李璜

概念的教學(xué)舉足輕重，可以說理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ). 李邦河院士曾說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”然而，當(dāng)前數(shù)學(xué)教師以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象十分普遍，大量解題帶來了學(xué)習(xí)的高效性，而其隱蔽的缺失常常被人們所忽略. 基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論——一個(gè)可以促進(jìn)我們有效教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論. 從20世紀(jì)90年代起，APOS理論就被介紹到我國的數(shù)學(xué)教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論.

一、“APOS理論”概述

APOS理論的出發(fā)點(diǎn)：任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育理論應(yīng)該致力于“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的”以及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)的理解”，而不僅僅是陳述一些事實(shí). APOS理論是美國數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基于1991年提出的，其由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對(duì)象）、Scheme（圖式）的第一個(gè)字母組合而成，該理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷四個(gè)階段（以函數(shù)概念為例）.

第一階段——操作或活動(dòng)（action）階段，所謂操作是指個(gè)體對(duì)于感知到的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這個(gè)對(duì)象實(shí)質(zhì)上是一種外部刺激. 目的是為“過程階段”提供感性素材和反省對(duì)象. “操作”能重現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和抽象概括能力.

第二階段——過程（process）階段，當(dāng)“操作”經(jīng)過多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后，物理操作就可以內(nèi)化為一種叫做“過程”的心理操作，此時(shí)對(duì)概念的學(xué)習(xí)就可以不再依賴具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而是在頭腦中實(shí)施這個(gè)過程. “過程階段”是學(xué)生對(duì)感性認(rèn)識(shí)的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關(guān)鍵，通常也是概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與關(guān)鍵.

第三階段——對(duì)象（object）階段，當(dāng)個(gè)體能把這個(gè)“過程”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作和轉(zhuǎn)換的時(shí)候，這個(gè)過程就變成了他的一種心理“對(duì)象”. 這時(shí)，個(gè)體可以操控對(duì)象去實(shí)施各種相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算；需要的時(shí)候，也可以具體再現(xiàn)對(duì)象所包含的過程步驟. “對(duì)象”在某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用：既是概括的結(jié)果，又是新的概括的起點(diǎn).

第四階段——圖式（scheme）階段，個(gè)體對(duì)活動(dòng)、過程、對(duì)象以及他原有的相關(guān)方面的圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合產(chǎn)生出新的圖式結(jié)構(gòu)，從而可運(yùn)用于問題解決情境. 一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是由相應(yīng)的活動(dòng)、過程、對(duì)象以及相關(guān)的圖式所組成的認(rèn)知框架，其作用和特點(diǎn)就是決定某些刺激是否屬于這個(gè)圖式，從而就會(huì)做出不同的反應(yīng).

APOS 理論將數(shù)學(xué)概念的建立分為活動(dòng)—過程—對(duì)象—概念（圖式）四個(gè)階段（見圖1）， 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)最終目標(biāo)是讓學(xué)生達(dá)到“圖示”階段，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理角度分析，四個(gè)階段的劃分是合理的，反應(yīng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動(dòng)，其中“活動(dòng)”階段是理解概念的一個(gè)必要條件，給出素材時(shí)必須符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，保證材料的適度性和有效性. 如學(xué)習(xí)二面角時(shí)可以讓學(xué)生觀察門的開合與墻面位置的變化；“程序階段”是學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)；并且，有時(shí)候“過程”與“圖示”的劃分并不是那么明顯；“對(duì)象階段”是通過前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì)，對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)；最后進(jìn)入“圖式階段”，要求能夠區(qū)分、評(píng)價(jià)此概念與彼概念， 這時(shí)概念以一種完整的心理圖式儲(chǔ)存于大腦當(dāng)中，其中包括具體的實(shí)例、抽象的過程、完整的定義及與其他概念的區(qū)分與聯(lián)系等等.

下面筆者結(jié)合一次市級(jí)公開課比賽某位選手的設(shè)計(jì)片段來說明如何在教學(xué)中運(yùn)用APOS理論. 所選內(nèi)容是人教版《數(shù)學(xué)》選修2-2中的“數(shù)學(xué)歸納法”第一課時(shí).

二、“APOS理論”實(shí)踐

1. 活動(dòng)階段——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，思考問題

課堂開始，從古老課本封面的一處破損說起：

12+22+32+…+n2=■Δ（n+1）（2n+1），

讓學(xué)生猜測(cè)Δ可能是什么，由此引出一系列的探究.

探究1：人工探索.

由學(xué)生來算n=1，2，3，4，5，6，7，8的這8個(gè)函數(shù)值并驗(yàn)算是否滿足上述猜想.

探究2：智能探索.

結(jié)合程序語言，給出如下框圖.

探究3：可行性.

由學(xué)生來討論智能探索是否可行.

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生熟悉的三個(gè)連續(xù)探究引入本節(jié)課，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，看似沒有給出數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)質(zhì)上已經(jīng)讓學(xué)生從潛意識(shí)中接觸到了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍，這種探究式的教學(xué)可以讓學(xué)生親臨數(shù)學(xué)歸納法的形成過程，切實(shí)感受數(shù)學(xué)歸納法的必要性與必須性，加深對(duì)概念的理解. 并且由一次次的探究收獲中慢慢接觸數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵，在首次接觸中顯得尤為重要.

2. 過程階段——層層遞進(jìn)，誘發(fā)思維

在上述探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生明白上述辦法都不可行，因此接下來在上述“活動(dòng)階段”的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考和提煉，這個(gè)提煉的過程也許對(duì)于學(xué)生來說會(huì)很抽象，很痛苦，但是卻是必不可少的，這個(gè)過程需要老師的正確點(diǎn)撥和引導(dǎo)，經(jīng)歷了這個(gè)過程，學(xué)生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)及依據(jù)得到深刻的理解.

問題1：你會(huì)證明12+22+32+…+n2=■n（n+1）·（2n+1），n∈{1，2，…8}嗎？

問題2：證明等式12+22+32+…+n2=■n（n+1）·（2n+1）的最大障礙是什么？

由此疑問：直面無限，我們真的束手無策？接下來通過類比數(shù)列中的等差、等比數(shù)列完成探究4.

探究4：

由上述表格得到探究收獲5：類比數(shù)列中處理無限的方法，可以得到一種全新的、巧妙的證明方法.

例：嘗試證明：12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）.endprint

設(shè)計(jì)意圖： 通過上述幾個(gè)問題及探究，已經(jīng)明確給出了數(shù)學(xué)歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對(duì)應(yīng)為學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個(gè)命題成立的過程. 這正是一種類比推理的思想和建構(gòu)的過程. 通過對(duì)一個(gè)具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學(xué)概念，也得到了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

3. 對(duì)象階段——明確概念，活學(xué)活用

在上述基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考.

問題3：新的證明方法適合于哪種題型？

問題4：能總結(jié)出新的證明方法的解題步驟嗎？

由此給出了本節(jié)課的課題：數(shù)學(xué)歸納法，以及很自然地給出了數(shù)學(xué)歸納法的步驟.

問題5：能用數(shù)學(xué)歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

追問：能證明等式1×2+2×3+3×4+…+

n（n+1）=■n（n+1）（n+2）嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在上面“活動(dòng)階段”和“過程階段”的基礎(chǔ)上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍及明確的步驟，并且及時(shí)對(duì)關(guān)鍵性步驟、易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥，使學(xué)生成功地完成了質(zhì)的飛躍.

4. 圖示階段——錯(cuò)誤辨析，思維升華

（1） 與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的美麗誤會(huì). 給出著名的費(fèi)馬質(zhì)數(shù)：已知代數(shù)式2p-1，當(dāng)p是質(zhì)數(shù)時(shí)，2p-1是質(zhì)數(shù). 直到費(fèi)馬去世后67年，著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個(gè)命題的錯(cuò)誤性.

（2） 有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2 的倍數(shù)”.

最后進(jìn)行了課堂小結(jié)，提出3個(gè)單詞——why， where， what結(jié)束了此次公開課.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已經(jīng)掌握數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)及步驟的情況下，給出反例辨析. 第一個(gè)反例缺遞推，第二個(gè)反例缺基礎(chǔ)，由此進(jìn)一步讓學(xué)生理解兩個(gè)步驟缺一不可. 最后的三個(gè)單詞進(jìn)一步幫助學(xué)生進(jìn)行反思：為什么要用數(shù)學(xué)歸納法？什么時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法？怎么用數(shù)學(xué)歸納法？整堂課如行云流水一般地把APOS理論運(yùn)用進(jìn)去，通過對(duì)一個(gè)具體題目的層層研究，得到了本節(jié)課的主題.

三、APOS建構(gòu)理論的教學(xué)反思

對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，最怕只停留在概念教學(xué)的表面，必須層層深入挖掘概念的內(nèi)涵和外延，最終將其上升到抽象層面，達(dá)到圖式架構(gòu)的階段. 在概念教學(xué)運(yùn)用APOS 理論時(shí)，實(shí)質(zhì)上是新課標(biāo)中“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有助于學(xué)生從本質(zhì)上理解概念. 筆者有以下幾點(diǎn)心得體會(huì).

1. 選用合適的情境

概念的形成，需要通過合理的現(xiàn)實(shí)情境去挖掘、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，需要活動(dòng)讓學(xué)生親身感知問題，也需要學(xué)生積極展開思考，從現(xiàn)實(shí)情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué). 但是，概念教學(xué)也不能僅僅停留于活動(dòng)（操作）層面，最終達(dá)到圖式架構(gòu)才是學(xué)習(xí)的最終目標(biāo).

2. 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程

APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程， 每個(gè)學(xué)生都是一個(gè)主體，都有自己的思維意識(shí)，如果沒有學(xué)生的主動(dòng)參與、自行建構(gòu)， 即使教師講得天花亂墜， 也只能是“對(duì)牛彈琴”，學(xué)生只記住概念本身，并沒有領(lǐng)會(huì)概念的實(shí)質(zhì)，起不到良好的作用.

3. APOS的應(yīng)用范圍

APOS 理論不僅用于概念建構(gòu)、認(rèn)知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學(xué)教學(xué). 對(duì)應(yīng)一個(gè)新的理論，我們要努力學(xué)習(xí)的同時(shí)，也要用創(chuàng)新、靈活的思想來看待他，使之更好地為我們優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，把握教學(xué)過程服務(wù)，更好地為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想服務(wù).endprint

設(shè)計(jì)意圖： 通過上述幾個(gè)問題及探究，已經(jīng)明確給出了數(shù)學(xué)歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對(duì)應(yīng)為學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個(gè)命題成立的過程. 這正是一種類比推理的思想和建構(gòu)的過程. 通過對(duì)一個(gè)具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學(xué)概念，也得到了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

3. 對(duì)象階段——明確概念，活學(xué)活用

在上述基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考.

問題3：新的證明方法適合于哪種題型？

問題4：能總結(jié)出新的證明方法的解題步驟嗎？

由此給出了本節(jié)課的課題：數(shù)學(xué)歸納法，以及很自然地給出了數(shù)學(xué)歸納法的步驟.

問題5：能用數(shù)學(xué)歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

追問：能證明等式1×2+2×3+3×4+…+

n（n+1）=■n（n+1）（n+2）嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在上面“活動(dòng)階段”和“過程階段”的基礎(chǔ)上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍及明確的步驟，并且及時(shí)對(duì)關(guān)鍵性步驟、易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥，使學(xué)生成功地完成了質(zhì)的飛躍.

4. 圖示階段——錯(cuò)誤辨析，思維升華

（1） 與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的美麗誤會(huì). 給出著名的費(fèi)馬質(zhì)數(shù)：已知代數(shù)式2p-1，當(dāng)p是質(zhì)數(shù)時(shí)，2p-1是質(zhì)數(shù). 直到費(fèi)馬去世后67年，著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個(gè)命題的錯(cuò)誤性.

（2） 有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2 的倍數(shù)”.

最后進(jìn)行了課堂小結(jié)，提出3個(gè)單詞——why， where， what結(jié)束了此次公開課.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已經(jīng)掌握數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)及步驟的情況下，給出反例辨析. 第一個(gè)反例缺遞推，第二個(gè)反例缺基礎(chǔ)，由此進(jìn)一步讓學(xué)生理解兩個(gè)步驟缺一不可. 最后的三個(gè)單詞進(jìn)一步幫助學(xué)生進(jìn)行反思：為什么要用數(shù)學(xué)歸納法？什么時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法？怎么用數(shù)學(xué)歸納法？整堂課如行云流水一般地把APOS理論運(yùn)用進(jìn)去，通過對(duì)一個(gè)具體題目的層層研究，得到了本節(jié)課的主題.

三、APOS建構(gòu)理論的教學(xué)反思

對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，最怕只停留在概念教學(xué)的表面，必須層層深入挖掘概念的內(nèi)涵和外延，最終將其上升到抽象層面，達(dá)到圖式架構(gòu)的階段. 在概念教學(xué)運(yùn)用APOS 理論時(shí)，實(shí)質(zhì)上是新課標(biāo)中“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有助于學(xué)生從本質(zhì)上理解概念. 筆者有以下幾點(diǎn)心得體會(huì).

1. 選用合適的情境

概念的形成，需要通過合理的現(xiàn)實(shí)情境去挖掘、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，需要活動(dòng)讓學(xué)生親身感知問題，也需要學(xué)生積極展開思考，從現(xiàn)實(shí)情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué). 但是，概念教學(xué)也不能僅僅停留于活動(dòng)（操作）層面，最終達(dá)到圖式架構(gòu)才是學(xué)習(xí)的最終目標(biāo).

2. 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程

APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程， 每個(gè)學(xué)生都是一個(gè)主體，都有自己的思維意識(shí)，如果沒有學(xué)生的主動(dòng)參與、自行建構(gòu)， 即使教師講得天花亂墜， 也只能是“對(duì)牛彈琴”，學(xué)生只記住概念本身，并沒有領(lǐng)會(huì)概念的實(shí)質(zhì)，起不到良好的作用.

3. APOS的應(yīng)用范圍

APOS 理論不僅用于概念建構(gòu)、認(rèn)知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學(xué)教學(xué). 對(duì)應(yīng)一個(gè)新的理論，我們要努力學(xué)習(xí)的同時(shí)，也要用創(chuàng)新、靈活的思想來看待他，使之更好地為我們優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，把握教學(xué)過程服務(wù)，更好地為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想服務(wù).endprint

設(shè)計(jì)意圖： 通過上述幾個(gè)問題及探究，已經(jīng)明確給出了數(shù)學(xué)歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對(duì)應(yīng)為學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個(gè)命題成立的過程. 這正是一種類比推理的思想和建構(gòu)的過程. 通過對(duì)一個(gè)具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學(xué)概念，也得到了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

3. 對(duì)象階段——明確概念，活學(xué)活用

在上述基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考.

問題3：新的證明方法適合于哪種題型？

問題4：能總結(jié)出新的證明方法的解題步驟嗎？

由此給出了本節(jié)課的課題：數(shù)學(xué)歸納法，以及很自然地給出了數(shù)學(xué)歸納法的步驟.

問題5：能用數(shù)學(xué)歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

追問：能證明等式1×2+2×3+3×4+…+

n（n+1）=■n（n+1）（n+2）嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在上面“活動(dòng)階段”和“過程階段”的基礎(chǔ)上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍及明確的步驟，并且及時(shí)對(duì)關(guān)鍵性步驟、易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥，使學(xué)生成功地完成了質(zhì)的飛躍.

4. 圖示階段——錯(cuò)誤辨析，思維升華

（1） 與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的美麗誤會(huì). 給出著名的費(fèi)馬質(zhì)數(shù)：已知代數(shù)式2p-1，當(dāng)p是質(zhì)數(shù)時(shí)，2p-1是質(zhì)數(shù). 直到費(fèi)馬去世后67年，著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個(gè)命題的錯(cuò)誤性.

（2） 有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2 的倍數(shù)”.

最后進(jìn)行了課堂小結(jié)，提出3個(gè)單詞——why， where， what結(jié)束了此次公開課.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已經(jīng)掌握數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)及步驟的情況下，給出反例辨析. 第一個(gè)反例缺遞推，第二個(gè)反例缺基礎(chǔ)，由此進(jìn)一步讓學(xué)生理解兩個(gè)步驟缺一不可. 最后的三個(gè)單詞進(jìn)一步幫助學(xué)生進(jìn)行反思：為什么要用數(shù)學(xué)歸納法？什么時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法？怎么用數(shù)學(xué)歸納法？整堂課如行云流水一般地把APOS理論運(yùn)用進(jìn)去，通過對(duì)一個(gè)具體題目的層層研究，得到了本節(jié)課的主題.

三、APOS建構(gòu)理論的教學(xué)反思

對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，最怕只停留在概念教學(xué)的表面，必須層層深入挖掘概念的內(nèi)涵和外延，最終將其上升到抽象層面，達(dá)到圖式架構(gòu)的階段. 在概念教學(xué)運(yùn)用APOS 理論時(shí)，實(shí)質(zhì)上是新課標(biāo)中“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有助于學(xué)生從本質(zhì)上理解概念. 筆者有以下幾點(diǎn)心得體會(huì).

1. 選用合適的情境

概念的形成，需要通過合理的現(xiàn)實(shí)情境去挖掘、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，需要活動(dòng)讓學(xué)生親身感知問題，也需要學(xué)生積極展開思考，從現(xiàn)實(shí)情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué). 但是，概念教學(xué)也不能僅僅停留于活動(dòng)（操作）層面，最終達(dá)到圖式架構(gòu)才是學(xué)習(xí)的最終目標(biāo).

2. 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程

APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程， 每個(gè)學(xué)生都是一個(gè)主體，都有自己的思維意識(shí)，如果沒有學(xué)生的主動(dòng)參與、自行建構(gòu)， 即使教師講得天花亂墜， 也只能是“對(duì)牛彈琴”，學(xué)生只記住概念本身，并沒有領(lǐng)會(huì)概念的實(shí)質(zhì)，起不到良好的作用.

3. APOS的應(yīng)用范圍

APOS 理論不僅用于概念建構(gòu)、認(rèn)知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學(xué)教學(xué). 對(duì)應(yīng)一個(gè)新的理論，我們要努力學(xué)習(xí)的同時(shí)，也要用創(chuàng)新、靈活的思想來看待他，使之更好地為我們優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，把握教學(xué)過程服務(wù)，更好地為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想服務(wù).endprint