這兩個集合等勢.

這是正整數(shù)集與正偶數(shù)集兩個無限集之間的一一對應，它們也等勢. 由這兩個例子可以得出一個令你大吃一驚的結論：N*與N這兩個集合中的元素個數(shù)一樣多， 而正整數(shù)集與正偶數(shù)集這兩個集合中的元素也一樣多，即在無窮大的世界里，部分可能等于全部！關于這一點，德國著名數(shù)學家希爾伯特（David Hilbert）在一次討論無窮大的演講中，曾講過一個旅店的故事來說明無窮大的這種似是而非的性質.

這時，數(shù)學直覺會使學生自然地產生這樣的聯(lián)想：既然在無窮數(shù)集中，部分可能等于全部，那么在無窮點集中，是否也存在類似的結論呢？為了發(fā)散學生思維，我們再來看一個點集中的例子：

①兩條長度不等的線段上點的個數(shù)一樣多；

②兩個相似的正方形上點的個數(shù)一樣多.

我們可以類比數(shù)集中的方法，運用“一一對應”思想說明上面兩組無窮點集也“等勢”. 有了上面的成功，有些學生則會得寸進尺地想：線段上的點與平面圖形以及立體圖形內的點的個數(shù)也一樣多嗎？

解決這個問題，同樣需要找到兩個點集間的一一對應，而這個問題很具有挑戰(zhàn)性，若是能克服這個障礙，則會有一個重大的突破. 在此基礎上，我們會驚訝地發(fā)現(xiàn)：一個線段上的點的個數(shù)居然與整個宇宙空間內的點的個數(shù)是一樣多的. 這無疑會極大地激發(fā)學生探索該問題的興趣.

讓學生通過實例——類比——猜想——證明，也即由合情推理——邏輯推理的方法，得到一個激動人心的數(shù)學結論，可使學生深刻體會到研究數(shù)學的樂趣，并發(fā)現(xiàn)自己也能沿著數(shù)學家的思維軌跡來研究問題，這對提高學生的創(chuàng)新思維能力是大有幫助的.

事實表明，如果我們研究的問題越是新穎，結論越具有強烈的對比度，則越容易誘發(fā)學生的認知沖突，學生的注意力就越容易被吸引，就越容易激發(fā)他們的好奇心，從而產生強烈的探索欲望.

2. 歸納推理與猜想

數(shù)學中的許多結論，都是經(jīng)歷了一個不斷地提出猜想——驗證猜想——提出新猜想——再驗證新猜想的過程. 在這個過程中，一方面通過觀察、猜想得出結論，另一方面要對所得結論進行驗證和證明.

案例2 在蘇教版必修5數(shù)列這一章中，我們知道：正整數(shù)列an=n的前n項和公式為S1=1+2+3+…+n=，再利用正整數(shù)數(shù)列前n項的平方和以及前n項的立方和公式：12+22+32+…+n2=，13+23+33+…+n3=

學生經(jīng)過歸納，不難猜測出結果為S=. 怎樣證明上述猜測結果的正確性呢？我們不妨聯(lián)想數(shù)列

的前n項和的求法.

由上述案例可以看出，歸納推理與類比推理作為合情推理的兩個主要方面，它們在發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的過程中不是相互獨立的關系，而是相互聯(lián)系、有機結合的一個整體.

[?] 合情推理的作用——發(fā)散學生思維能力

發(fā)散思維又名輻射性思維，是創(chuàng)造性思維的一種基本形式，它是從一點向四面八方聯(lián)想出去的思維. 而歸納推理與類比推理則是根據(jù)某些對象已有的事實或結論，通過個人的經(jīng)驗和直覺，推測與之相關的或更為一般的對象也會具有相同或相似的結論，因而合情推理具有發(fā)散學生思維的作用. 例如蘇教版必修5解三角形這一章中，對正弦定理的引入與證明，就很好地體現(xiàn)了這一點.

根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義：sinA=，sinB=，sinC=1=，由此可知，在直角三角形中，存在一個很有對稱美的公式==，并由此引發(fā)聯(lián)想：是否對任意三角形，該公式都能成立？接下來教材通過實驗的方法，任意畫一個三角形，測量出其三條邊的長以及三個內角的大小，再計算每條邊的長與其對角的正弦之比.經(jīng)測量與計算后可得三個比值相等，并且在改變三角形的形狀之后三個比值仍然相等.

歸納上述情況后，可以自然如下猜想：對于任意三角形ABC，都有==.

而對于該定理的證明，教材的處理也體現(xiàn)了發(fā)散性思維，介紹了四種證明思路：

（1）轉化為直角三角形中的邊角關系；

（2）建立直角坐標系，并利用三角數(shù)的定義；

（3）通過外接圓，將任意三角形問題轉化為直角三角形問題；

（4）利用向量的投影或向量的數(shù)量積.

[?] 發(fā)散思維的意義——提高學生創(chuàng)新能力

數(shù)學上的新思想、新概念和新方法，大都來源于發(fā)散思維. 按照現(xiàn)代心理學家的見解，數(shù)學家創(chuàng)新能力的大小應和他的發(fā)散思維能力成正比. 也就是說，任何一位數(shù)學家的創(chuàng)新能力都可用如下的公式來估計：

創(chuàng)新能力=知識量×發(fā)散思維能力

這里的知識量，指的是“科學數(shù)學”，是原有的課程標準所重視與強調的. 而發(fā)散思維則是“教育數(shù)學”（此術語出自張景中院士）的主要內容，是“新課標”所大力倡導的.

回顧數(shù)學的發(fā)展歷程，數(shù)學結論的發(fā)現(xiàn)主要靠的是實驗、觀察、類比、歸納、直覺、猜想等合情推理，而邏輯推理只是真理在手后的論證，如費爾馬大定理、哥德巴赫猜想、龐加萊猜想、歐拉定理等莫不如是. 第斯多惠說過：“一個差的教師奉送真理，一個好的教師教人發(fā)現(xiàn)真理.” 讓我們響應波利亞的號召，在課堂中重視合情推理的教學與研究，真正為提高學生的創(chuàng)新思維能力作出自己的貢獻.