秦勤

（江蘇省揚(yáng)州技師學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225000）

【學(xué)法指導(dǎo)】

用空間向量方法解立體幾何題

秦勤

（江蘇省揚(yáng)州技師學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225000）

空間向量與立體幾何是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩個(gè)重要分支，它們都承擔(dān)著鍛煉學(xué)生思維的作用。在解幾何難題時(shí)，一是用傳統(tǒng)的幾何方法求解，二是利用空間向量方法。

空間向量法；解題；立體幾何題

空間向量與立體幾何是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩個(gè)重要分支，它們都承擔(dān)著鍛煉學(xué)生思維的作用。在解幾何難題時(shí)，一是用傳統(tǒng)的幾何方法求解，二是利用空間向量方法。在利用傳統(tǒng)方法求解空間角和距離的問(wèn)題時(shí)，一般都要遵循找—證—求的步驟，即先根據(jù)角和距離的定義在給出的圖形中找出或作出要求的角和距離，然后證明作出的角或距離就是欲求之角和距離，最后往往還要進(jìn)行大量的計(jì)算，使得解題過(guò)程困難重重。

而空間向量的學(xué)習(xí)對(duì)一些空間幾何難題的解答有很大的幫助，使題目向簡(jiǎn)單化方向轉(zhuǎn)化。下面舉幾個(gè)例子，可以發(fā)現(xiàn)用空間向量知識(shí)解題的好處是顯而易見(jiàn)的。

例1：三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，底面上一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別為2，3，6cm則這個(gè)點(diǎn)到棱錐頂點(diǎn)的距離是多少？

解：若以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，三條側(cè)棱為空間直角系的三個(gè)坐標(biāo)軸，三個(gè)側(cè)面就成了三個(gè)坐標(biāo)面。該點(diǎn)到側(cè)面的距離就成了到三個(gè)坐標(biāo)平面的距離，故可以認(rèn)為該點(diǎn)的坐標(biāo)（2，3，6），問(wèn)題轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以所求距離d=

例2：如圖，在60°二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，求CD的長(zhǎng)。

例3：已知平行四面體ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，∠BAA1=∠DAA1=60°，求棱AA1與底面ABCD所成的角。

解：設(shè)棱AA1與底面ABCD所成的角為θ

設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為a，

例 4： 已 知 正 方 體ABCD-A'B'C'D'，如圖所示，求異面直線BD，和CB，所成的角。

例5：如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點(diǎn)E在C1C上且C1E=3EC。（1）證明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1-DE-B的大小。

解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz。依題設(shè)B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）。（2，0，4）

（2）設(shè)向量n=（x，y，z）是平面DA1E的法向量，則故2y+z=0，2x+4z=0，令y=1，則z=-2，x=4，n=（4，1， -2）。

如此用向量的方法來(lái)解題，理應(yīng)大力提倡。但對(duì)于向量方法，它更多的是借用代數(shù)運(yùn)算，對(duì)于發(fā)展空間想象能力和立體幾何中思維靈活性的訓(xùn)練有一定削落。

因此，過(guò)分強(qiáng)調(diào)任何一種方法都不恰當(dāng)。我們因應(yīng)分清兩種方法各自的作用與功能。它們可以并存，也可以互相促進(jìn)和發(fā)展，更重要的是可以取長(zhǎng)補(bǔ)短。

G642.41

A

1674-9324（2014）20-0112-02