范艷華

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一種思維活動。數(shù)學(xué)教學(xué)過程的本質(zhì)是教師指導(dǎo)下的學(xué)生的認(rèn)識實踐過程，是學(xué)生的思維經(jīng)過同化、順應(yīng)，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。教學(xué)中教師應(yīng)該讀懂學(xué)生的思維過程，把準(zhǔn)學(xué)生的思維之脈，順應(yīng)學(xué)生的思維現(xiàn)實，這將有利于學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)課堂；思維；順應(yīng)；過程

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）04-0069-04

數(shù)學(xué)教學(xué)過程的本質(zhì)是教師指導(dǎo)下的學(xué)生的認(rèn)識實踐過程。學(xué)生頭腦里原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與將要學(xué)習(xí)的新數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)之間不斷相互作用，學(xué)生的思維經(jīng)過同化、順應(yīng)、構(gòu)建新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

而在實際的課堂教學(xué)中，依然存在著教師只顧循著自己的“設(shè)計思路”牽引學(xué)生的思維，忽略學(xué)生思維的真實過程的現(xiàn)象。

因此，教師如何在深入了解學(xué)生的思維真相的基礎(chǔ)上展開學(xué)生真正需要的教學(xué)，是我們必須關(guān)注和面對的問題。這意味著教學(xué)中教師要順應(yīng)學(xué)生的原始思維、多向思維以及超前思維等思維現(xiàn)實，始終把準(zhǔn)學(xué)生的思維之脈。

一、順應(yīng)學(xué)生的原始思維

教師在備課時，往往是站在教材的角度，思考知識重點是什么，要求學(xué)生掌握什么，而常常忽略學(xué)生的原始思維是什么，在教學(xué)中將學(xué)生生硬地牽入教師預(yù)設(shè)的“新軌道”，導(dǎo)致學(xué)生的原始思維過程得不到澄清，使學(xué)生始終停留在思維困惑中。

再完善的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和思維過程， 教師也無法代替，教師要順著學(xué)生的原始思維漸進引導(dǎo)，讓學(xué)生在不知不覺中從原始思維走進新的思維。只有當(dāng)學(xué)生的思維真正被啟動起來，才能轉(zhuǎn)化成他們頭腦里的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

案例1：蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)乘小數(shù)》教學(xué)片段

學(xué)生嘗試計算3.6×2.8，然后交流。

生：3.6×2.8=100.8 理由：因為小數(shù)點要對齊。

師：為什么要小數(shù)點對齊呢？

生：因為在小數(shù)的計算時都要把小數(shù)點對齊。

師（一時無語）：哦，請坐下。還有別的想法嗎？……

1.要讀懂學(xué)生的原始思維

學(xué)生在第四單元已經(jīng)學(xué)過《小數(shù)的加減法》，在計算小數(shù)加減法時特別強調(diào)把小數(shù)點對齊也就是把數(shù)位對齊；第七單元《小數(shù)的乘法和除法（一）》中已經(jīng)學(xué)過小數(shù)乘整數(shù)，小數(shù)乘整數(shù)時雖然也觀察積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)小數(shù)位數(shù)的關(guān)系，但是從形式上看，小數(shù)乘整數(shù)時，積的小數(shù)點和因數(shù)的小數(shù)點正好也是對齊的。所以當(dāng)遇到小數(shù)乘小數(shù)時，有一部分學(xué)生就直接進行“經(jīng)驗”遷移：列豎式時將因數(shù)的小數(shù)點對齊，然后先按整數(shù)乘法的計算方法算出積，最后再把積的小數(shù)點和豎式中因數(shù)的小數(shù)點對齊。于是就有了上面案例中的情況。

2.要把學(xué)生的原始思維作為最好的教學(xué)起點

學(xué)生出現(xiàn)這樣的結(jié)果，其實有經(jīng)驗的教師是應(yīng)該可以預(yù)設(shè)到的，但往往是教師即使預(yù)設(shè)到了也不敢或者不愿正面去應(yīng)對，常常采取避而不答的態(tài)度。

殊不知，學(xué)生的原始思維，正是教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳的生長點。上面的案例中學(xué)生的原始思維雖然是錯誤的經(jīng)驗遷移，但是其中蘊含著它的合理因素，那就是“小數(shù)乘小數(shù)首先是按整數(shù)乘法的計算方法算出積”，這一步顯然至關(guān)重要。此時，教師要先肯定這位學(xué)生的正確之處，然后再這樣追問：“原來是兩個小數(shù)相乘，現(xiàn)在把它們當(dāng)作整數(shù)相乘，那么乘得的積和原來的積比較發(fā)生了怎樣的變化？如果將積的小數(shù)點和因數(shù)的小數(shù)點對齊，是不是就回到了原來積的大小呢？”在這樣的追問下，學(xué)生自然就會在思維上深入一層，從積的變化情況去求索積的小數(shù)點的位置這個關(guān)鍵的問題。在基于學(xué)生原始思維基礎(chǔ)上的教學(xué)過程中，學(xué)生有一種始終被教師尊重和關(guān)注的感覺。在這樣的“感覺”驅(qū)動下，學(xué)生的思維會在不知不覺中隨著教師的引導(dǎo)主動深入到更高層次的數(shù)學(xué)問題情境，進而得到真正的發(fā)展。

二、順應(yīng)學(xué)生的多向思維

在教學(xué)中，面對一個數(shù)學(xué)問題，由于學(xué)生的先有經(jīng)驗、思維特點、思維水平的不同，往往會有不同的思維方向，進而產(chǎn)生不同的思維結(jié)果。面對學(xué)生的多向思維，教師往往只取合乎預(yù)設(shè)教學(xué)思路的，而去除一些與預(yù)設(shè)教學(xué)思路不符合的或者有點“旁門左道”的結(jié)果。這樣，表面看來似乎教學(xué)推進順利，而實際上，在這樣的教學(xué)過程中，一些學(xué)生活躍的思維被嘎然“關(guān)住”了。隨著教學(xué)的繼續(xù)，這些學(xué)生不明白：自己明明想的是對的，為什么老師卻對自己的想法不置可否或者不予理睬呢？試想，在這樣的教學(xué)過程中，多少閃亮的思維被教師的“不予理睬”給扼殺了。教學(xué)目標(biāo)的達成難道僅僅是教材知識技能的落實？

案例2：蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊《一個數(shù)除以小數(shù)》教學(xué)片段

師：7.98÷4.2，這是今天我們要研究的除數(shù)是小數(shù)的除法，顯然目前我們還不會算。你們會將它轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)會算的算式來計算嗎？

生1：我想把它變成798÷42，然后把算出來的商再除以……（學(xué)生在思考、在猶豫）除以1000。

其他學(xué)生有不同聲音：不對，是除以100。

師：意見不太統(tǒng)一，看來這種方法有點問題。還有不同的想法嗎？

生（在下面輕聲說）：只要把商除以10就可以了。

生2：只要把它變成798÷420，這樣商是不變的。

師（面露欣喜）：你的想法很有道理，你想到了用商不變的規(guī)律來解決這個問題。老師有個小建議，你看用商不變的規(guī)律能不能把它轉(zhuǎn)化成簡單一點的除法？比如我們前面剛學(xué)過的小數(shù)除以整數(shù)？

生3（受了教師的暗示恍然大悟）：老師，只要變成79.8÷42就可以了。

師：你真聰明！來說說看，你是怎么想的呢？

生3：只要把被除數(shù)和除數(shù)都乘10，這樣就是小數(shù)除以整數(shù)啦，而且商是不變的。

師：掌聲在哪里？

（學(xué)生們鼓掌。）

師：你們看，這么一變，我們就把未知的問題轉(zhuǎn)化成了已知的問題。來，用這樣的方法我們來試著算一算。

（學(xué)生嘗試計算。）

1.要打開學(xué)生的多向思維

上面案例中，學(xué)生出現(xiàn)了三種不同的思維結(jié)果：想法一將除數(shù)是小數(shù)的除法變成整數(shù)除法，發(fā)現(xiàn)商會發(fā)生變化，于是想辦法將商進行還原；想法二將除數(shù)是小數(shù)的除法根據(jù)商不變規(guī)律直接轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，這樣雖與教材的方法不一致，但接近了；于是在教師的“引導(dǎo)”下，就出現(xiàn)了和教材完全一致的方法三，將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。透過學(xué)生的多向思維的三種結(jié)果我們可以看到，盡管學(xué)生的思維是多向的，方法也各有不同，然而在這些不同中總有著本質(zhì)的相互聯(lián)系，也有著本質(zhì)的共同點：即學(xué)生都在設(shè)法將未知的“不能”轉(zhuǎn)化成已知的“能”，把小數(shù)變成整數(shù)。不同的是，想法一想到的先“變”再“還原”，也就是先把除數(shù)和被除數(shù)都變成整數(shù)，觀察分析被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生的變化引起商發(fā)生的變化，再把商“變回來”，但由于變化有點復(fù)雜，一時沒有厘清還原的思路。而想法二是直接利用商不變的規(guī)律達成了形式變了而實質(zhì)沒變，想法三其實與方法二基本相同，只是著眼變化的點不同，方法二是將被除數(shù)和除數(shù)都變成整數(shù)，而方法二只要將除數(shù)變成整數(shù)。教師要善于在學(xué)生的思維充分被激活的狀態(tài)下，引領(lǐng)學(xué)生一起走進新知的探索之旅。

2.要把多向思維作為最好教學(xué)深入點

“一切教都是為了不教”，在遇到一個新的數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)教師充分激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生將自己的想法“傾囊而出”時，學(xué)生的思維之閥就會一下子打開。此時，學(xué)生之間還會進行思維的碰撞與啟發(fā)，在交流碰撞的過程中逐步優(yōu)化解決問題策略，提升思維的深度和廣度。

上面案例中，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)想法一又說不清時，教師可以將之記錄下來，然后再傾聽別的想法，于是很自然會出現(xiàn)想法二和想法三。這時，教師就組織學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位選擇其中一種或幾種方法進行研究，相信學(xué)生定能將之闡釋清楚。最后，教師再組織學(xué)生比較，這三種方法哪種更優(yōu)。學(xué)生有可能會覺得三種方法都不錯。這時，教師可以設(shè)計這樣一組題：37.5÷7.5 0.476÷2.8 4.7÷2.35讓學(xué)生繼續(xù)練習(xí)。第一題讓學(xué)生體會：在小數(shù)位數(shù)相同的情況下，三種方法優(yōu)勢相差無幾。第二題讓學(xué)生體會如果要將被除數(shù)和除數(shù)都變成整數(shù)，顯然比較麻煩，只需轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)就可以了。第三題讓學(xué)生體會：本質(zhì)是看除數(shù)，目的只需將除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)。通過這三小題的練習(xí)比較，學(xué)生在計算中自主選擇合理的策略解決實際的數(shù)學(xué)問題，明白了解決問題時首先要明確所選思路的方向，然后順著這個方向再選擇合適的策略，同時還要學(xué)會策略之間的相互比較，在某個解決策略行不通或者遇上麻煩時，可以對解決問題的思路進行修整，或者改道而行。這樣的過程中，學(xué)生習(xí)得的不僅是一種新計算的方法，更寶貴的是習(xí)得了一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。

三、順應(yīng)學(xué)生的超前思維

如果問教師這樣一個問題：“你在備課和上課的過程中，最關(guān)注的是哪一層次的學(xué)生？”相信很多教師會回答：“我最關(guān)注的是那一批學(xué)得比較慢的學(xué)生，我得保證這些學(xué)生能掌握新知。”可以看出，這樣的教師責(zé)任心很強，班級授課，當(dāng)然要兼顧到全體，尤其是那一批“學(xué)得慢”的學(xué)生。在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)時我們得保證每個孩子對于“雙基”的落實，即掌握本節(jié)課的基礎(chǔ)知識，形成基本技能。但是，在教學(xué)的實際過程中，我們往往會遇到有的學(xué)生的思維走在了教師預(yù)設(shè)之前，或者遠遠超過了預(yù)設(shè)的思維范圍。這樣的時候，教師往往不敢往前跨越，因為怕這樣的超前思維干擾了基本思維的走向，怕這些超前學(xué)生“影響”學(xué)得較慢的那批學(xué)生，使得他們無法落實“雙基”。事實證明其實不然，一部分學(xué)生的超前思維，能帶動全體學(xué)生的思維走得更遠。

案例3：蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊《整百數(shù)乘一位數(shù)的口算》教學(xué)片段1

①2×3 6×8 4×7

200×3 600×8 400×7

學(xué)生口算后，教師提問：算完這些題你想說什么？

生1：200×3=600中的6和上面的6相同。

生2：6×8=48 6×800只要把上面的48拉下來再添2個0。

師：下面老師先出一題，你們先算再來猜它的上一題或者下一題。我出300×8

生：300×8=2400，下面一題3×8=24.

師：我出5×9=45，猜猜它下面一題可能是什么？

生1：500×9=4500

生2：900×5=4500

生3：500×9=4500

生4：500×900=……四萬五百（第一次超前）

師：（沒有將之板書出來），可以的，但是你們還不會算，算出的這個數(shù)可能你們還不會讀。

片段2：

②分一分 想一想

6×8 30×7 4×90 3×7 400×9 4×9 300×7 4×9

四人小組，把這些算式分一分類，并說說為什么這么分？

師：3×7和4×9都有好朋友，6×8特孤單，你們也來給它找?guī)讉€朋友呢。

生1：6×800=4800

生2：6×80=480

生3：600×8=4800

生4：800×6=4800

生5：600×800（第二次“超前”，仍然是剛才的那個男孩）

師：你堅持還要出這個題，你知道等于多少？試試看。

生5：等于四萬八百。

師：這個數(shù)你不會讀，但你知道大概等于多少。

生5：（自我糾正）四萬八千。

師：（微笑著）下面我們再來練習(xí)。

1.要接住學(xué)生的超前思維

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注意知識的“生長點”和“延伸點”，要把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識之間關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。

對于數(shù)學(xué)的整體性，我們可以從兩個層面理解：一是知識體系的整體性，二是學(xué)生思維的整體性。知識體系的整體性不難理解，但是思維的整體性，這是一個隱性的、基于學(xué)生的實際情況而論的體系，具有一定的動態(tài)性和隨機性。

上述案例中，教師預(yù)設(shè)的知識技能目標(biāo)是讓學(xué)生在已經(jīng)會口算整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生掌握整百數(shù)乘一位數(shù)的口算方法，并且特別注重溝通整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)、整百數(shù)乘一位數(shù)與相對應(yīng)的一位數(shù)乘一位數(shù)的表內(nèi)乘法的聯(lián)系，借助表內(nèi)乘法來算出整百數(shù)乘一位數(shù)。

讓學(xué)生分一分類，給其中一個算式“找朋友”等練習(xí)，給了學(xué)生充分的思維空間。應(yīng)該說教師已經(jīng)有了將數(shù)學(xué)知識置于整體的數(shù)學(xué)知識體系中的思想。但是在放手的同時，教師的心中始終有一個“界限”：本堂課主要教學(xué)整百數(shù)乘一位數(shù)，所得的積是三位數(shù)或者四位數(shù)，如果是整百數(shù)乘整十?dāng)?shù)或者整百數(shù)乘整百數(shù)，那么已經(jīng)超過了學(xué)生對本節(jié)課的認(rèn)知范圍，所得的積可能學(xué)生不會讀，而且算理也超過了本節(jié)課的范圍。因此，當(dāng)學(xué)生思維第一次超前時，教師采取了“這個知識你還不會”加以回避，而當(dāng)學(xué)生思維第二次超前時讓學(xué)生試一試，然后暫時擱置。顯然，教師還是不敢越出既定的目標(biāo)。

學(xué)生的思維是具有整體性的，經(jīng)過一系列的溝通練習(xí)，思維已經(jīng)由口算一位數(shù)乘一位數(shù)的方法延伸至將其中一個乘數(shù)末尾分別添寫一個0、兩個0、三個0……，或者將兩個乘數(shù)的末尾都添加一個0、兩個0、三個0……這樣的整體體系中。如果此時教師還是將學(xué)生拉回界限以內(nèi)，這位“超前”的學(xué)生將因為教師無視他的思維結(jié)果而不再“平靜”，他將始終糾結(jié)在這個他認(rèn)為非常正確的問題上。同時，對于其他學(xué)生而言，被激起的“共鳴”也將因為教師的無視而自生自滅。顯然，這是違背學(xué)生學(xué)習(xí)心理和思維發(fā)展規(guī)律的。因此，這個時候，教師要接住學(xué)生超前的思維，順勢將學(xué)生的思維引進更寬廣的領(lǐng)域。

2.要把學(xué)生的超前思維作為教學(xué)的延伸點

學(xué)生思維“出界”之處，往往就是教學(xué)中思維的延伸處。接住并順應(yīng)著學(xué)生超前的思維，對于整個教學(xué)過程來講，無疑是一個打開和延伸學(xué)生思維的良好契機。

在上述案例中，教師可以果斷接過學(xué)生的思維，巧妙帶領(lǐng)學(xué)生“超越”過去。當(dāng)學(xué)生說出“500×900=……四萬五百”時，教師可以先將學(xué)生舉的這一算式記錄在黑板上，結(jié)果先不寫出，讓學(xué)生來辨析一下：這位同學(xué)給“5×9=45”找的“500×900”算式朋友和上面的幾個算式有什么不同？（兩個乘數(shù)的末尾都有0）又有什么相同之處呢？（引導(dǎo)學(xué)生得出這些算式都和5×9是“好朋友”，也就是乘數(shù)、積之間都有密切的聯(lián)系）。在辨析清楚算式層面的特征以后，可以組織學(xué)生討論得出，這個算式的積是多少，并試著讓學(xué)生說出自己的思考過程。學(xué)生定能找到其中蘊含的規(guī)律，并進一步舉一反三。

這時，盡管沒法完全講清算理，但是，順著學(xué)生的思路，當(dāng)教師接過學(xué)生的這一超前思維，在課堂的這一站停留片刻，其他學(xué)生的思維也一下子被打開了，最為可貴的是學(xué)生習(xí)得了在舉一反三中讓思維向深處發(fā)展的能力。從某種意義上說，這應(yīng)該比讓學(xué)生熟練掌握本節(jié)課的口算技能更為重要。

綜上所述，順應(yīng)學(xué)生的思維現(xiàn)實的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生的思維必然是開放的，是在教師的引導(dǎo)下真正自然生長的，是不受任何現(xiàn)有的“標(biāo)準(zhǔn)答案”桎梏的。這樣的課堂，能讓學(xué)生通過具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)和各種具體的數(shù)學(xué)活動，正確、深入地理解和牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)思維能力。這樣的課堂，學(xué)生才能真正感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，開闊數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野。

責(zé)任編輯：石萍