李春香

教材說明：人教A版選修2-2《2.1合情推理與演繹推理》

課型：新授課

課時(shí)：1課時(shí)

學(xué)情分析

（一）學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)或?qū)W習(xí)起點(diǎn)

學(xué)生已經(jīng)具備了基本的邏輯知識(shí)，有較強(qiáng)的邏輯推斷能力，掌握了簡單命題和復(fù)合命題，以及命題之間的推斷關(guān)系，即充分必要條件，能夠用已有的知識(shí)的引申去解決一些生活中常見的推斷問題.

（二）學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)該內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)

在前面學(xué)生已經(jīng)通過對(duì)邏輯一章的學(xué)習(xí)，具備了基本的邏輯思維能力，結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和日常生活中的實(shí)例，具有了一定的探索，證明的經(jīng)驗(yàn)，了解了邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用.

（三）學(xué)生的思維水平以及學(xué)習(xí)風(fēng)格

由于受以前傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，學(xué)生的數(shù)學(xué)證明思路仍然過于簡單和沒有邏輯性，還沒有形成一套完整的思維體系去解決數(shù)學(xué)問題的證明.因此學(xué)習(xí)風(fēng)格上拖泥帶水，缺少謹(jǐn)慎思維和邏輯思維能力.

（四）學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容可能的困難

通過對(duì)本單元的課堂教學(xué)效果的分析可以看出學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容的時(shí)候可能遇到如下困難：做歸納推理時(shí)思路比較單一，甚至歸納不出來；做類比推理時(shí)不能很好理解已有對(duì)象的性質(zhì).

（五）學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和學(xué)法分析

由于學(xué)生的自我歸納能力較差，因此適合采用引導(dǎo)啟發(fā)式授課方式，和合作交流的學(xué)習(xí)方法.又由于各種實(shí)例都是數(shù)學(xué)中和生活中常見的規(guī)律或現(xiàn)象，講解時(shí)，應(yīng)多幫助學(xué)生分析現(xiàn)象的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生的思考，最后總結(jié)行之有效的推理模式和證明方法

教學(xué)內(nèi)容分析

（一）教學(xué)的主要內(nèi)容

本課的主要內(nèi)容有：

合情推理（歸納推理，類比推理）

（二）教材編寫的特點(diǎn)和設(shè)計(jì)意圖

教材首先通過實(shí)例引出推理的概念，然后通過大量的實(shí)例學(xué)習(xí)歸納推理和類比推理兩種合情推理.有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

1.結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義

2.能利用歸納進(jìn)行簡單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用

（二）過程與方法

1.通過探索，研究，歸納，總結(jié)形成本節(jié)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

2.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)，又是歸納的科學(xué)，數(shù)學(xué)規(guī)律和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)往往使用的是合情推理.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.結(jié)合本節(jié)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)推理與其他學(xué)科以及實(shí)際生活的聯(lián)系，體會(huì)推理的意義及重要性

2.體會(huì)合情推理有助于培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行歸納的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)，從而形成實(shí)事求是好習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn)

歸納推理及類比推理的定義

教學(xué)難點(diǎn)

（一）教會(huì)學(xué)生歸納推理的基本方法

（二）如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

教學(xué)策略的選擇與設(shè)計(jì)

以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以能力發(fā)展為目標(biāo)，從學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律出發(fā)進(jìn)行啟發(fā).在合情推理的講授中運(yùn)用討論法、講授法調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受知識(shí)的無窮魅力.

教學(xué)資源與手段

資源：三角板，白粉筆，彩粉筆，多媒體課件

手段：利用幻燈片加載大量實(shí)例，更加貼合實(shí)際，容易分析，加強(qiáng)理解.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

創(chuàng)設(shè)情境：

在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)自覺或不自覺地根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷.例如，當(dāng)我們看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí)，就會(huì)得出即將下雨的判斷.實(shí)際上這種思維方式就是推理.

問題：生活中還有哪些例子涉及推理？

導(dǎo)入新課：

1.哥德巴赫猜想：觀察4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=13+3，18=11+7，20=13+7，…，50=13+37，…，100=3+97，猜測：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素?cái)?shù)）可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和.1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想.1973年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個(gè)素?cái)?shù)與至多兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”.

2.費(fèi)馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王——費(fèi)馬（1601—1665）在1640年通過對(duì)F0=220+1=3，F(xiàn)1=221+1=5，F(xiàn)2=222+1=17，F(xiàn)3=223+1=257，F(xiàn)4=224+1=65537的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù)，于是提出猜想：對(duì)所有的自然數(shù)n，任何形如Fn=22n+1的數(shù)都是素?cái)?shù).后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，發(fā)現(xiàn)F5=225+1=4294967297=641×6700417不是素?cái)?shù)，推翻費(fèi)馬猜想.

新課講授：

1.教學(xué)概念：

① 概念：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.

② 歸納練習(xí)：（?。┯摄~、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？

（ⅱ）由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？

（ⅲ）觀察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7+9=16=42，能得出怎樣的結(jié)論？

③ 討論：（?。┙y(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是否屬歸納推理？

（ⅱ）歸納推理有何作用？ （發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段）

（ⅲ）歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定）

2.教學(xué)例題：

①出示例題：已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=2，且an+1=an1+an（n=1，2，…），試歸納出通項(xiàng)公式.

（分析思路：試值n=1，2，3，4 → 猜想an →如何證明：將遞推公式變形，再構(gòu)造新數(shù)列）

②思考：證得某命題在n=n0時(shí)成立；又假設(shè)在n=k時(shí)命題成立，再證明n=k+1時(shí)命題也成立.由這兩步，可以歸納出什么結(jié)論？ （目的：滲透數(shù)學(xué)歸納法原理，即基礎(chǔ)、遞推關(guān)系）

③練習(xí)：已知f（1）=0，af（n）=bf（n-1）=1，n≥2，a>0，b>0，推測f（n）的表達(dá)式.

3.小結(jié)：①歸納推理的要點(diǎn)：由部分到整體、由個(gè)別到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納.

下面我們來看合情推理的另外一種形式，請(qǐng)大家先看下面的練習(xí)：

1.練習(xí)：已知 ai>0（i=1，2，…，n），考察下列式子：（ⅰ）a1·1a1≥1；（ⅱ）（a1+a2）1a1+1a2≥4；（ⅲ）（a1+a2+a3）1a1+1a2+1a3≥9.我們可以歸納出，對(duì)a1，a2，…，an也成立的類似不等式為 .

2.猜想數(shù)列11×3，-13×5，15×7，-17×9，…的通項(xiàng)公式是 .

剛才我們做這兩個(gè)小練習(xí)都是在不自覺中模仿給出的實(shí)例去“照葫蘆畫瓢”.實(shí)際上，我們?nèi)祟惖脑S多發(fā)明和重大發(fā)現(xiàn)，都是通過這種方式得到的.

魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點(diǎn)，如都是繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學(xué)家猜測：火星上有生命存在.以上都是類比思維，即類比推理.

1.教學(xué)概念：

① 概念：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

② 類比練習(xí)：

（?。﹫A有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體？

（ⅱ）平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論？

（ⅲ）由圓的一些特征，類比得到球體的相應(yīng)特征.（教材P81 探究 填表）

小結(jié)：平面→空間，圓→球，線→面.

③ 討論：以平面向量為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)空間向量，試舉例其中的一些類比思維.

2.教學(xué)例題：

① 出示例1：類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).（得到如下表格）

②出示例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.

思維：直角三角形中，∠C=90°，3條邊的長度a，b，c，2條直角邊a，b和1條斜邊c；

→3個(gè)面兩兩垂直的四面體中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°，4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S

3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.→ 拓展：三角形到四面體的類比.

類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.

——數(shù)學(xué)家波利亞

3.小結(jié)

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理.

課堂小結(jié)：

教學(xué)反思

（一）目標(biāo)的達(dá)成

通過教師的引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何進(jìn)行歸納推理與類比推理，如何正確地歸納出一般結(jié)論，并記住了一些常用結(jié)論.通過本單元的學(xué)習(xí)，達(dá)到了鞏固知識(shí)和提高能力的雙重目的.

（二）教具的使用

幻燈片能有效增大課堂容量，節(jié)省了教師抄題的時(shí)間，可以把更多的時(shí)間留給學(xué)生思考，交流討論.而且對(duì)于幾何問題的證明更加形象逼真.

（三）遇到的問題

1.由于中國文化歷史悠久，很多字詞在不同的語境里含義各不相同，在分析個(gè)別日常生活中的實(shí)例時(shí)，容易產(chǎn)生歧義.

2.在類比推理的教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)個(gè)別同學(xué)不能很好理解原有實(shí)例的產(chǎn)生過程，以至于做類比結(jié)論時(shí)產(chǎn)生偏頗.

（四）優(yōu)點(diǎn)、不足和改進(jìn)計(jì)劃

1.優(yōu)點(diǎn)：本節(jié)課授課，使用數(shù)學(xué)語言謹(jǐn)慎周密，能培養(yǎng)學(xué)生良好的語言習(xí)慣，給學(xué)生樹立很好的榜樣；授課過程中始終堅(jiān)持學(xué)生為主體的思想，通過給學(xué)生提供自主探索和獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)實(shí)例中的規(guī)律，以及總結(jié)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2.不足：在進(jìn)行歸納推理和類比推理教學(xué)的時(shí)候，對(duì)學(xué)生提出的一些偏離教材的答案準(zhǔn)備不足，個(gè)別問題沒有及時(shí)糾正；題目的設(shè)計(jì)上缺少平面幾何與空間幾何的類比題目.

3.改進(jìn)計(jì)劃：發(fā)揚(yáng)自己的優(yōu)勢，繼續(xù)擴(kuò)大自己的知識(shí)面，多做一些推理論證的題目，開闊自己的視角和思路；在以后的教學(xué)中更加深入的挖掘教材的內(nèi)涵，多做準(zhǔn)備工作，盡量多的考慮到學(xué)生可能有的各種反應(yīng)；課堂教學(xué)過程中，繼續(xù)保持良好的語言習(xí)慣，帶動(dòng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎紗栴}.