黃健

【摘要】近年來，江蘇高考中經(jīng)常出現(xiàn)二元或三元函數(shù)求最值或值域的試題，這類試題變量較多，考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，有一定的難度，學(xué)生往往無從下手.本文通過示例談?wù)勥@類問題的求解策略，以期幫助大家提高解決這類問題的能力.

【關(guān)鍵詞】二元函數(shù)；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合

問題1：（2008江蘇11題）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是.

解析題中有三個(gè)量，通過合理消元將目標(biāo)函數(shù)化為二元函數(shù).

由x-2y+3z=0得y=x+3z2，代入y2xz得x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，

當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.

說明題設(shè)條件給出的變量間的關(guān)系是等量關(guān)系，可以用函數(shù)法、基本不等式等方法解決.本題考查二元基本不等式的運(yùn)用.

演練1已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

解析x+y+z=1兩邊平方得：3+2xy+xz+yz=1，即xy+zx+y=-1，又x+y=1-z，所以xy+z1-z=-1，xyz=-1-z1-zz=z3-z2-z.

由3-z2=x2+y2≥2xy=2-1-z1-z得-1≤z≤53.

記f（z）=z3-z2-z，由導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)不難求出最大值為527.

說明本題條件給出的是等量關(guān)系，可考慮用函數(shù)法、基本不等式等方法.合理變形消元將目標(biāo)函數(shù)化為一元函數(shù)是解決好本題的關(guān)鍵，不能忘記函數(shù)的定義域.

問題2：（2010江蘇12題）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2[]y≤9，則x3[]y4的最大值是.

解析一

x2[]y2∈[16，81]，1[]xy2∈1[]8，1[]3，x3[]y4=x2[]y2·1[]xy2∈[2，27].

解析二由題意不難發(fā)現(xiàn)x>0，y>0，對(duì)兩不等式分別取常用對(duì)數(shù)得：

lg3≤lgx+2lgy≤3lg2，2lg2≤2lgx-lgy≤2lg3，目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為3lgx-4lgy，令lgx=u，lgy=v，問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，不難求得最大值為27.

說明題設(shè)條件給出的變量間的關(guān)系是不等關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題解決.本題考查不等式的基本性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

問題3：（2012江蘇14題）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則b[]a的取值范圍是.

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化為：3·ac+bc≥5，ac+bc≤4，bc≥eac.

設(shè)ac=x，y=bc，則題目轉(zhuǎn)化為：

已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>0，求y[]x的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區(qū)域，由規(guī)劃知識(shí)不難求得yx的取值范圍為e， 7，即ba的取值范圍是e， 7.

說明題中有三個(gè)量，通過恰當(dāng)合理地轉(zhuǎn)化，條件化為二元不等關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題解決.主要考查不等式的基本性質(zhì)、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算、平面區(qū)域以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是注意不等式的等價(jià)變形，做到每一步都要等價(jià).

演練2已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，求ba的取值范圍.

解析令x=ba，y=ca，由b+2c≤3a，c+2a≤3b，得x+2y≤3①，y+2≤3x②.

又a-bc，

得-y<1-xy④.

問題轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)變量x，y的不等關(guān)系，求變量x的范圍，可用線性規(guī)劃的方法處理.

作出平面區(qū)域，可得ba的取值范圍是34，53.

說明本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃，考查了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

以上幾道題目給我們的啟示：一般地，求二元函數(shù)的值域或最值問題，如果題設(shè)條件給出的變量間的關(guān)系是等量關(guān)系，那么可以用函數(shù)法、基本不等式等方法解決；如果題設(shè)條件給出的變量間的關(guān)系是不等關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題來求解.若題中有多個(gè)變量，可根據(jù)題意減少變量的個(gè)數(shù).