成曉升，余軍合，戰(zhàn)洪飛

(寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波 315211)

0 引 言

在工程設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)優(yōu)化問題非常普遍，而且求解過程通常比較復(fù)雜，如何獲取這些問題的最優(yōu)解，一直都是學(xué)術(shù)界和工程界研究的熱點(diǎn)。一般情況下，多目標(biāo)優(yōu)化問題的各個子目標(biāo)之間是矛盾的，一個子目標(biāo)性能的改善有可能會引起另外一個或幾個子目標(biāo)性能的降低，要使全部子目標(biāo)同時達(dá)到最優(yōu)是不可能的，只能在它們中間進(jìn)行協(xié)調(diào)和折中處理［1］。

許多學(xué)者對該類問題進(jìn)行了研究。寧曉斌等［2］采用了多島遺傳法對評價汽車平順性和操穩(wěn)性的性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，有效地解決了多目標(biāo)之間的矛盾。N.Srinivas和 Kalyanmoy Deb［3］提出了 NSGAII，采用快速非占優(yōu)排序，降低了計(jì)算復(fù)雜度;采用擁擠距離比較算子，保持了種群的多樣性;引進(jìn)精英策略，擴(kuò)大采樣空間，防止優(yōu)良個體的丟失，提高了運(yùn)算速度和魯棒性。

本研究基于擁擠距離的非占優(yōu)排序方法，研究多約束、離散變量的處理方法;通過修改和調(diào)試NSGAII算法，以二級減速器的設(shè)計(jì)為例進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比分析，為多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解提供參考。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題描述

多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)形式可以如下描述［4］:

式中:x—D維決策向量;y—目標(biāo)向量;N—優(yōu)化目標(biāo)總數(shù);gi(x)≤0—不等式約束;hj(x)=0—等式約束;fn(x)—目標(biāo)函數(shù);xd－min，xd－max—每個變量的上、下限。

2 改進(jìn)的非占優(yōu)排序遺傳算法

改進(jìn)的非占優(yōu)排序遺傳算法(Non－Dominated Sorting in Genetic Algorithms II，NSGAII)的主要步驟包括:初始化種群、目標(biāo)函數(shù)計(jì)算、非占優(yōu)排序、選擇操作、遺傳和變異操作、種群替換策略和得到帕累托前沿［5］。本研究主要介紹基于擁擠距離的非占優(yōu)排序方法，提出約束和離散變量的處理方法。

2.1 基于擁擠距離的非占優(yōu)排序

基于擁擠距離的非占優(yōu)排序包括:種群個體的非占優(yōu)排序、擁擠距離的計(jì)算。

(1)非占優(yōu)排序。即對種群中的所有個體進(jìn)行兩兩比較。占優(yōu)的個體相對其他個體而言，具有更低的非劣級別;互不占優(yōu)的個體，具有相同的非劣級別。非占優(yōu)序如圖1所示［6］。

(2)擁擠距離的計(jì)算。先將所有染色體在某一目標(biāo)函數(shù)值上從小到大進(jìn)行排序。處于該排序中的某個染色體在這一目標(biāo)函數(shù)上的擁擠距離，為前一個染色體與后一個染色體在該目標(biāo)函數(shù)值上之差;而該染色體的擁擠距離為該染色體在所有目標(biāo)函數(shù)上對應(yīng)的擁擠距離的總和［7］。

圖1 非占優(yōu)排序

2.2 約束的處理

對于約束的處理，傳統(tǒng)的方法是采用懲罰方法。該方法的基本思想是設(shè)法對個體違背約束條件的情況給予懲罰，并將該懲罰體現(xiàn)在適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)中［8］。針對多目標(biāo)多約束優(yōu)化問題，本研究采用基于擁擠距離的非占優(yōu)排序的方法，方法如下:

首先，定義解的約束違反量:

式中:δ—所允許的誤差值。

然后，計(jì)算總的約束違反量，計(jì)算公式為:

最后，根據(jù)兩個解的約束違法總量和目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行占優(yōu)排序。遵循的規(guī)則是:

(1)(φ(x1)=0∧φ(x2)=0)∧(f(x1)＜f(x2))?x1?x2

＜表示占優(yōu);即當(dāng)兩個解都滿足約束時，目標(biāo)函數(shù)值小的占優(yōu);

(2)(φ(x1)=0∧φ(x2)＞0)?x1?x2;即當(dāng)一個滿足約束，而另一個解不滿足約束時，滿足約束的解占優(yōu);

(3)(φ(x1)＞0∧φ(x2)＞0)∧(φ(x1)＜φ(x2))?x1?x2;即當(dāng)兩個解都不滿足約束時，約束違反量小的占優(yōu)。

2.3 離散變量、整數(shù)變量的處理

在一些多目標(biāo)優(yōu)化問題中，變量并不都是連續(xù)的，可能存在離散變量和整數(shù)變量。如在齒輪減速器的齒數(shù)是整數(shù)變量，模數(shù)是離散變量。初始化之后產(chǎn)生的父代和交叉變異之后產(chǎn)生的子代，它們的變量的取值很可能不是可選的值，因此需要對這些變量進(jìn)行處理。

(1)處理整數(shù)變量的方法是:

即采用隨機(jī)的方式，對整數(shù)變量的數(shù)值進(jìn)行向上取整，或者向下取整。例如，某個整數(shù)變量初始化后的結(jié)果是20.2，取整的結(jié)果可能是20也可能是21，概率都是0.5。

(2)處理含非整數(shù)的離散變量，將離散變量的數(shù)值與所有可能取到的值放到一起進(jìn)行排序，以隨機(jī)的方式選擇排序在前一位的數(shù)值還是后一位的數(shù)值。例如，某齒輪的模數(shù)可取的值為 2、2.5、3、3.5、4、4.5、5，在初始化后，如果值在4～4.5之間，處理的結(jié)果可能是4也可能是4.5，概率都是0.5。數(shù)學(xué)表達(dá)為:

如果4＜xi＜4.5，則:

3 二級減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于齒輪的齒數(shù)是整數(shù)，模數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)值，減速器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是一個有約束的、有離散變量的多目標(biāo)優(yōu)化問題，本研究以二級斜齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例來驗(yàn)證所提方法是否可行。

3.1 建立多目標(biāo)優(yōu)化模型

本研究首先選擇合適的設(shè)計(jì)變量，然后建立目標(biāo)函數(shù)，最后確定約束條件。

3.1.1 選擇設(shè)計(jì)變量

二級齒輪減速器的主體部分是兩對齒輪，選擇高速級的傳動比，小齒輪的模數(shù)、齒數(shù)、齒寬、螺旋角，作為設(shè)計(jì)變量。

式中:m1，m2—離散變量;z1，z2—離散的整數(shù)變量，其他5個變量是連續(xù)變量。

3.1.2 建立目標(biāo)函數(shù)

(1)減速器的體積:

(2)減速器的可靠性。為了將目標(biāo)統(tǒng)一為了取最小值，目標(biāo)函數(shù)為減速器失效概率:

其中:

式中:［σ］H—齒輪齒面的接觸疲勞強(qiáng)度極限，T—輸入轉(zhuǎn)矩，K—載荷系數(shù)。

(3)減速器的轉(zhuǎn)角誤差:

式中:i—總傳動比，round()—四舍五入成整數(shù)的操作，n1—高速軸的轉(zhuǎn)速。

3.1.3 確定約束條件

約束條件主要有齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件、彎曲疲勞強(qiáng)度條件、大齒輪的最大浸油深度條件等［9－10］。(1)高速軸齒輪的接觸疲勞強(qiáng)度條件為:

(2)低速的軸齒輪的接觸疲勞強(qiáng)度條件為:

(3)高速軸齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度條件:

(4)低速的軸齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度條件為:

(5)大齒輪的最大浸油深度條件為:

(6)高速級的大齒輪不與軸干涉的條件為:

(7)設(shè)計(jì)變量的取值范圍:

式中:Z—應(yīng)力系數(shù)，［σ］F—齒輪齒面的彎曲疲勞強(qiáng)度極限，Y1—齒形系數(shù)，Y2—螺旋角系數(shù)。

3.2 多目標(biāo)優(yōu)化求解

某二級斜齒輪減速器的設(shè)計(jì)條件為:高速軸輸入功率P=6.2 kW;高速軸轉(zhuǎn)速n=1 450 r/min;總傳動比i=24;大齒輪材料為45鋼，正火HB187－207;小齒輪材料為45鋼，調(diào)質(zhì)HB228－255。

本研究運(yùn)用NSGAII對二級斜齒輪減速器的多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化求解，選擇初始種群數(shù)目為400，迭代次數(shù)為200，使用Matlab2010b運(yùn)行程序，得到結(jié)果如圖2所示。從圖2中可看出，優(yōu)化結(jié)果是一個三維的曲面，這是因?yàn)轶w積、失效概率和轉(zhuǎn)角誤差三者之間相互制約，從而得到帕累托曲面。

圖2 減速器多目標(biāo)優(yōu)化求解結(jié)果

為了能夠更好地觀察，現(xiàn)將這個三維的圖像投影成二維圖像，失效概率與體積如圖3所示。從圖3中可以很清楚地看到，體積與失效概率的二維圖像是一條光滑的曲線，這是因?yàn)轶w積和失效概率是相互制約的，從而得到帕累托曲線。

圖3 失效概率與體積

帕累托前沿中的解互不占優(yōu)，根據(jù)目標(biāo)重要程度，可以基于不同的準(zhǔn)則，選擇不同的滿意解。本研究根據(jù)模糊集合理論的有關(guān)方法選取最優(yōu)解。首先計(jì)算某個解在某個優(yōu)化目標(biāo)上，其目標(biāo)函數(shù)值所占的比重，計(jì)算公式為:

然后計(jì)算各個解在所有目標(biāo)上所占的綜合比重。定義占優(yōu)函數(shù)μi為某個解在所有目標(biāo)上所占的綜合比重。占優(yōu)函數(shù)值μi是一個居于0～1之間的數(shù)。占優(yōu)函數(shù)值μi越大，表明對其評價的級別越高，亦即在客觀評價上用戶對此解更滿意，其計(jì)算公式為:

通過計(jì)算求得最優(yōu)解的目標(biāo)值為:f1=0.060 5;f2=0.072 2;f3=0.031

各個參數(shù)值為:m1=5;z1=32;b1=21.46;β1=6.186 7;i1=6.48;m2=10;z2=25;b2=32.52;β2=13.900 0。

3.3 優(yōu)化結(jié)果比較分析

一般對離散變量的處理是先把變量當(dāng)成連續(xù)變量進(jìn)行求解，然后再對模數(shù)、齒數(shù)進(jìn)行圓整處理。為了方便比較，本研究采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行求解，即先把離散變量當(dāng)作連續(xù)變量求解，然后對求解結(jié)果進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化或者取整［11］。處理前的結(jié)果、處理后的結(jié)果以及本研究求解的結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果比較

從表1中可以看出，采用傳統(tǒng)方法得到了很好的優(yōu)化結(jié)果，但是模數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)值，齒數(shù)不是整數(shù)，并不能滿足工程需求，因此需要對模數(shù)取標(biāo)準(zhǔn)值，齒數(shù)取整數(shù)，然而經(jīng)過處理之后，目標(biāo)函數(shù)值都有不同程度的增加，優(yōu)化效果有所降低。處理前、后對比，體積增加了9%;失效概率增加了15.5%;傳動誤差增加了12.5%，這是因?yàn)檫@些參數(shù)都是相互關(guān)聯(lián)的、相互制約的，人為地分成兩個步驟進(jìn)行優(yōu)化求解，難以保證優(yōu)化結(jié)果最優(yōu)。

本研究在非占優(yōu)排序的時候就對離散變量進(jìn)行處理，不符合要求的個體不會遺傳到下一代，保證了離散變量的值都是滿足要求的值。本研究方法求解的結(jié)果與傳統(tǒng)方法求解的結(jié)果相比，體積減少了4.7%;失效概率減少了15.5%;傳動誤差減少了8.3%?？梢钥闯?，優(yōu)化結(jié)果更合理，而且減少了步驟，更有效率，更符合實(shí)際需求。因此，改進(jìn)的非占優(yōu)排序遺傳算法能夠很好地求解有離散變量、有約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題。

4 結(jié)束語

針對有離散變量、多約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題，本研究提出了離散變量和多約束的處理方法，并以減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，將優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)方法的結(jié)果進(jìn)行比較，來驗(yàn)證該方法的有效性。

研究結(jié)果表明:該方法能很好地解決該類問題，有效地提升優(yōu)化效果。

本研究采用的例子較為簡單，只有3個目標(biāo)函數(shù)，9個變量，7個約束條件，然而有些優(yōu)化問題復(fù)雜得多，有幾十甚至幾百個變量和約束條件，此時，運(yùn)用該方法求解能否取得良好的結(jié)果還有待進(jìn)一步的研究和驗(yàn)證。

［1］ 肖曉偉，肖 迪，林錦國，等.多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究概述［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2011，28(3):806－807.

［2］ 寧曉斌，姜 健，謝偉東，等.基于汽車懸架的多目標(biāo)優(yōu)化方法的研究［J］.機(jī)電工程，2011，28(2):166－168.

［3］ ABIDO M A.Multi－objective evolutionary algorithms for electric power dispatch problem［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2006，10(3):315－329.

［4］ 錢偉懿，李阿軍，楊寧寧.基于混沌的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2008，29(18):4794－4800.

［5］ DEB K，PRATAP A，AGARWAL S.A fast and elitist multi－objective genetic algorithm:NSGA－II［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):82－197.

［6］ 王克喜.大規(guī)模定制下參數(shù)化產(chǎn)品族多目標(biāo)智能優(yōu)化方法與應(yīng)用［D］.長沙:湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，2010:34－35.

［7］ MITRA K，GOPINATH R.Multi－objective optimization of an industrial grinding operation using elitist nondominated sorting genetic algorithm［J］.Chemical Engineering Science，2004，59(2):385－396.

［8］ 陳國良，王煦法，莊鎮(zhèn)泉，等.遺傳算法及其應(yīng)用［M］.北京:人民郵電出版社，2001.

［9］ RUI Li，TIAN Chang.Multi－objective optimization design of gear reducer base on adaptive genetic algorithm［J］.IEEE Transactions on Systems，2008，6(1):229－234.

［10］ 張 凱，蔣玲玲，劉夢迪.基于有限元法的減速器齒輪軸校核［J］.輕工機(jī)械，2013，31(3):72－74.

［11］ 高玉根，王國彪，丁予展.斜齒輪減速器遺傳算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.起重運(yùn)輸機(jī)械，2003，8(1):19.