引領(lǐng)學生思維不斷數(shù)學化是解決問題教學的重中之重。引領(lǐng)學生思維數(shù)學化的過程，其實就是思維訓練的過程，在教學中完全可以通過引導(dǎo)學生建構(gòu)數(shù)學模型來達成。在教學實踐中，教師可以通過“挖掘生活原型——簡化問題表述——建立數(shù)學模型”三個步驟，引導(dǎo)學生將生活問題“數(shù)學化”、數(shù)學問題“模式化”，主動建構(gòu)起有利于解決問題的數(shù)學模型，形成解決問題的策略，使學生學會“數(shù)學地思維”，彰顯數(shù)學思維的理性美。

一、聚焦：解決問題策略教學現(xiàn)狀引發(fā)的思考

解決問題是20世紀80年代以來國際數(shù)學教育界提出的一個重要概念，美國數(shù)學教師理事會曾經(jīng)提出：解決問題必須處于學校數(shù)學教學的中心?！稊?shù)學課程標準》明確指出：“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣化，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神?！币虼?，運用學過的數(shù)學知識和技能解決實際問題，是小學數(shù)學教學的重要目標之一。

蘇教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》教材依據(jù)新課標的精神，在第一學段的編排中，讓學生初步積累一定的解決問題的經(jīng)驗，初步了解同一數(shù)學問題可以有不同的解決方法。為了幫助學生把解決問題的一些具體經(jīng)驗上升為理性的數(shù)學思考和數(shù)學經(jīng)驗，提高學生理解策略的有效性和靈活運用策略解決問題的能力，從第二學段四年級上冊開始，教材每冊編排一個單元，相對集中地介紹基本的解決問題策略。這樣編排，進一步突出了解決問題方法的選擇、計劃和運用，再通過對方法的反思、內(nèi)化，促進策略的形成。

蘇教版教材編排特點鮮明，立意明確，使得教師對“解決問題”的教學更加重視，也促進了教師對“解決問題”的教學進一步鉆研。近年來，筆者經(jīng)常在校內(nèi)的教研活動、省市級的競賽活動和研討活動中聆聽到教師就“解決問題”這一專題的公開教學。其中不乏有很多優(yōu)秀的課例，但也存在一些問題，比如解決問題策略的選擇、使用及推廣成為教師鉆研教材、精心展示的重點，而學生在練習中卻常常是直接列式解答，并未使用策略，這使得課堂上所謂的層層遞進、精彩紛呈僅僅停留于形式而已，并未深入學生的思維，并沒有提高學生的策略意識，改變學生的思維模式。這樣的現(xiàn)象引發(fā)了筆者深深的思考，解決問題策略的教學重點究竟該如何定位？在教學的過程中究竟要讓學生習得什么？能不能僅僅停留于解決問題？策略選擇與運用的背后還有些什么？

二、剖析：數(shù)學建模是解決問題的思維路徑

問題解決常常被看作是能動的、不斷發(fā)展的過程，它是通過數(shù)學思維不斷數(shù)學化的過程，是一個探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程。李勝平指出，數(shù)學問題解決是利用解題者原數(shù)學信息庫中的信息，將數(shù)學問題輸入條件信息進行處理、編碼、加工，采取一定的思維對策，運用運算來改變系統(tǒng)的初始狀態(tài)，使之改變?yōu)槟繕藸顟B(tài)，使得系統(tǒng)從不穩(wěn)定系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定系統(tǒng)狀態(tài)的這樣一個思維過程。[1]由此可見，引領(lǐng)學生思維不斷數(shù)學化是解決問題教學的重中之重。

引領(lǐng)學生思維數(shù)學化的過程，其實就是思維訓練的過程，在教學中完全可以通過引導(dǎo)學生建構(gòu)數(shù)學模型來達成，因為數(shù)學建模是現(xiàn)實與數(shù)學相互聯(lián)系的橋梁，它既體現(xiàn)了數(shù)學在現(xiàn)實世界中固有的意義，也體現(xiàn)了現(xiàn)實世界蘊涵獨特的數(shù)學規(guī)律和模式，歷史上數(shù)學與現(xiàn)實正是通過建模這一紐帶相互依存，相互促進，并相互轉(zhuǎn)化的。所以，對于學生而言，數(shù)學建模就是一個學數(shù)學、用數(shù)學和鞏固數(shù)學的過程，它是一種高水平的數(shù)學思維活動，是數(shù)學能力的重要組成部分。[2]

所謂數(shù)學建模，就是指對現(xiàn)實問題進行簡化，從中抽象和歸納出能反映問題基本特征和要素及其關(guān)系的數(shù)學結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用數(shù)學思想方法對數(shù)學結(jié)構(gòu)進行分析、求解和檢驗，以獲得現(xiàn)實問題答案的過程。[3]數(shù)學建模是解決現(xiàn)實問題的一個重要或關(guān)鍵的手段，其過程是一個綜合性的過程，是數(shù)學能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。

數(shù)學建模作為數(shù)學學習的一種新的方式，它有助于學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程。[4]學生在建模思想的引領(lǐng)下，舉一反三、融會貫通、創(chuàng)造性地學習，掌握數(shù)學知識、技能的同時，學會數(shù)學思想方法，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，在數(shù)學文化的熏陶中茁壯成長。

三、實踐：探尋數(shù)學建模與解決問題的橋梁

帶著思考，筆者積極地在教學中加以實踐，下面就以《解決問題的策略——倒推》的教學為例，談?wù)勅绾渭芷饠?shù)學建模與解決問題的橋梁。

1.原型喚醒，提供貼近兒童經(jīng)驗的學習背景

數(shù)學本是對現(xiàn)實生活的一種抽象，而數(shù)學模型更是在多次抽象后的結(jié)果，這就使之離學生有了一定距離。[5]因此，教師要想方設(shè)法縮小“學生起點”與“數(shù)學模型”之間的距離或者搭起兩者之間的橋梁，為學生的數(shù)學學習尋找實際生活的“原型”。

【課例】

談話：同學們，聽過小貓釣魚的故事嗎？小貓藍藍和紅紅克服了三心二意的缺點，一心一意地釣起魚來，不一會兒，就有了收獲。可是，他們的釣魚線纏在了一起，究竟是哪只小貓釣到了這條紅色的大魚呢？

出示：小貓藍藍和紅紅釣魚的情境圖。

討論：你是怎樣找到問題的答案的？

預(yù)設(shè)1：從小貓的魚竿出發(fā)，沿著釣魚線去找魚。

預(yù)設(shè)2：從魚出發(fā)，倒回去找到是哪只小貓釣到的。

小結(jié)：從小貓出發(fā)，順著釣魚線，可以找到魚；從魚出發(fā)，倒過來想，可以找到小貓。這一順一倒就是兩種不同的數(shù)學思維方式。

出示：

從學生熟悉的故事——小貓釣魚入手，激活學生的生活經(jīng)驗，讓學生在解決類似于“走迷宮”式的趣味問題中，初步建立“順”和“倒”的模型，初步感知順向思考與逆向思考兩種數(shù)學思維方式，為新課學習做好鋪墊。小貓釣魚的故事為學生找準了知識“原型”，當然這只是數(shù)學教學中的一種隱喻，教師在此基礎(chǔ)上用方框加箭頭的形式將故事加以提升，挖掘出更為深刻的“順”和“倒”的模型，這才從真正意義上為學生找準了學習的起點，引導(dǎo)學生逐步走向數(shù)學抽象。

2.問題簡化，設(shè)計貼近兒童思維的過渡環(huán)節(jié)

要建立數(shù)學模型，首先必須對實際原型有充分的了解，明確原型的特征，只有做到這一點，才能使建模者對實際問題進行簡化。由于小學生的生活經(jīng)歷有限，對一些實際問題的了解比較含糊，因此，教師要貼近學生思維的教學環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學生對實際問題進行合理的歸納、抽象，加以適當?shù)暮喕?，并用恰當?shù)男问奖磉_出來，即學會對問題中的各項因素進行分析，找出各因素之間的關(guān)系，用數(shù)學語言進行表述和解釋。

【課例】

談話：小貓藍藍收獲很大，不一會兒，就釣到了12條魚，可是他肚子餓了，就拿起2條小魚當點心，那么現(xiàn)在他的魚筐里有幾條魚呢？

學生口述想法并列出算式，教師引導(dǎo)學生將藍藍釣魚的故事情節(jié)發(fā)展用如上圖的方框和箭頭進行整理：

小結(jié)：順著藍藍釣魚故事情節(jié)的發(fā)展，用減法順利求出了藍藍現(xiàn)在有幾條魚。

談話：接著，我們再來看紅紅釣魚的故事。紅紅也釣到了不少魚，可是她悄悄和藍藍一比，發(fā)現(xiàn)還是不如藍藍，于是她不甘示弱，又釣了2條魚，現(xiàn)在她的魚筐里有10條魚，你知道她原來釣了幾條魚嗎？

學生模仿上題用方框和箭頭進行整理：

引導(dǎo)學生說說怎么想，出示：

小結(jié)：回顧剛才解決紅紅釣魚的問題，我們先順著故事情節(jié)的發(fā)展，用方框和箭頭整理了信息，然后倒過來推想，算出了原來紅紅釣了幾條魚。倒過來推想，是一種解決問題的策略，今天我們就一起來學習這種解決問題的策略。（板書課題）

在本課中，小貓釣魚的故事不但是一個引子，它還被開發(fā)成整個教學活動的線索。在此環(huán)節(jié)中，教師為故事的主人公藍藍和紅紅設(shè)計一個簡單的數(shù)學問題，引導(dǎo)學生將故事情節(jié)中的信息轉(zhuǎn)化成方框加箭頭的框式圖的形式，指導(dǎo)整理條件問題的方法，使學生感受到用框式圖能更為簡潔明了地表達出故事情節(jié)的發(fā)展變化，為進一步的數(shù)學抽象、數(shù)學建模埋下伏筆，打好學習的基礎(chǔ)。同時，這兩個簡單的數(shù)學問題正好為引入新課的“順”和“倒”的模型提供了兩個具體的例子，起到了承上啟下的作用。

3.模型建構(gòu)，創(chuàng)設(shè)促進思維抽象化的教學程序

引導(dǎo)學生建立數(shù)學模型的過程，實際上就是引導(dǎo)學生用數(shù)學思維的觀點去觀察、分析和表示事物之間的關(guān)系，提煉數(shù)學信息，學會把現(xiàn)實中的問題通過語言抽象，抽象成一個科學的東西，然后在語言抽象的基礎(chǔ)上進行符號抽象，抽象成一個數(shù)學的東西，這個過程對小孩子是非常重要的。[6]教師在教學中要努力創(chuàng)設(shè)能夠促進學生思維抽象化的教學程序，層層遞進，引導(dǎo)學生在學習的過程中，深深地感悟到數(shù)學思維的抽象美，感悟到數(shù)學建模的文化價值所在，汲取求真求知的力量。

【課例】

（1）教學例題1，建立解決一步倒推問題的模型

談話：經(jīng)過一天的努力，藍藍和紅紅一共釣到40條魚，藍藍給紅紅4條魚，現(xiàn)在兩人釣到的魚同樣多。原來兩人各釣到多少條魚？（出示情境圖）

提問：你了解了哪些數(shù)學信息？怎么理解“現(xiàn)在兩人釣到的魚同樣多”？你能將這些數(shù)學信息用方框和箭頭的方式進行整理嗎？

交流，出示：

藍藍：

紅紅：

討論：“藍藍給紅紅4條”怎么理解？藍藍的魚怎么變化了？紅紅的魚呢？用更為簡潔的數(shù)學符號怎么表示這樣的變化？

進一步簡化：

藍藍：

紅紅：

提問：看圖說說，解決這個問題，你是怎么想的？

討論中強調(diào)倒推的過程，并出示圖：

藍藍：

紅紅：

學生獨立列出算式，說說每一步算出的表示什么意思。

提問：算出的結(jié)果是否正確？如何檢驗？

教師指導(dǎo)學生將結(jié)果代入上圖的“？”，順推檢驗。

提問：同學們，回想一下解決這個問題的過程，我們是怎么做的？先求出什么？（現(xiàn)在藍藍和紅紅各釣到幾條魚）然后怎樣？（用方框和箭頭整理信息，并簡化成數(shù)學符號）再怎么想？（倒過來想，算出原來藍藍和紅紅各釣到幾條魚）最后要干什么？（檢驗）

小結(jié)：從現(xiàn)在出發(fā)，倒過來推想，求出原來。這是一種解決問題的策略，在數(shù)學上我們把它叫做倒推策略。（板書，完善課題）

（2）教學例題2，建立解決兩步倒推問題的模型

談話：第二天，貓媽媽把孩子們和爸爸釣到的魚，拿到集市上去賣。上午賣出30條，下午貓爸爸又送來24條，現(xiàn)在貓媽媽有52條魚。貓媽媽原來有多少條魚？

提問：這個問題你準備用什么策略來解決呢？為什么？

學生獨立用方框和箭頭整理條件和問題，再倒過來推算。

出示兩種整理的方法，溝通文字和數(shù)學符號的聯(lián)系：

提問：看圖說說，解決這個問題，你是怎么想的？

討論中強調(diào)倒推的過程，并出示圖：

學生獨立列出算式，說說每一步算出的表示什么意思。

提問：算出的結(jié)果是否正確？如何檢驗？

教師指導(dǎo)學生將結(jié)果代入上圖的“？”，順推檢驗。

提問：還有不同的算法嗎？

分析：這種算法有沒有用倒推的策略呢？

出示：

小結(jié)：這種解題思路，實際上就是把兩次變化的過程合并成一次變化，把兩次倒推變成一次倒推。

（3）對比溝通聯(lián)系

提問：同學們，剛才我們幫助小貓解決了兩個問題。在解決這兩個問題的過程中，都用到了什么策略？為什么這兩道題都要用倒推策略呢？

小結(jié)：像這樣，已知現(xiàn)在，未知原來的題目，我們就可以用倒推策略。

提問：回顧一下，剛才我們解決問題的過程，我們是怎么做的？

小結(jié)：用倒推策略解決問題，先整理條件和問題，再一步一步地倒推，最后進行檢驗。

提問：倒推的過程中要注意什么？

小結(jié)：從現(xiàn)在出發(fā)，根據(jù)變化的順序，一步一步地有序倒推，倒推過程和變化過程恰好相反。

在教學中，引導(dǎo)學生將框式圖進一步抽象，初步建立倒推策略的模型，分兩個層次展開。首先，教學例題1，引導(dǎo)學生將文字表達的框式圖，舍棄次要因素，抽象出既簡潔又準確的純數(shù)學符號表達的框式圖，初步建構(gòu)起數(shù)學符號歸納的模式。這種純數(shù)學符號的框式圖，更利于學生厘清倒推的過程、方法，形成技能。其次，教學例題2時，引導(dǎo)學生主動探究兩步倒推問題，讓學生用自己喜歡的框式圖整理信息，在匯報比較中進一步溝通文字和數(shù)學符號的聯(lián)系，優(yōu)化方法。此時，教學的重點轉(zhuǎn)向倒推策略本身，引導(dǎo)學生細細體會倒推的起點、順序、方法，并在方法多樣化的比較中，進一步體會倒推策略的基本特點，從而促進學生掌握基本方法。

在整個教學過程中，筆者不但注重引導(dǎo)學生建構(gòu)數(shù)學模型，還注重引導(dǎo)學生建構(gòu)學習模型，也就是滲透學法指導(dǎo)，幫助學生掌握解決倒推問題的基本步驟和方法。在教學中，以框式圖為載體，引導(dǎo)學生經(jīng)歷“抽象——倒推——檢驗”的過程，即用框式圖抽象出數(shù)學問題，用框式圖來經(jīng)歷倒推過程，用框式圖來順推檢驗結(jié)果是否正確，讓學生獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗，建立起解決這一類問題的模型，體會“順”和“倒”的互逆關(guān)系。

在《解決問題的策略——倒推》的教學中，筆者通過“挖掘生活原型——簡化問題表述——建立數(shù)學模型”三個步驟，引導(dǎo)學生將生活問題“數(shù)學化”、數(shù)學問題“模式化”，主動建構(gòu)起有利于解決問題的數(shù)學模型，形成解決問題的策略，培養(yǎng)學生解讀、分析、綜合、抽象、簡化信息等多種能力。數(shù)學建模在數(shù)學學習和應(yīng)用中占據(jù)著重要的地位，它有助于學生學會“數(shù)學地思維”，有助于提升學生解決問題的能力，有助于促進學生的個性成長。

參考文獻：

[1]俞平，連四清，武錫環(huán).中國數(shù)學教育心理研究30年[M].北京：科學出版社，2011：46-47.

[2][3]林崇德.智力發(fā)展與數(shù)學學習[M].北京：中國輕工業(yè)出版社，2011：410.

[4]于榮華.建模視野下的有效數(shù)學教學[J].中小學教師培訓，2010（11）.

[5]許貽亮.為學生數(shù)學模型的建構(gòu)做兩道“減法”[J].小學數(shù)學教育，2013（1-2）.

[6]史寧中.注重“過程”中的教育——《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》修訂的若干思考[J].人民教育，2012（7）.

（楊明媚，蘇州市城西中心小學，215000）

責任編輯：趙赟