劉艷英

摘 要：求圓錐曲線(xiàn)的離心率是解析幾何中一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，在高考中又常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線(xiàn)；離心率

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）04-385-01

求圓錐曲線(xiàn)的離心率是解析幾何中一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，在高考中又常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)。這類(lèi)問(wèn)題涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性、技巧性較強(qiáng)，方法靈活，是學(xué)生難以解決的一類(lèi)問(wèn)題。現(xiàn)結(jié)合例題介紹幾種方法供參考。

一、記準(zhǔn)定義，準(zhǔn)確應(yīng)用

離心率定義： .

【例1】（09浙江）已知橢圓 （a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥X軸，直線(xiàn)AB交Y軸于P點(diǎn)，若 則橢圓的離心率為（ ）

A B C D

解析：設(shè)O為原點(diǎn)，由題意知BP∥Y軸，結(jié)合圖形有 ，所以離心率e= = 選D

二、活用性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算

準(zhǔn)確把握并熟練應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)解題可提高解題速度，快速解決選擇、填空題。

【例2】（09湖南）已知以雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_。

解析：由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知 ，所以 即c2=3b2=a2+b2，所以a2=2b2，即 從而離心率

三、熟記結(jié)論，快速解題

一個(gè)常用結(jié)論：在圓錐曲線(xiàn)中過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)之間的線(xiàn)段稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的通徑，通徑的長(zhǎng)為

【例3】已知橢圓 （a>b>0）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作X軸的垂線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若 ，則橢圓的離心率 為（ ）

A B C D

解析：由已知得線(xiàn)段AB為通徑， 又 ，則∠AOB=90°，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性與特殊三角形的性質(zhì)知 ，即 兩邊除以 整理得 因?yàn)?

四、合理轉(zhuǎn)化，認(rèn)真計(jì)算

分析條件，由已知寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系式，即把條件中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，從而得a，c的方程計(jì)算出e.

【例4】（09浙江）過(guò)雙曲線(xiàn) （a>0，b>0）的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為B，C.若 ，則雙曲線(xiàn)的離心率是（ ）

A B C D

解析：雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為 ，過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=-x+a，由 解得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ；由 解得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，又 ，則 ，整理得b=2a，所以b2=4a2則c2-a2=4a2，所以 ，選C

五、巧取特值，化繁為簡(jiǎn)

根據(jù)選擇、填空題不需要解答過(guò)程只需有正確的結(jié)果的特點(diǎn)，據(jù)題意取特值是一種快速解題的方法。

【例5】如果雙曲線(xiàn)的焦距，虛軸長(zhǎng)，實(shí)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_。

解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為2c，虛軸長(zhǎng)2b，實(shí)軸長(zhǎng)2a，且滿(mǎn)足c2=a2+b2，所以（2c）2=（2a）2+（2b）2，根據(jù)特殊勾股關(guān)系，不妨設(shè)焦距2c=5，虛軸長(zhǎng)2b=4，實(shí)軸長(zhǎng)2a=3，則離心率

通過(guò)以上幾例不難得出解決圓錐曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是由題意找到a，c的關(guān)系式或方程。具體解決時(shí)再根據(jù)選擇，填空題的自身特點(diǎn)靈活選擇方法，快速解答。