郭 峰， 謝建華， 樂(lè) 源

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 610031)

由于混沌現(xiàn)象的廣泛存在，最近幾十年，在非線性控制領(lǐng)域內(nèi)，混沌控制的研究受到越來(lái)越多的關(guān)注.人們通過(guò)對(duì)各種混沌現(xiàn)象產(chǎn)生機(jī)理的研究，在不斷發(fā)現(xiàn)新的混沌奇異性的同時(shí)，也逐漸認(rèn)識(shí)到混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的危害，甚至?xí)o系統(tǒng)帶來(lái)災(zāi)難性的后果.而混沌在某些環(huán)境下是有用的，因此，在某些實(shí)際系統(tǒng)中，控制混沌或者混沌的反控制是非常重要和有現(xiàn)實(shí)意義的.

混動(dòng)控制的研究始于20世紀(jì)80年代末，早期的研究思路是用現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)控制策略破壞混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件.文獻(xiàn)[1]提出控制混沌的OGY方法.文獻(xiàn)[2-9]根據(jù)各種不同情況提出了不同的改進(jìn)措施，進(jìn)一步發(fā)展了OGY方法.混沌吸引子中的高周期態(tài)控制以及高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌控制是OGY方法發(fā)展的一個(gè)重要方向.文獻(xiàn)[10]采用線性系統(tǒng)控制中的極點(diǎn)配置技術(shù)，對(duì)OGY方法進(jìn)行了改進(jìn).

文獻(xiàn)[11]對(duì)兩維的Lauwerier映射進(jìn)行了研究，當(dāng)參數(shù)滿足0＜b＜0.5、a==4時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.文獻(xiàn)[12]對(duì)Lauwerier吸引子的結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[13]研究了Lauwerier映射混沌吸引子的遍歷性，但目前尚未見(jiàn)Lauwerier映射的混沌控制問(wèn)題研究，對(duì)該系統(tǒng)的混沌控制有助于解決對(duì)高周期態(tài)和高維系統(tǒng)的控制問(wèn)題.

本文采用極點(diǎn)配置法，對(duì)Lauwerier映射出現(xiàn)的混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制，在保持原系統(tǒng)不改變的情況下，將不穩(wěn)定的周期-1軌道和周期-2軌道控制在穩(wěn)定的周期軌道上，對(duì)不同調(diào)節(jié)器極點(diǎn)對(duì)混沌控制時(shí)間的影響進(jìn)行了分析.

1 極點(diǎn)配置方法

考慮如下映射:

式中:

F是充分光滑的函數(shù);

a是可控的實(shí)參數(shù)，在某時(shí)間段內(nèi)要求

δ為控制區(qū)域.

若Z*()為映射式(1)的不穩(wěn)定周期-1軌道，則該映射可近似線性化為

式中:

A=?F/?Z和B=?F/?a在Z=Z*()和a=處求值.

假設(shè)依賴時(shí)間的控制參數(shù)a是關(guān)于變量zi的線性函數(shù)，即

式中:

KT為反饋增益矩陣.

將式(3)代入式(2)得到

由式(4)知，若矩陣A－BKT是漸進(jìn)穩(wěn)定(即其特征值的模均小于1)的，則不動(dòng)點(diǎn)Z*(ˉ)將變?yōu)榉€(wěn)定的.

關(guān)鍵問(wèn)題是確定滿足上述條件的矩陣KT，文獻(xiàn)[14]給出了求解極點(diǎn)配置的方法，極點(diǎn)配置問(wèn)題存在唯一解的充要條件是矩陣Cn×n是秩為n的可控矩陣.

式中:

βi(i=1，2，…，n)為矩陣 A 的特征多項(xiàng)式

的系數(shù);

α1，α2，…，αn是 A －BKT的特征多項(xiàng)式

的系數(shù).

極點(diǎn)配置問(wèn)題的解由

2 平面Lauwerier映射的混沌控制

考慮定義在區(qū)域 Q=[0，1]×[0，1]上的兩維Lauwerier映射

式(9)把垂直線段x=ξ(0≤y≤1)映射為拋物線.

圖1中，把水平線段y=η(0≤x≤1)映射為水平線段y=4η(1－ η)(η≤x≤η +b(1 －2η))，因而式(9)把Q映射到其內(nèi)部，形成一個(gè)類似Smale馬蹄形狀的像L(Q).

圖1 正方形Q及其像L(Q)Fig.1 Square Q and L(Q)

對(duì)式(10b)進(jìn)行迭代，再取極限得到

再由式(10a)的變換，將式(11)代入式(10a)，可以得到式(9)的不變曲線J的表達(dá)式為

由吸引子的定義和文獻(xiàn)[12]的分析，可知對(duì)Q內(nèi)任一點(diǎn)x，當(dāng)n→∞時(shí)Fn(x)→J－，不變曲線J的閉包構(gòu)成了式(9)的吸引子.

和周期-2軌道:

當(dāng)式(9)中a=3時(shí)出現(xiàn)周期倍化分岔，在a=3.6時(shí)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，圖2為式(9)的混沌相圖，圓點(diǎn)是其周期-1軌道，加號(hào)表示周期-2軌道.

圖2 Lauwerier映射的混沌相圖Fig.2 Chaotic phase diagram of Lauwerier mapping

2.1 控制在周期-1軌道

可控矩陣是秩為2的矩陣βi(i=1，2)為矩陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)，

求得A的特征多項(xiàng)式的根為λs=－1/8，λu=－2，α1和α2是A－BKT的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，若假設(shè)A－BKT的特征根μ1和μ2為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)，即

得到根與系數(shù)的關(guān)系為

當(dāng) μ1=1時(shí)，α1= －1－α2;當(dāng) μ1= －1時(shí)，α1=1+α2;當(dāng) μ1μ2=1時(shí)，α2=1.因此，α1和 α2的取值范圍如圖3中的灰色區(qū)域所示.

在圖3中三角形區(qū)域內(nèi)，對(duì)α1和α2取不同的值使得控制時(shí)間不同.由第1節(jié)可知KT的取法不是唯一的，只要在三角形區(qū)域中取α1和α2值，然后求得矩陣KT，都能滿足矩陣A－BKT是漸進(jìn)穩(wěn)定的，所以取 μ1=0，μ2=λs，即(α1，α2)=(－ λs，0)時(shí)得

式中:u為階躍函數(shù)，

圖3 調(diào)節(jié)器極點(diǎn)的選取區(qū)域Fig.3 Selection of regulator pole area

圖4表示取不同的α1和α2時(shí)將混沌控制在周期-1 軌道，控制區(qū)域 δ=0.02.當(dāng)

α1=1/8， α2=0

時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)230多次的迭代實(shí)現(xiàn)控制的目的.當(dāng)α1=1/6， α2= －1/4

時(shí)，經(jīng)過(guò)3 300次的迭代完成混沌控制.

2.2 控制在周期-2軌道

最直接的方法就是將式(9)進(jìn)行迭代，則周期軌道上的點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)，然后由上述方法進(jìn)行控制.當(dāng)=4時(shí)，得到周期-2軌道為

(x1，y1)=(0.409 0，0.904 5)，

式中:f和g為通過(guò)式(9)的二次迭代所得的函數(shù).

圖4 將混沌運(yùn)動(dòng)控制在周期-1軌道上Fig.4 Control chaos to period-1 orbit

計(jì)算可控矩陣

β1i(i=1，2)為矩陣A1的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，β11=1.850 0，β12=0.579 9，特征根為 λ1s=－0.399 9，λ1u= －1.450 1，α11和 α12是 A1－B1KT1的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，取于是得反饋增益矩陣

β2i(i=1，2)為矩陣A2的特征多項(xiàng)式系數(shù)，

β21=3.926 5， β22=－0.109 0，特征根為 λ2s=0.027 6，λ2u= － 3.954 1.取(α21，α22)=(－ λ2s，0)，得到

得到反饋增益矩陣 KT2=(－0.394 7，6.164 0).

控制率可由下式給出

如圖5 所示，取 δ=0.02、α11= － λ1s、α12=0、α21=－λ2s和α22=0經(jīng)過(guò)430次的迭代將混沌運(yùn)動(dòng)控制在周期-2軌道上.

圖5 將混沌控運(yùn)動(dòng)制在周期-2軌道上Fig.5 Control chaos to period-2 orbit

3 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)用改進(jìn)的OGY方法，在不改變?cè)到y(tǒng)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了對(duì)Lauwerier映射的混沌進(jìn)行控制.利用線性控制理論中的極點(diǎn)配置方法，選擇控制參數(shù)的擾動(dòng)量，分別將不穩(wěn)定的周期-1軌道和周期-2軌道控制在穩(wěn)定的周期-1軌道和周期-2軌道上，結(jié)果顯示，選取不同的極點(diǎn)值時(shí)，控制時(shí)間會(huì)不同.參考文獻(xiàn):

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