唐 芬，朱德全

?

無疑處生疑 有疑處釋疑——國優(yōu)課“二次函數(shù)的概念”教學(xué)片斷賞析與思考

唐 芬1，朱德全2

（1．重慶市永川中學(xué)，重慶 永川 402160；2．西南大學(xué) 教育學(xué)部，重慶 400715）

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是“無疑—有疑—無疑”的循環(huán)和超越過程．有疑和無疑是一對矛盾．教師的作用是“教”有疑與“教”無疑：無疑者需“教”而有疑，即無疑處生疑；有疑者又應(yīng)“教”而無疑，即有疑處釋疑．這便是“教”有疑與“教”無疑的辨證處理要訣，也是“教”有疑和“教”無疑的理想境界．

有疑；無疑；問題；概念教學(xué)；二次函數(shù)

問題是數(shù)學(xué)的心臟．因此，為問題而教，是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和著眼點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)是由問題構(gòu)成的，教學(xué)目標(biāo)需要問題來展現(xiàn)，教學(xué)過程需要問題來活化，教學(xué)對象需要問題來觸動．離開問題，數(shù)學(xué)教學(xué)僅定位于單向的靜態(tài)的傳輸系統(tǒng)．可見，問題應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，問題和問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的生長點(diǎn)[1]．古人說：“學(xué)起于思，思源于疑．”有疑才有問，有問才有思，有思才有得．疑問是思維的火種，思維以疑問為起點(diǎn)．南宋理學(xué)家朱熹說：“讀書無疑者，須教有疑；有疑者，卻要無疑，到這里方是長進(jìn)．”[2]這說明“有疑”和“無疑”是一對矛盾：無疑者，需“教”而有疑，即無疑處生疑；有疑者，又應(yīng)“教”而無疑，即有疑處釋疑．

目前，數(shù)學(xué)課程改革己進(jìn)入“后課改時代”，但數(shù)學(xué)教學(xué)中仍普遍存在“缺乏問題意識，重結(jié)果輕過程，掐頭去尾取中段，在數(shù)學(xué)對象的背景、引入、形成上著墨不夠，導(dǎo)致數(shù)學(xué)對象的學(xué)習(xí)過程被濃縮”等“去問題化”現(xiàn)象[3]，這不利于學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高．?dāng)?shù)學(xué)課堂如何為“疑”而教，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，做到“教有疑”與“教無疑”呢? 這不論是過去還是當(dāng)下，也是未來數(shù)學(xué)課堂的永恒主題．這里以“國優(yōu)課”（第八屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課評比一等獎?wù)n例）參賽選手王文俊老師的“二次函數(shù)的概念”為例，對“教有疑”與“教無疑”做些詮釋．研究者認(rèn)為，整堂課以問題為驅(qū)動，理性自然，把“疑”貫穿教學(xué)全過程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)地建構(gòu)概念、形成概念、應(yīng)用概念、延伸概念，逐步學(xué)會數(shù)學(xué)地認(rèn)識和解決問題．

1 概念鏈接 學(xué)似無疑

1.1 教學(xué)片斷呈現(xiàn)

師：八年級我們學(xué)習(xí)過函數(shù)概念，你能說說什么是函數(shù)嗎？

先后有3名學(xué)生回答并相互補(bǔ)充后得出較完整的函數(shù)概念，教師屏幕顯示．

追問1：你認(rèn)為函數(shù)概念中有哪些關(guān)鍵詞？

追問3：我們已經(jīng)學(xué)過了哪些函數(shù)？……

追問4：以一次函數(shù)為例，說說主要研究了函數(shù)的哪些內(nèi)容？……

師總結(jié)：我們學(xué)習(xí)一次函數(shù)經(jīng)歷了這樣的過程（順序播放圖1）：從實(shí)際問題中，找到兩個變量，如果它們存在一定的依賴關(guān)系，就得到一個函數(shù)，畫出函數(shù)圖象后，通過直觀觀察，總結(jié)出函數(shù)的性質(zhì)，最終又回到實(shí)際問題．所以數(shù)學(xué)來源于生活，也必將應(yīng)用于生活．今天我們還要學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)，請看實(shí)際問題．

圖1

情境二：用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔：

（本片段主要采用問答式，問題解決順利，其中情境五有適當(dāng)點(diǎn)撥，教師板書6個解析式．）

1.2 評析與思考

李邦河院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”蘇聯(lián)教育家克魯普斯卡婭曾說：“數(shù)學(xué)是許多概念組成的鎖鏈．”由此可見，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，問題是數(shù)學(xué)概念的活性酵母[4]，它源自教學(xué)目標(biāo)，成于情境的潛在預(yù)設(shè)．通過復(fù)習(xí)，聚焦函數(shù)概念中始終不變的屬性——“對應(yīng)”[5]，幫助學(xué)生厘清了變量、函數(shù)、常量等概念系統(tǒng)，再現(xiàn)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程；然后基于學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，逐級而上地提出5個情境問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)直覺思維場情境[6]，學(xué)生順利完成，沒有疑點(diǎn)和錯點(diǎn)．盡管學(xué)生看似無疑，但教者實(shí)屬有意：前面的復(fù)習(xí)既是本章的導(dǎo)學(xué)，也為“通過類比探究二次函數(shù)”提供了認(rèn)知基礎(chǔ)；后面5個情境問題是執(zhí)教者對教材的整合，教材的情境問題只有二次函數(shù)模型，執(zhí)教者增加了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、無理函數(shù)模型，然后引導(dǎo)學(xué)生從眾多的模型中抽象出二次函數(shù)的特征．如何抽象？其特征是什么？問題亦蘊(yùn)藏于預(yù)設(shè)的邏輯情境中．

2 概念建構(gòu) 貴在生疑

2.1 教學(xué)片斷呈現(xiàn)

師：同學(xué)們，請觀察剛才列出的6個關(guān)系式，它們都是函數(shù)嗎？

生齊答：是．

師：哪些是我們已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)呢？

生1：第（2）個是一次函數(shù)，第（4）個是反比例函數(shù)．

師：那我們來看看余下的4個函數(shù)，它們有什么特點(diǎn)？

學(xué)生思考、交流、討論．

生3：我不同意，（5）與其它3個函數(shù)不一樣，右邊的式子不是二次整式，而是二次根式．

生4：它們都是二次整式．

師：非常好！你能類比一次函數(shù)的概念，嘗試給二次函數(shù)下定義嗎？

2.2 評析與思考

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)呈現(xiàn)為“冰冷的美麗”，但是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是“火熱的思考”[8]．二次函數(shù)概念不是憑空產(chǎn)生的，是源于函數(shù)知識本身發(fā)展的需要和必然，是基于情境問題解決之需要，這是概念形成的邏輯起點(diǎn)．通過問題驅(qū)動，蘊(yùn)含于問題情境的新舊概念矛盾已經(jīng)凸顯，引發(fā)了學(xué)生原有的認(rèn)知沖突，從而誘使新概念的推出，為學(xué)生搭建了主動建構(gòu)的問題支架，學(xué)生的思維自然而然地卷人其中，探求新函數(shù)的愿望油然而生，二次函數(shù)概念的形成亦水到渠成．

3 概念辨析 妙在釋疑

3.1 教學(xué)片斷呈現(xiàn)

本片段采用問答式，課堂氣氛活躍，學(xué)生發(fā)言踴躍，當(dāng)學(xué)生做出判斷后，教師及時追問判斷理由．完成本例后，師生繼續(xù)對話．

師：通過這8個函數(shù)的辨析，你認(rèn)為判斷二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生1：滿足兩個條件，首先，代數(shù)式部分應(yīng)該整式；其次，自變量最高次是二次．

師：這8個函數(shù)中，（1）和（5）確定是二次函數(shù)，定義域是一切實(shí)數(shù)．把它放在實(shí)際問題中，如情境一、二中的二次函數(shù)，自變量的取值還是一切實(shí)數(shù)嗎？

師：為什么呢？

師：遇到實(shí)際問題時，自變量的取值范圍還要考慮實(shí)際問題是否有意義……

3.2 評析與思考

對于二次函數(shù)概念的理解，除了清楚概念的內(nèi)涵，還必須明晰概念的外延．為此，教師根據(jù)學(xué)生的易錯、易漏、易混點(diǎn)，精選了8個函數(shù)，設(shè)置了兩個有價值的問題：為什么是二次函數(shù)？又為什么不是？以二次函數(shù)的正例和反例為載體，把新的基本概念從正反兩方面講[9]，在每一步“是”或“非”的問題上，小心質(zhì)疑，讓學(xué)生“卷入”對概念的辨析、質(zhì)疑、釋疑之中，達(dá)到豁然開朗的境地，逐步掌握判斷二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，形成用概念作判斷的“基本規(guī)范”，推動學(xué)生對二次函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延的理解；然后進(jìn)一步設(shè)問，豐富學(xué)生對自變量取值范圍的認(rèn)知，為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的相關(guān)知識提供有效保證．正如哲學(xué)家陸九淵所說：“學(xué)者有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)．疑者，覺悟之機(jī)也．一番覺悟，一番長進(jìn)．”[2]

4 概念應(yīng)用 卻要無疑

4.1 教學(xué)片斷呈現(xiàn)

例2 如圖2，在邊長為10的正方形中，是邊上一動點(diǎn)，以為邊長在形內(nèi)作正方形，點(diǎn)在邊上，連接、．當(dāng)在邊上運(yùn)動時，探究圖中變量之間的函數(shù)關(guān)系．

圖2

圖3

師：（啟動幾何畫板，反復(fù)拖動點(diǎn)）請同學(xué)們觀察圖2，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，圖形中哪些量發(fā)生變化？

生1：線段的長度，如線段、、、等．

師：還有其它量發(fā)生變化嗎？

生2：周長．

師：哪些周長？……還有嗎？

生2：△、△，還有正方形，它們的周長都在變．

生3：還有梯形的周長也在變，它們的面積也在隨著變化呢．

生4：角的大小也有發(fā)生變化……

全班練習(xí)，學(xué)生先后主動板演．

師：生8，你能解釋一下為什么嗎？

師：這些變化的量與x是一次函數(shù)關(guān)系，還有二次函數(shù)關(guān)系的嗎？

全班練習(xí)，適時交流討論，學(xué)生思維活躍，有答案后主動板演并講解理由．

生11：梯形的面積：

師：這些都是一次函數(shù)和二次函數(shù)，有沒有其它的函數(shù)關(guān)系呢？

……

（1）分別求剛開始拋物與拋出4秒時，物體離地面的高度；

（2）拋出的物體經(jīng)過幾秒鐘落到地面上？

教師活動：請生念題．電腦模擬上拋運(yùn)動．（1）中剛開始拋物是什么時候？

師：（2）中什么叫落到地面上？

師總結(jié)：數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理和化學(xué)的工具……

4.2 評析與思考

例2的設(shè)置，充分展現(xiàn)了執(zhí)教者的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是本課的最大創(chuàng)新和特色所在．該例問題開放，先任意找兩個變量，再建立函數(shù)關(guān)系，其結(jié)果可能是一次函數(shù)、二次函數(shù)，或其它函數(shù)．借助幾何畫板的動畫功能，啟動學(xué)生的幾何直覺思維，教師適時提出系列問題：“在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，圖形中哪些量發(fā)生變化?”“哪些變量與是一次函數(shù)關(guān)系?”“……還有二次函數(shù)關(guān)系嗎?”這系列問題以“理解性提問”和“評價性提問”為主[10]，都富有挑戰(zhàn)性，提問的受眾覆蓋面廣，為全體學(xué)生營建了平等和諧的思維場景，疑問不斷提出，又不斷被解決，學(xué)生的探究欲望被不斷激發(fā)，在激疑、生疑、釋疑的良性循環(huán)中，學(xué)生的思維自然發(fā)展，對二次函數(shù)的概念和與其它函數(shù)異同的理解有質(zhì)的飛躍．然而，問題的解決又是獲得真知灼見的開始．當(dāng)學(xué)生沉浸在“無疑”的喜悅中時，教師適切提出“這些都是一次函數(shù)和二次函數(shù)，有沒有其它的函數(shù)關(guān)系呢?”引發(fā)學(xué)生新的思考，激起新的思維波瀾，學(xué)生始終處于上下求索的憤悱狀態(tài)，有助于學(xué)生形成不斷質(zhì)疑、釋疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，凸顯了數(shù)學(xué)的理性精神．正如張詩亞先生所說：“一惑剛?cè)?，一惑又來，如此循環(huán)往復(fù)、層層深入，促使學(xué)習(xí)者思維的發(fā)展與知識的增進(jìn)．”[11]《學(xué)記》有說：“善問者如攻堅木，其先易難，后其節(jié)目．”講的也是這個道理．

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)部蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系設(shè)置問題：當(dāng)=0時，即是知自變量的值求函數(shù)值；當(dāng)=0時，即知函數(shù)值求自變量的值；于物理問題中理解二次函數(shù)和一元二次方程的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)的工具性和應(yīng)用性，也為跨學(xué)科發(fā)展學(xué)生問題意識提供例證．

5 概念延伸 須教有疑

5.1 教學(xué)片斷呈現(xiàn)

圖4

5.2 評析與思考

數(shù)學(xué)是充滿著聯(lián)系的，不要教孤立的片段，應(yīng)該教連貫的材料[12]．因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生建立與相關(guān)概念的聯(lián)結(jié)，使當(dāng)前概念與上位概念、下位概念結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化、立體化，實(shí)現(xiàn)新舊概念的無縫對接．二次函數(shù)與已學(xué)函數(shù)，與二次整式、一元二次方程、一元二次不等式，彼此間存在著統(tǒng)一的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，通過課堂導(dǎo)學(xué)和小結(jié)，既能讓學(xué)生鏈接舊知，展望未來學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，為學(xué)生建構(gòu)與二次函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)提供了“機(jī)會和可能”，又給予了學(xué)生必要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，恰到好處地發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育性，讓學(xué)生適時沐浴數(shù)學(xué)精神、思想與方法，獲得理性的數(shù)學(xué)思維的教育[13]．讓其帶著對“已知”的收獲與喜悅、對“未知”的好奇與疑問離開課堂，使學(xué)生產(chǎn)生“心求通而未得，口欲言而未能”的憤悱之感，進(jìn)而達(dá)到課內(nèi)向課外延伸之目的，這正可謂“言有盡而意無窮．”這就是數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量之所在！

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個持續(xù)的“無疑—有疑—無疑”的動態(tài)循環(huán)和提高超越過程．在這個過程中，教師循“在無疑中發(fā)現(xiàn)問題——在生疑中提出問題——在質(zhì)疑中分析問題——在釋疑中解決問題——在無疑中發(fā)現(xiàn)新的問題”的程式展開教學(xué)，其作用是“教有疑”與“教無疑”：當(dāng)學(xué)生“無疑”時，教師要“須教有疑”，制造“山重水復(fù)”的窘境；當(dāng)學(xué)生“有疑”時，教師則要“教而無疑”，不斷開創(chuàng)“柳暗花明”的勝景，這便是關(guān)于“有疑”與“無疑”的辨證處理要訣，也是“教有疑”和“教無疑”的理想境界．

在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師一方面要在學(xué)生的“思維生惑點(diǎn)”[14]設(shè)問，注重設(shè)問的有效性，從能力與方法上設(shè)問，從易錯易混角度上設(shè)問，從成長點(diǎn)和提高點(diǎn)設(shè)問，從開發(fā)潛能點(diǎn)上設(shè)問[13]．另一方面，教師要從整體規(guī)劃提問；有效運(yùn)用元認(rèn)知提示語；及時分析統(tǒng)整學(xué)生的回答；恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)疑境，引導(dǎo)學(xué)生提出有意義的問題等方面優(yōu)化課堂設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力[15~19]．當(dāng)然，“疑”有深淺，“問”有大小，教師能否有效地提問和引發(fā)學(xué)生有效的疑問，源于教師的教學(xué)觀和學(xué)生觀，源于教師對課標(biāo)和教材的理解，源于教師自身的問題意識，源于教師對數(shù)學(xué)教育的情懷．這也是未來數(shù)學(xué)教師著力之所在．期待數(shù)學(xué)課堂在踐行中豐腴，在豐腴中實(shí)現(xiàn)增值！

[1] 胡小松，朱德全．論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的邏輯起點(diǎn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2000，9（3）：33-36．

[2] 孫培青．教育名言錄[M]．上海：上海教育出版社，1984．

[3] 黃曉學(xué)，李艷利．論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)意生成點(diǎn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（6）：9-12．

[4] 趙齊猛．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2013，（1-2）：34-38

[5] 李祎，曹益華．概念的本質(zhì)與定義方式探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）：5-8．

[6] 趙思林，朱德全．試論數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（2）：23-26．

[7] 趙生初，許正川，盧秀敏．圖形變換與中國初中幾何課程的自然融合[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（4）：95-99．

[8] 張奠宙，張蔭南．新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2004，（5）：10．

[9] 匡繼昌．如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）：74-78．

[10] 葉立軍，胡琴竹，斯海霞．錄像分析背景下的代數(shù)課堂教學(xué)提問研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（3）：32-34．

[11] 張詩亞．教學(xué)中的以“惑”為誘[C]．南京：南京師范大學(xué)出版社，2010．

[12] 弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．陳昌平譯．上海：上海教育出版社，1999．

[13] 王光明．高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（1）：35-38．

[14] 黃曉學(xué)．論思維生惑點(diǎn)與數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，16（2）：16-19．

[15] 溫建紅．論數(shù)學(xué)課堂預(yù)設(shè)提問的策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（3）：4-6．

[16] 王光明，宋金錦，佘文娟，等．建立中學(xué)數(shù)學(xué)英才教育的數(shù)學(xué)課程系統(tǒng)——2014年中學(xué)英才教育數(shù)學(xué)課程研討會議綜述[J]．課程·教材·教法，2014，（5）：122-125．

[17] 李鵬，傅贏芳．論數(shù)學(xué)課堂提問的誤區(qū)與對策[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（4）：97-100．

[18] 曹一鳴．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中的“生活化”與“數(shù)學(xué)化”[J]．中國教育學(xué)刊，2006，（2）：46-48．

[19] 溫建紅．?dāng)?shù)學(xué)課堂有效提問的內(nèi)涵及特征[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（6）：11-15．

Discovering and Solving Problem——The Teaching Observation of Excellent Classroom Model: The Conception of Quadratic Function

TANG Fen1, ZHU De-quan2

(1. Yongchuan Middle School, Chongqing 402160, China; 2. Faculty of Education, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The process of math study is the process of the circulation and transcendence of problem-discovering and problem solving .What teachers should do is to teach students how to pose question and then solve it; the aim of teaching is leading students into question which are ignored and solving the problem asked by them. Teaching students how to pose question and then solve it not only the dialectical treatment, but also the ideal state.

problem discovering; problem solving; question; conception; quadratic function

2014–07–21

中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心項目——數(shù)學(xué)素養(yǎng)體系構(gòu)成與質(zhì)量監(jiān)測研究（ZJXT201402）

唐芬（1973—），女，重慶永川人，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．

G421

A

1004–9894（2014）06–0068–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]