■劉 勇

劉勇，天津市濱海新區(qū)漢沽第一中學(xué)數(shù)學(xué)教師，中學(xué)高級教師，天津市“未來教育家奠基工程”第三期學(xué)員。曾獲得天津教育年度十大人物、天津市課改積極分子、濱海新區(qū)教師標兵、科研創(chuàng)新先進個人、濱海新區(qū)漢沽“十佳”杰出青年等榮譽稱號。在全國青年教師數(shù)學(xué)課大賽、全國德育精品課比賽、全國數(shù)學(xué)課標教材課例評比及天津市“雙優(yōu)課”評比等活動中獲一等獎。同時，主持或主要參與了多個國家、市、區(qū)級課題的研究。

數(shù)學(xué)思想以知識為載體，是對數(shù)學(xué)知識在更高層上的抽象和概括，其種類頗多，各有特點。其中，數(shù)形結(jié)合是貫穿初等數(shù)學(xué)的一個重要思想，因為任何一個代數(shù)表征下的相等或不等關(guān)系均有其幾何表現(xiàn)形式，而幾何表征又為代數(shù)關(guān)系的探究提供有利工具。這種依靠數(shù)與形之間的信息轉(zhuǎn)化巧妙解決問題的思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。然而，實際教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)還未真正落實到位，主要表現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標不夠明確，教學(xué)過程中不能合理布點，不能有針對性地設(shè)計一些體驗數(shù)學(xué)思想的有效環(huán)節(jié)。課堂教學(xué)隨意性、盲目性大，教師只是輕描淡寫地點撥，起不到根本作用。從結(jié)果上看，教師的教和學(xué)生的學(xué)僅停留在表面，對數(shù)學(xué)思想的理解程度只是知道或了解，僅能作為幾種固定題型的解題工具，缺乏系統(tǒng)性、靈活性。所以，重視滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)已成為熱點問題。人教社A版必修5第三章“不等式”中的每節(jié)內(nèi)容都是提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想認識的重要載體，以此單元知識的教學(xué)為抓手，為研究滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略提供了重要依據(jù)。

一、探究問題本質(zhì)，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想——以不等式解法教學(xué)為例

斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為圖形，那么，思想就整體把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。”眾所周知，一元二次不等式的解法要依靠數(shù)形結(jié)合思想中以形輔數(shù)的方法。教學(xué)中教師往往直接讓學(xué)生畫二次函數(shù)圖象，然后探究其解集，最后點明利用數(shù)形結(jié)合思想解決了問題。從教學(xué)效果上看，學(xué)生只是將函數(shù)圖象作為解題的工具，增加了程序化的解題技巧，沒能實現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的教學(xué)目標。究其原因，是因為在教學(xué)中從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化過程過于簡單，沒給學(xué)生足夠的時空，學(xué)生缺乏理解、運用、感受數(shù)學(xué)思想的過程。

為了實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的教學(xué)目標，我們可從一元一次不等式2x－1＞0的解法引入，學(xué)生利用已有的“移項、同乘（除）”的經(jīng)驗容易求得解集。之后提出如下問題：x=1,x=2,x=－1是否為不等式的解？學(xué)生可意識到不等式求解的問題也就是轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)y=2x-1的函數(shù)值何時大于零。之后，學(xué)生獨立思考一元一次不等式的圖象解法，教師幫助學(xué)生提煉數(shù)形結(jié)合思想并體會它的作用。在此基礎(chǔ)上，求一元二次不等式的解的問題可直接向?qū)W生提出，學(xué)生采用自主探究的方式探索求一元二次不等式的解法，感悟數(shù)形結(jié)合的價值。這樣，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的思想形成過程是自然的，經(jīng)歷了自我建構(gòu)造型的轉(zhuǎn)化，從而形成了探究其他問題的基本活動經(jīng)驗。此經(jīng)驗高于一般性知識，屬學(xué)科思想層面，揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、反思解題過程，深入理解數(shù)形結(jié)合思想——以簡單線性規(guī)劃教學(xué)為例

理解數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教育的追求，是形成數(shù)學(xué)精神的必要條件。數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)問題的解決之中，具有隱含性，要達到深入透徹地理解的效果，必然要有挖掘思想的工具。弗賴登塔爾曾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！钡拇_，解題反思能從多角度、多方位地對問題以及解決問題的思想方法和思維過程進行全面的分析，利用解題反思的方法能實現(xiàn)對高于知識層面的數(shù)學(xué)思想的深入挖掘。為此，教師要更多地幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的維度反思總結(jié)問題的要點，使學(xué)生獲得基本數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，切實體驗數(shù)學(xué)思想方法對解題的指導(dǎo)作用。

在簡單線性規(guī)劃問題的教學(xué)中，教師會強調(diào)“圖解法”，即以“數(shù)”構(gòu)“形”、以“形”助“數(shù)”的方法。不過，如果學(xué)生僅學(xué)會舉一反三地運用“圖解法”解題，形成的將是一種機械式的技能，它湮沒了數(shù)學(xué)的精髓——數(shù)形結(jié)合思想，而這往往是被教師忽視的。其實，我們只要在解題后加入反思數(shù)形結(jié)合思想的環(huán)節(jié)，就能較好地實現(xiàn)對該思想深刻理解的目標。首先，學(xué)生運用“圖解法”獨立解決教科書中例5，然后反思解題過程，教師提出解決此題關(guān)鍵依靠什么思想？學(xué)生自然能想到數(shù)形結(jié)合的思想，但這一回答只是表面化的。接著，教師追問，數(shù)與形是怎樣結(jié)合的呢？師生共同探討以下內(nèi)容。

圖1

通過上述解題反思，對數(shù)形結(jié)合思想的理解由“面”到“點”逐步細化，學(xué)生從本質(zhì)上認識數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解會從狹隘淺顯的層次上升到一定的高度。

接下來進行第二層面的解題反思，根椐個別學(xué)生的錯解提出問題，作圖有時會產(chǎn)生較大的誤差，于是無法判斷最優(yōu)解是點還是點的位置，這種情況如何處理？教師要抓住這個機會，用“形”中覓“數(shù)”的方法解決問題，即算出坐標代入比較。這樣數(shù)量的精確性又一次向?qū)W生展示了數(shù)形結(jié)合的作用。學(xué)生體會抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系的重要性，將數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象和諧巧妙地結(jié)合在一起，尋找解題思路。通過例題的反思教學(xué)，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解及運用提升到了一個新的高度。

三、挖掘教材開展數(shù)學(xué)活動，感悟數(shù)形結(jié)合思想——以基本不等式為例

數(shù)形結(jié)合思想是高于知識層面的思想，學(xué)生存在諸多難點和心理障礙。教學(xué)中注重結(jié)合具體學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計有效數(shù)學(xué)活動，通過獨立思考、動手操作、合作交流等方式，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。學(xué)生能把知識形態(tài)的數(shù)學(xué)思想與親身經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動相結(jié)合，就成為了活化的、認知的數(shù)學(xué)思想。這就要求教師要深入挖掘教材，設(shè)計有效的數(shù)學(xué)活動。

基本不等式一節(jié)的教材內(nèi)容通過趙爽的弦圖，將幾何問題代數(shù)化探索出重要不等式，意在使學(xué)生根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)的關(guān)系，尋找相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。這是典型的數(shù)形結(jié)合思想，但只靠這一次轉(zhuǎn)化，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的作用理解不夠透徹。為此，教師對教材進一步加工，設(shè)置如下操作活動。

教師組織學(xué)生進行實驗，將兩個腰長分別為a、b的等腰直角三角形的斜邊對齊（如圖2所示），去掉陰影部分將其折疊成矩形，并提出問題，在此過程中，可得出怎樣的不等式關(guān)系？學(xué)生通過動手實驗，合作探究，得出不等式，意識到這是重要不等式的變形。然后，教師繼續(xù)對教材進行加工，給出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)定義，讓學(xué)生利用已有的操作經(jīng)驗探究其關(guān)系，得到基本不等式。為了使學(xué)生體會在數(shù)學(xué)活動中感悟數(shù)形結(jié)合的意義，還可再次設(shè)計開放式的探究活動，將兩個直角邊分別為a、b的等腰直角三角形拼成（如圖3所示）圖形，可得到哪些恒成立的不等式？學(xué)生利用由形到數(shù)轉(zhuǎn)化方法動手操作，并計算面積關(guān)系得到：ab≤（如圖4，去掉陰影部分折成等腰梯形）和（如圖5，去掉陰影部分折成等腰直角三角形）。

通過教學(xué)，學(xué)生在一系列的數(shù)學(xué)活動中感悟數(shù)形結(jié)合思想的作用，對數(shù)形結(jié)合中由“數(shù)”到“形”和由“形”到“數(shù)”的兩個方面融會貫通地理解，自然實現(xiàn)了由數(shù)學(xué)思想上升為數(shù)學(xué)精神的層面。

滲透數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)之一，在向?qū)W生傳授知識的教學(xué)過程中，我們必須探索數(shù)學(xué)思想的系列化教學(xué)方法，有目的、有計劃、有系統(tǒng)地開展教學(xué)活動。只有這樣，學(xué)生才會在收獲知識的同時，收獲受益終身的思想和方法。

專家評介：

學(xué)科思想是學(xué)科教學(xué)的靈魂，是“知識”背后的“知識”。教師若能以學(xué)科知識為載體，有計劃、系統(tǒng)地滲透學(xué)科思想，就能舉重若輕地組織教學(xué)；倘若不然，就會陷入講不完的知識和練不完的習(xí)題的困境。名師、教育家都懷揣著為學(xué)生終身發(fā)展服務(wù)的教育理想，因此，他們的教學(xué)決不會僅停留在知識層面，他們會致力于學(xué)科思想、學(xué)科精神的教學(xué)研究，探索恰切的教學(xué)策略，并為他人示范。

劉勇老師一直追求在知識探究、問題解決的教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想，在他看來，學(xué)生唯有積淀數(shù)學(xué)思想才能形成終身受益的數(shù)學(xué)精神。最可貴的是，他能將數(shù)學(xué)思想這個“上位知識”有形地落實在日常教學(xué)中，將數(shù)學(xué)思想顯性化、活動化、體驗化。在實踐中總結(jié)出一套行之有效的教學(xué)策略，打造出具有生命力的數(shù)學(xué)課堂，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。滲透數(shù)形結(jié)合思想的研究僅是劉老師對數(shù)學(xué)思想教學(xué)研究的一個側(cè)面，它清晰地反映了劉老師高、精、準的數(shù)學(xué)教育目標定位，與此同時，他為我們展示出能浸潤學(xué)生心靈的生命化的數(shù)學(xué)課堂，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的價值最大化。（天津市濱海新區(qū)漢沽第一中學(xué)副校長、特級教師李樹林）