古晞 江開忠

【摘要】本文討論了一道積分極限題的解法.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；積分；極限

同濟大學(xué)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期期末考試當中有一道題：

計算極限I=limx→0∫xln（1+x）（1-2t）1tt2.

這是一道積分極限題，放在最后一道，當然是有些難度的，批改下來發(fā)現(xiàn)確實很少有學(xué)生能完整地給出解答，有些學(xué)生是這樣解題的：

I=limx→0∫xln（1+x）e-2t2dt=e-2limx→0∫xln（1+x）1t2dt=e-2limx→01ln（1+x）-1x=e-2limx→0x-ln（1+x）xln（1+x）=e-2limx→0x-ln（1+x）x2=e-2limx→01-11+x2x=12e2.

這樣做和最后的答案是一致的，但卻是錯誤的解法.原因在于先將積分號里的分子用極限的結(jié)果來代替，將這個常數(shù)結(jié)果提到積分號外面來，從而方便地用牛頓—萊布尼茲公式求出原函數(shù)在上下限的差，再利用洛必達法則輕松地求出結(jié)果.但積分號里的分子分母同時含有積分變量，先求分子的極限忽略分母當然是沒有道理的，所以即使結(jié)果正確，我們也判其為零分.正確的解法是先利用中值定理：