桂再安

關(guān)于習(xí)題，華羅庚先生在其所著《高等數(shù)學(xué)引論》的序言中有如下精辟的論述：“習(xí)題的目的首先是熟悉和鞏固學(xué)習(xí)了的東西；其二是啟發(fā)大家靈活運用，獨立思考； 其三是融會貫通.”數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解，有些習(xí)題還往往是有關(guān)理論知識的必不可少的補充，也可能是作者刻意進行的一種特殊安排，不做或不做好習(xí)題會對理解掌握有關(guān)理論知識形成某種缺陷，所以習(xí)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的作用. 那么如何進一步提高數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的針對性和有效性呢？筆者通過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，關(guān)注習(xí)題教學(xué)的四個“著力點”是行之有效的辦法.

一、著力于演練點

習(xí)題課離不開演練，演練的最直接表現(xiàn)形式就是讓學(xué)生做題. 然而題海無涯，選擇恰當(dāng)?shù)念}作為演練點是習(xí)題課的第一個著力點. 尤其在新授課的有限教學(xué)時間里，精心設(shè)計好例題、學(xué)生的練習(xí)層次及練習(xí)程序，對于幫助學(xué)生深刻理解和領(lǐng)會新知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效果，都有很大的促進作用. 課本中的例題、習(xí)題都是經(jīng)編者再三思考、精心挑選的，在一定的知識范圍內(nèi)，為了緊密配合知識點的學(xué)習(xí)，例題的解法都很合乎情理，恰到好處.

例如，人教版高中數(shù)學(xué)教材選修2-3第13頁例7：有6個人排成一排，（1）甲和乙兩人相鄰的排法有多少種？（2）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

該題的設(shè)置旨在幫助學(xué)生正確建構(gòu)“排列”及“排列數(shù)”的概念. 如果教師就題論題地給學(xué)生解答，學(xué)生并沒有收獲多少. 如果在解完該題后，能及時引導(dǎo)學(xué)生反思，并給出一系列的變式，通過變式的演練，必然能使學(xué)生的創(chuàng)新思維能力上升一個新的臺階.

該題可得到如下一些變式：有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少種不同的排法？（1）7人站成一排；（2）站成兩排，前排3人，后排4人；（3）甲只能在中間或兩頭；（4）甲、乙兩人必須在兩頭；（5）甲不在排頭，乙不在排尾；（6）男生、女生各站一邊；（7）男生必須站在一起；（8）男生、女生各不相鄰；（9）甲、乙、丙三人中甲必須在前，丙必須在后，但三人不一定相鄰；（10）甲、乙中間必須有三人；（11）甲在乙的前面.

這樣，通過深入挖掘例題的教學(xué)功能，使學(xué)生通過一題多變的演練，能更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性. 通過一連串的追問，學(xué)生對排列及排列數(shù)的概念有了深刻的理解. 長期以往，必能產(chǎn)生潤礫成珠的效果.

二、著力于啟發(fā)點

數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)離不開對學(xué)生思維的啟發(fā). 啟發(fā)思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要. 蘇霍姆林斯基曾告誡我們：“讓學(xué)生體驗到一種自己親自參加與掌握知識的情感，乃是喚起少年特有的對知識的興趣的重要條件. ” 啟發(fā)學(xué)生思維就是要喚起學(xué)生的求知欲望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其快樂學(xué)習(xí).

在教學(xué)中，我們可借助直觀模型教具、動態(tài)圖形演示、簡潔整齊的公式、數(shù)學(xué)問題的探索等來引導(dǎo)學(xué)生去欣賞數(shù)學(xué)中的簡潔、對稱、奇異、統(tǒng)一、和諧之美，使他們對數(shù)學(xué)中美的意蘊、美的表現(xiàn)和美的啟迪有清晰的理解和主動的探求，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣.

如筆者在一次競賽輔導(dǎo)課上給出下面的題：解方程■+■=x.

師：根式方程會產(chǎn)生增根，為避免增根的發(fā)生，我們首先應(yīng)干什么？

生1：確定x的范圍. 由x-■≥0，1-■≥0， 得x≥1.

師：很好，怎樣求解？

生2：方程可變形為：■·■+■·■=1.

師：非常好，觀察它的結(jié)構(gòu)特征，我們能聯(lián)想到什么？

生3：利用柯西不等式.

1=（■·■+■·■）2≤（■）2·（■）2（■）2+（■）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■·■=■·■時取“=”號，此時有x=■. 經(jīng)檢驗，x=■是原方程的解.

生4：利用向量的數(shù)量積. 設(shè)a=（■，■），b=（■，■），并設(shè)向量a與b的夾角為θ（0≤θ≤■），所以a·b=1. 又a·b=ab·cosθ，故cosθ=1. 從而θ=0，所以a=b. 從而得到原方程的根為x=■.

生5：利用基本不等式. 1=■·■+■·■≤■+■=1，當(dāng)且僅當(dāng)■=■，■=■時，取“=”號. 所以x=■.

生6：利用圓的切線. 因A（■·■），B（■，■）都在單位圓m2+n2=1上，過A點的切線方程為■·m+■·n=1，與方程比較可知B點也在過A點的切線上，故A，B點重合. 從而■=■，■=■，所以x=■.

生7：利用兩角差的余弦公式. 設(shè)■=cosα，■=sinα，■=cosβ，■=sinβ，α，β∈0，■. 故方程等價于cos（α-β）=1，又α-β∈-■，■，所以α-β=0. 從而cosα=cosβ，由■=■，x≥1，得x=■.

亞里士多德認為：“思維自疑問和驚奇開始. ”沒有懷疑的思考，固于思維和照搬既成答案，思維的發(fā)展是難以想象的. 該題的解法主要是從習(xí)題的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生多角度、全方位潛心探索，從而獲取問題的多種解法，進一步培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，增強了學(xué)生的解惑意識.

三、著力于拓展點

高考中 “ 源于課本，又略高于課本” 的類題和變題占有一定比重，面對這類問題學(xué)生往往手足無措. 究其原因主要是因在日常的數(shù)學(xué)例題、習(xí)題教學(xué)中，教師靜止地、孤立地去講課本上的例題，甚至運用“ 題海戰(zhàn)術(shù)” 引進大量的課外題讓學(xué)生盲目、機械地解題. 對此，教師若能經(jīng)常對課本上的某些例題、習(xí)題作深人研究后做適當(dāng)?shù)母木帲⑼ㄟ^這些改編題訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，這對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探索能力和分析解決問題的能力會有很大幫助. 因此，對課本中的例題、習(xí)題進行適當(dāng)?shù)母木?，并將其貫穿于日常解題教學(xué)中，這應(yīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師的一項重要工作. 對例題、習(xí)題的改編有許多途徑，如圖形位置的變換，條件和結(jié)論的變換或部分變換，增加新條件或改變解題要求，還可以進行組合或分解等. 例如在不等式習(xí)題課上，教師可用概念圖的方式將課本中的例習(xí)題串聯(lián)起來（見圖1），讓學(xué)生從中看到核心知識點的輻射衍生過程，以達融會貫通、拓展運用知識之目的.endprint

四、著力于升華點

解數(shù)學(xué)題的目的是為了通過解題掌握數(shù)學(xué)思想方法，而不是單純地為了解題而解題.因此，一道數(shù)學(xué)習(xí)題解完后，必須對該題進行反思、總結(jié)、提煉，以達由一及類、融會貫通之目的.否則，無異于“入寶山而空返”.

人教社2004年6月第1版高中數(shù)學(xué)教材第二冊（上）第17頁習(xí)題6.3第7題：

已知a，b都是正數(shù)，x，y∈R且a+b=1，求證：ax2+by2≥（ax+by）2.

本題是一道帶有嚴(yán)格條件的不等式證明題，要證明它并不困難，但它的證法很多，在此不一一贅述，下面只給出一種證明方法.

證明：∵a，b∈R+，a+b=1.

∴ax2+by2=（a+b）·（ax2+by2）=（■）2+（■）2■·（■x）2+（■y）2≥（■·■x+■·■y）=（ax+by）2. 當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=y時取等號.

上述證法實質(zhì)上用到了柯西不等式，就是在證題過程中通過已知條件與結(jié)論的有機結(jié)合構(gòu)造出柯西不等式的模型. 該題的證題思想方法可以進行進一步的推廣.

推廣1： 已知ai（i=1，2，…，n）是正數(shù)，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1.求證：■aixi2≥（■aixi）2.

證明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1，

∴■aixi2=（■ai）·（■aixi2）=■（■）2·■（■xi）2≥■（■·■xi）■=（■aixi）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■，即x1=x2=…=xn時取等號.

推廣2： 已知ai（i=1，2，…，n）是正數(shù)，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1. 求證：■■≥（■xi）2.

證明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1.

∴■■=（■ai）·（■■）=■（■）2·■（■）2≥■（■·■）■=（■xi）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■，即■=■=…=■時取等號.

通過對這一教材習(xí)題的深入挖掘，我們不僅得到了兩個更一般的推廣，也使學(xué)生的思維得以升華.以它們?yōu)楣ぞ?，我們可快速地解決以下問題：

（1）求證：3（1+a2+a4）≥（1+a+a2）2.

（2）已知x，y，z∈R，求證：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

（3）設(shè)x，y，z∈R+，且x+y+z=1. 求證：■+■+■≥36.

（4）已知x，y，z∈R+，且■+■+■=2.求證：■+■+■≤■.

（5）若0

對習(xí)題進行引申、推廣，在教材中這樣的習(xí)題是很多的. 我們可從圓錐曲線性質(zhì)的相關(guān)性，等差、等比數(shù)列性質(zhì)的相似性，平面幾何與立體幾何性質(zhì)的遷移性以及代數(shù)問題的幾何背景、幾何問題的代數(shù)背景，或從習(xí)題條件、結(jié)論的特殊性、一般性等角度對習(xí)題進行改造、升華，從而避免在習(xí)題教學(xué)中出現(xiàn) “買櫝還珠”之現(xiàn)象，達到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維之目的.

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G. Polya 指出： 掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.數(shù)學(xué)離不開解題，習(xí)題教學(xué)只有充分關(guān)注學(xué)生，努力挖掘?qū)W生潛能，才能真正把握習(xí)題教學(xué)的著力點.相信通過這樣的習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生深深地愛上數(shù)學(xué).■

四、著力于升華點

解數(shù)學(xué)題的目的是為了通過解題掌握數(shù)學(xué)思想方法，而不是單純地為了解題而解題.因此，一道數(shù)學(xué)習(xí)題解完后，必須對該題進行反思、總結(jié)、提煉，以達由一及類、融會貫通之目的.否則，無異于“入寶山而空返”.

人教社2004年6月第1版高中數(shù)學(xué)教材第二冊（上）第17頁習(xí)題6.3第7題：

已知a，b都是正數(shù)，x，y∈R且a+b=1，求證：ax2+by2≥（ax+by）2.

本題是一道帶有嚴(yán)格條件的不等式證明題，要證明它并不困難，但它的證法很多，在此不一一贅述，下面只給出一種證明方法.

證明：∵a，b∈R+，a+b=1.

∴ax2+by2=（a+b）·（ax2+by2）=（■）2+（■）2■·（■x）2+（■y）2≥（■·■x+■·■y）=（ax+by）2. 當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=y時取等號.

上述證法實質(zhì)上用到了柯西不等式，就是在證題過程中通過已知條件與結(jié)論的有機結(jié)合構(gòu)造出柯西不等式的模型. 該題的證題思想方法可以進行進一步的推廣.

推廣1： 已知ai（i=1，2，…，n）是正數(shù)，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1.求證：■aixi2≥（■aixi）2.

證明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1，

∴■aixi2=（■ai）·（■aixi2）=■（■）2·■（■xi）2≥■（■·■xi）■=（■aixi）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■，即x1=x2=…=xn時取等號.

推廣2： 已知ai（i=1，2，…，n）是正數(shù)，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1. 求證：■■≥（■xi）2.

證明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1.

∴■■=（■ai）·（■■）=■（■）2·■（■）2≥■（■·■）■=（■xi）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■，即■=■=…=■時取等號.

通過對這一教材習(xí)題的深入挖掘，我們不僅得到了兩個更一般的推廣，也使學(xué)生的思維得以升華.以它們?yōu)楣ぞ?，我們可快速地解決以下問題：

（1）求證：3（1+a2+a4）≥（1+a+a2）2.

（2）已知x，y，z∈R，求證：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

（3）設(shè)x，y，z∈R+，且x+y+z=1. 求證：■+■+■≥36.

（4）已知x，y，z∈R+，且■+■+■=2.求證：■+■+■≤■.

（5）若0

對習(xí)題進行引申、推廣，在教材中這樣的習(xí)題是很多的. 我們可從圓錐曲線性質(zhì)的相關(guān)性，等差、等比數(shù)列性質(zhì)的相似性，平面幾何與立體幾何性質(zhì)的遷移性以及代數(shù)問題的幾何背景、幾何問題的代數(shù)背景，或從習(xí)題條件、結(jié)論的特殊性、一般性等角度對習(xí)題進行改造、升華，從而避免在習(xí)題教學(xué)中出現(xiàn) “買櫝還珠”之現(xiàn)象，達到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維之目的.

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G. Polya 指出： 掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.數(shù)學(xué)離不開解題，習(xí)題教學(xué)只有充分關(guān)注學(xué)生，努力挖掘?qū)W生潛能，才能真正把握習(xí)題教學(xué)的著力點.相信通過這樣的習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生深深地愛上數(shù)學(xué).■

四、著力于升華點

解數(shù)學(xué)題的目的是為了通過解題掌握數(shù)學(xué)思想方法，而不是單純地為了解題而解題.因此，一道數(shù)學(xué)習(xí)題解完后，必須對該題進行反思、總結(jié)、提煉，以達由一及類、融會貫通之目的.否則，無異于“入寶山而空返”.

人教社2004年6月第1版高中數(shù)學(xué)教材第二冊（上）第17頁習(xí)題6.3第7題：

已知a，b都是正數(shù)，x，y∈R且a+b=1，求證：ax2+by2≥（ax+by）2.

本題是一道帶有嚴(yán)格條件的不等式證明題，要證明它并不困難，但它的證法很多，在此不一一贅述，下面只給出一種證明方法.

證明：∵a，b∈R+，a+b=1.

∴ax2+by2=（a+b）·（ax2+by2）=（■）2+（■）2■·（■x）2+（■y）2≥（■·■x+■·■y）=（ax+by）2. 當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=y時取等號.

上述證法實質(zhì)上用到了柯西不等式，就是在證題過程中通過已知條件與結(jié)論的有機結(jié)合構(gòu)造出柯西不等式的模型. 該題的證題思想方法可以進行進一步的推廣.

推廣1： 已知ai（i=1，2，…，n）是正數(shù)，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1.求證：■aixi2≥（■aixi）2.

證明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1，

∴■aixi2=（■ai）·（■aixi2）=■（■）2·■（■xi）2≥■（■·■xi）■=（■aixi）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■，即x1=x2=…=xn時取等號.

推廣2： 已知ai（i=1，2，…，n）是正數(shù)，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1. 求證：■■≥（■xi）2.

證明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1.

∴■■=（■ai）·（■■）=■（■）2·■（■）2≥■（■·■）■=（■xi）2.

當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■，即■=■=…=■時取等號.

通過對這一教材習(xí)題的深入挖掘，我們不僅得到了兩個更一般的推廣，也使學(xué)生的思維得以升華.以它們?yōu)楣ぞ撸覀兛煽焖俚亟鉀Q以下問題：

（1）求證：3（1+a2+a4）≥（1+a+a2）2.

（2）已知x，y，z∈R，求證：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

（3）設(shè)x，y，z∈R+，且x+y+z=1. 求證：■+■+■≥36.

（4）已知x，y，z∈R+，且■+■+■=2.求證：■+■+■≤■.

（5）若0

對習(xí)題進行引申、推廣，在教材中這樣的習(xí)題是很多的. 我們可從圓錐曲線性質(zhì)的相關(guān)性，等差、等比數(shù)列性質(zhì)的相似性，平面幾何與立體幾何性質(zhì)的遷移性以及代數(shù)問題的幾何背景、幾何問題的代數(shù)背景，或從習(xí)題條件、結(jié)論的特殊性、一般性等角度對習(xí)題進行改造、升華，從而避免在習(xí)題教學(xué)中出現(xiàn) “買櫝還珠”之現(xiàn)象，達到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維之目的.

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G. Polya 指出： 掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.數(shù)學(xué)離不開解題，習(xí)題教學(xué)只有充分關(guān)注學(xué)生，努力挖掘?qū)W生潛能，才能真正把握習(xí)題教學(xué)的著力點.相信通過這樣的習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生深深地愛上數(shù)學(xué).■